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11. 如图，热气球的探测器显示，从热气球$A$看一栋楼顶部$B$的仰角为$30^{\circ}$，看这栋楼底部$C$的俯角为$60^{\circ}$，热气球$A$与楼的水平距离为$120$米，这栋楼的高度$BC$为(
A.$160$米
B.$(60 + 160\sqrt{3})$米
C.$160\sqrt{3}$米
D.$360$米
C
)A.$160$米
B.$(60 + 160\sqrt{3})$米
C.$160\sqrt{3}$米
D.$360$米
答案
11. C
解析
解：过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$，则$AD = 120$米。
在$Rt△ ABD$中，$∠ BAD = 30°$，$\tan 30°=\frac{BD}{AD}$，
$\therefore BD = AD · \tan 30°=120×\frac{\sqrt{3}}{3}=40\sqrt{3}$米。
在$Rt△ ACD$中，$∠ CAD = 60°$，$\tan 60°=\frac{CD}{AD}$，
$\therefore CD = AD · \tan 60°=120×\sqrt{3}=120\sqrt{3}$米。
$\therefore BC = BD + CD=40\sqrt{3}+120\sqrt{3}=160\sqrt{3}$米。
答案：C
在$Rt△ ABD$中，$∠ BAD = 30°$，$\tan 30°=\frac{BD}{AD}$，
$\therefore BD = AD · \tan 30°=120×\frac{\sqrt{3}}{3}=40\sqrt{3}$米。
在$Rt△ ACD$中，$∠ CAD = 60°$，$\tan 60°=\frac{CD}{AD}$，
$\therefore CD = AD · \tan 60°=120×\sqrt{3}=120\sqrt{3}$米。
$\therefore BC = BD + CD=40\sqrt{3}+120\sqrt{3}=160\sqrt{3}$米。
答案：C
12. 如图，在四边形$ABCD$中，$BD$平分$∠ ABC$，$∠ BAD = ∠ BDC = 90^{\circ}$，$E$为$BC$的中点，$AE$与$BD$相交于点$F$。若$BC = 4$，$∠ CBD = 30^{\circ}$，则$AE$的长为(
A.$\frac{2\sqrt{7}}{3}$
B.$\frac{3\sqrt{7}}{4}$
C.$\frac{4\sqrt{7}}{5}$
D.$\sqrt{7}$
D
)A.$\frac{2\sqrt{7}}{3}$
B.$\frac{3\sqrt{7}}{4}$
C.$\frac{4\sqrt{7}}{5}$
D.$\sqrt{7}$
答案
12. D
解析
证明：
∵BD平分∠ABC，∠CBD=30°，
∴∠ABD=∠CBD=30°，∠ABC=60°．
在Rt△BDC中，BC=4，∠CBD=30°，
∴CD=BC·sin30°=2，BD=BC·cos30°=2√3．
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=2√3，
∴AD=BD·sin30°=√3，AB=BD·cos30°=3．
过A作AH⊥BC于H，
在Rt△ABH中，∠ABC=60°，AB=3，
∴BH=AB·cos60°=3/2，AH=AB·sin60°=3√3/2．
∵E为BC中点，BC=4，
∴BE=2，EH=BE-BH=2-3/2=1/2．
在Rt△AHE中，AE=√(AH²+EH²)=√[(3√3/2)²+(1/2)²]=√(27/4 + 1/4)=√7．
答案：√7
∵BD平分∠ABC，∠CBD=30°，
∴∠ABD=∠CBD=30°，∠ABC=60°．
在Rt△BDC中，BC=4，∠CBD=30°，
∴CD=BC·sin30°=2，BD=BC·cos30°=2√3．
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=2√3，
∴AD=BD·sin30°=√3，AB=BD·cos30°=3．
过A作AH⊥BC于H，
在Rt△ABH中，∠ABC=60°，AB=3，
∴BH=AB·cos60°=3/2，AH=AB·sin60°=3√3/2．
∵E为BC中点，BC=4，
∴BE=2，EH=BE-BH=2-3/2=1/2．
在Rt△AHE中，AE=√(AH²+EH²)=√[(3√3/2)²+(1/2)²]=√(27/4 + 1/4)=√7．
答案：√7
二、填空题
13. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，若$\sin A = \frac{4}{5}$，$AB = 10$，则$BC =$
13. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，若$\sin A = \frac{4}{5}$，$AB = 10$，则$BC =$
8
。答案
13. $8$
解析
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，$AB=10$，则$\frac{BC}{10}=\frac{4}{5}$，解得$BC=8$。
14. 某坡面的坡度为$\sqrt{3}:1$，则坡角是
60
度。答案
14. $60$
解析
设坡角为$α$，坡度为坡面的铅直高度与水平宽度的比，即$\tanα = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$，因为$\tan60° = \sqrt{3}$，所以$α = 60°$。
60
60
15. 在$□ ABCD$中，邻边长分别为$4\ cm$和$6\ cm$，它们的夹角为$60^{\circ}$，则较短的对角线的长为
$2\sqrt{7}$
$cm$。答案
15. $2\sqrt{7}$
解析
解：在$□ABCD$中，设$AB=4\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，$∠ ABC=60°$。根据余弦定理，较短对角线$AC$的长为：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 · AB · BC · \cos∠ ABC$
代入数值：
$AC^2 = 4^2 + 6^2 - 2 × 4 × 6 × \cos60°$
$AC^2 = 16 + 36 - 48 × \frac{1}{2}$
$AC^2 = 52 - 24 = 28$
$AC = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$
$2\sqrt{7}$
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 · AB · BC · \cos∠ ABC$
代入数值：
$AC^2 = 4^2 + 6^2 - 2 × 4 × 6 × \cos60°$
$AC^2 = 16 + 36 - 48 × \frac{1}{2}$
$AC^2 = 52 - 24 = 28$
$AC = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$
$2\sqrt{7}$
16. 若$\sin A = \frac{1}{3}$($∠ A$为锐角)，则$\cos A =$
$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
