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三、解答题（共 75 分）
16. （6 分）解不等式组：$\begin{cases}2\sin60^{\circ}· x + \tan60^{\circ} ＞ 0 \\ x - \frac{1 + 3x}{2} ＜ 1\end{cases}$
16. （6 分）解不等式组：$\begin{cases}2\sin60^{\circ}· x + \tan60^{\circ} ＞ 0 \\ x - \frac{1 + 3x}{2} ＜ 1\end{cases}$
答案
16. $x＞-1$
解析
解：解第一个不等式：
$\begin{aligned}2\sin60^{\circ}·x + \tan60^{\circ} &＞ 0 \\2×\frac{\sqrt{3}}{2}·x + \sqrt{3} &＞ 0 \\\sqrt{3}x + \sqrt{3} &＞ 0 \\\sqrt{3}(x + 1) &＞ 0 \\x + 1 &＞ 0 \\x &＞ -1\end{aligned}$
解第二个不等式：
$\begin{aligned}x - \frac{1 + 3x}{2} &＜ 1 \\2x - (1 + 3x) &＜ 2 \\2x - 1 - 3x &＜ 2 \\-x - 1 &＜ 2 \\-x &＜ 3 \\x &＞ -3\end{aligned}$
不等式组的解集为$x＞-1$
$\begin{aligned}2\sin60^{\circ}·x + \tan60^{\circ} &＞ 0 \\2×\frac{\sqrt{3}}{2}·x + \sqrt{3} &＞ 0 \\\sqrt{3}x + \sqrt{3} &＞ 0 \\\sqrt{3}(x + 1) &＞ 0 \\x + 1 &＞ 0 \\x &＞ -1\end{aligned}$
解第二个不等式：
$\begin{aligned}x - \frac{1 + 3x}{2} &＜ 1 \\2x - (1 + 3x) &＜ 2 \\2x - 1 - 3x &＜ 2 \\-x - 1 &＜ 2 \\-x &＜ 3 \\x &＞ -3\end{aligned}$
不等式组的解集为$x＞-1$
17. （6 分）如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ B = 2∠ C$，点 $D$ 在边 $BC$ 上，$AB = AD = 13$，$BC = 23$.
（1）求 $BD$ 的长；
（2）求 $\tan C$ 的值.
（1）求 $BD$ 的长；
（2）求 $\tan C$ 的值.
答案
17. (1)$BD=10$ (2)$\tan C=\dfrac{2}{3}$
解析
（1）解：
∵$AB=AD$，
∴$∠B=∠ADB$，
∵$∠ADB=∠C+∠CAD$，且$∠B=2∠C$，
∴$2∠C=∠C+∠CAD$，
∴$∠CAD=∠C$，
∴$AD=CD$，
∵$AD=13$，
∴$CD=13$，
∵$BC=23$，
∴$BD=BC-CD=23-13=10$；
（2）解：过点$A$作$AE⊥BC$于点$E$，
∵$AB=AD$，$BD=10$，
∴$BE=ED=\dfrac{1}{2}BD=5$，
在$Rt△ ABE$中，$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$，
∵$CD=13$，$ED=5$，
∴$EC=ED+CD=5+13=18$，
在$Rt△ AEC$中，$\tan C=\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3}$．
∵$AB=AD$，
∴$∠B=∠ADB$，
∵$∠ADB=∠C+∠CAD$，且$∠B=2∠C$，
∴$2∠C=∠C+∠CAD$，
∴$∠CAD=∠C$，
∴$AD=CD$，
∵$AD=13$，
∴$CD=13$，
∵$BC=23$，
∴$BD=BC-CD=23-13=10$；
（2）解：过点$A$作$AE⊥BC$于点$E$，
∵$AB=AD$，$BD=10$，
∴$BE=ED=\dfrac{1}{2}BD=5$，
在$Rt△ ABE$中，$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$，
∵$CD=13$，$ED=5$，
∴$EC=ED+CD=5+13=18$，
在$Rt△ AEC$中，$\tan C=\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3}$．
18. （6 分）如图，一次函数 $y = kx + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象在第一象限交于点 $A(4,2)$，与 $y$ 轴的负半轴交于点 $B$，且 $OB = 6$.
（1）求函数 $y = \frac{m}{x}$ 和 $y = kx + b$ 的解析式；
（2）已知直线 $AB$ 与 $x$ 轴相交于点 $C$，在第一象限内，求反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象上一点 $P$，使得 $S_{△ POC} = 9$.
（1）求函数 $y = \frac{m}{x}$ 和 $y = kx + b$ 的解析式；
（2）已知直线 $AB$ 与 $x$ 轴相交于点 $C$，在第一象限内，求反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象上一点 $P$，使得 $S_{△ POC} = 9$.
答案
18. (1)$y=\dfrac{8}{x}$，$y=2x-6$ (2)$P(\dfrac{4}{3},6)$
解析
（1）解：因为点$A(4,2)$在反比例函数$y = \frac{m}{x}$的图象上，所以$2=\frac{m}{4}$，解得$m = 8$，故反比例函数解析式为$y=\frac{8}{x}$。
因为$OB = 6$，且点$B$在$y$轴负半轴，所以点$B$的坐标为$(0,-6)$。
将$A(4,2)$，$B(0,-6)$代入一次函数$y = kx + b$，得$\begin{cases}4k + b=2\\b=-6\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 2\\b=-6\end{cases}$，故一次函数解析式为$y = 2x-6$。
（2）解：在$y = 2x-6$中，令$y = 0$，则$2x-6=0$，解得$x = 3$，所以点$C$的坐标为$(3,0)$，即$OC=3$。
设点$P$的坐标为$(x,\frac{8}{x})$（$x＞0$），因为$S_{△ POC}=9$，所以$\frac{1}{2}× OC×|y_{P}|=9$，即$\frac{1}{2}×3×\frac{8}{x}=9$，解得$x=\frac{4}{3}$，则$\frac{8}{x}=6$，故点$P$的坐标为$(\frac{4}{3},6)$。
因为$OB = 6$，且点$B$在$y$轴负半轴，所以点$B$的坐标为$(0,-6)$。
将$A(4,2)$，$B(0,-6)$代入一次函数$y = kx + b$，得$\begin{cases}4k + b=2\\b=-6\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 2\\b=-6\end{cases}$，故一次函数解析式为$y = 2x-6$。
（2）解：在$y = 2x-6$中，令$y = 0$，则$2x-6=0$，解得$x = 3$，所以点$C$的坐标为$(3,0)$，即$OC=3$。
设点$P$的坐标为$(x,\frac{8}{x})$（$x＞0$），因为$S_{△ POC}=9$，所以$\frac{1}{2}× OC×|y_{P}|=9$，即$\frac{1}{2}×3×\frac{8}{x}=9$，解得$x=\frac{4}{3}$，则$\frac{8}{x}=6$，故点$P$的坐标为$(\frac{4}{3},6)$。