。答案
16. $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
解析
解：因为$∠ A$为锐角，且$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$，$\sin A = \frac{1}{3}$，所以$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$。
$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
三、解答题
17. 计算：$\sqrt{12} + (\sin 45^{\circ} - 1)^{0} - \tan 60^{\circ}$。
17. 计算：$\sqrt{12} + (\sin 45^{\circ} - 1)^{0} - \tan 60^{\circ}$。
答案
17. $\sqrt{3}+1$
解析
$\sqrt{12} + (\sin 45^{\circ} - 1)^{0} - \tan 60^{\circ}$
$=2\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3}$
$=\sqrt{3} + 1$
$=2\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3}$
$=\sqrt{3} + 1$
18. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，分别根据下列条件解直角三角形。
（1）已知$a + c = 12$，$∠ B = 60^{\circ}$；
（2）$b + c = 30$，$∠ A - ∠ B = 30^{\circ}$。
（1）已知$a + c = 12$，$∠ B = 60^{\circ}$；
（2）$b + c = 30$，$∠ A - ∠ B = 30^{\circ}$。
答案
18. (1)$a = 4$，$b = \sqrt{3}$，$c = 8$，$∠ A = 30^{\circ}$ (2)$∠ A = 60^{\circ}$，$∠ B = 30^{\circ}$，$c = 20$，$b = 10$，$a = 10\sqrt{3}$
解析
（1）在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$∠ B=60^{\circ}$，则$∠ A=90^{\circ}-∠ B=30^{\circ}$。
因为$∠ A=30^{\circ}$，所以$a=\frac{1}{2}c$（在直角三角形中，$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半）。
已知$a + c = 12$，将$a=\frac{1}{2}c$代入可得：$\frac{1}{2}c + c = 12$，$\frac{3}{2}c = 12$，解得$c = 8$，则$a=\frac{1}{2}×8 = 4$。
由勾股定理得$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=\sqrt{64 - 16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$。
所以$∠ A=30^{\circ}$，$a = 4$，$b = 4\sqrt{3}$，$c = 8$。
（2）在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，所以$∠ A+∠ B=90^{\circ}$。
已知$∠ A - ∠ B = 30^{\circ}$，联立方程组$\begin{cases}∠ A+∠ B=90^{\circ}\\∠ A - ∠ B=30^{\circ}\end{cases}$，两式相加得$2∠ A=120^{\circ}$，解得$∠ A=60^{\circ}$，则$∠ B=90^{\circ}-∠ A=30^{\circ}$。
因为$∠ B=30^{\circ}$，所以$b=\frac{1}{2}c$（在直角三角形中，$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半）。
已知$b + c = 30$，将$b=\frac{1}{2}c$代入可得：$\frac{1}{2}c + c = 30$，$\frac{3}{2}c = 30$，解得$c = 20$，则$b=\frac{1}{2}×20 = 10$。
由勾股定理得$a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}=\sqrt{20^{2}-10^{2}}=\sqrt{400 - 100}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}$。
所以$∠ A=60^{\circ}$，$∠ B=30^{\circ}$，$a = 10\sqrt{3}$，$b = 10$，$c = 20$。
因为$∠ A=30^{\circ}$，所以$a=\frac{1}{2}c$（在直角三角形中，$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半）。
已知$a + c = 12$，将$a=\frac{1}{2}c$代入可得：$\frac{1}{2}c + c = 12$，$\frac{3}{2}c = 12$，解得$c = 8$，则$a=\frac{1}{2}×8 = 4$。
由勾股定理得$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=\sqrt{64 - 16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$。
所以$∠ A=30^{\circ}$，$a = 4$，$b = 4\sqrt{3}$，$c = 8$。
（2）在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，所以$∠ A+∠ B=90^{\circ}$。
已知$∠ A - ∠ B = 30^{\circ}$，联立方程组$\begin{cases}∠ A+∠ B=90^{\circ}\\∠ A - ∠ B=30^{\circ}\end{cases}$，两式相加得$2∠ A=120^{\circ}$，解得$∠ A=60^{\circ}$，则$∠ B=90^{\circ}-∠ A=30^{\circ}$。
因为$∠ B=30^{\circ}$，所以$b=\frac{1}{2}c$（在直角三角形中，$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半）。
已知$b + c = 30$，将$b=\frac{1}{2}c$代入可得：$\frac{1}{2}c + c = 30$，$\frac{3}{2}c = 30$，解得$c = 20$，则$b=\frac{1}{2}×20 = 10$。
由勾股定理得$a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}=\sqrt{20^{2}-10^{2}}=\sqrt{400 - 100}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}$。
所以$∠ A=60^{\circ}$，$∠ B=30^{\circ}$，$a = 10\sqrt{3}$，$b = 10$，$c = 20$。
