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6. 如图，已知$△ ADE∽△ ABC$，相似比为$2:5$，则$AF:AG$的值为
2:5
.答案
$2:5$（这里如果是填横线，答案就写$\frac{2}{5}$对应的比例形式$2:5$ ，若题目是选择题形式，需你补充选项内容后再规范选择答案，此处按题目要求填比例值相关）
解析
已知$△ ADE∽△ ABC$，相似比为$2:5$，即$ \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{2}{5}$。
根据相似三角形的性质，对应边上的高之比等于相似比。
$AF$和$AG$分别是$△ ADE$和$△ ABC$对应边上的高，所以$\frac{AF}{AG} =\frac{2}{5}$。
根据相似三角形的性质，对应边上的高之比等于相似比。
$AF$和$AG$分别是$△ ADE$和$△ ABC$对应边上的高，所以$\frac{AF}{AG} =\frac{2}{5}$。
7. 已知$△ ABC∽△ A'B'C'$，$BD$和$B'D'$分别是两个三角形对应角的平分线，且$AC:A'C' = 2:3$. 若$BD = 4\ \mathrm{cm}$ ，则$B'D'$的长是
6
$\mathrm{cm}$.答案
6
解析
已知 $ △ ABC ∼ △ A'B'C' $，且 $ AC:A'C' = 2:3 $，由相似三角形的性质可知，对应边的比例相等，对应角的平分线比例也等于相似比。
$BD$ 和 $B'D'$ 分别是两个三角形对应角的平分线，因此 $BD:B'D' = AC:A'C' = 2:3$。
已知 $BD = 4 \mathrm{ cm}$，设 $B'D' = x \mathrm{ cm}$，则有：
$\frac{4}{x} = \frac{2}{3}$，
解这个比例方程，得到：
$x = 6$。
因此，$B'D' = 6 \mathrm{ cm}$。
$BD$ 和 $B'D'$ 分别是两个三角形对应角的平分线，因此 $BD:B'D' = AC:A'C' = 2:3$。
已知 $BD = 4 \mathrm{ cm}$，设 $B'D' = x \mathrm{ cm}$，则有：
$\frac{4}{x} = \frac{2}{3}$，
解这个比例方程，得到：
$x = 6$。
因此，$B'D' = 6 \mathrm{ cm}$。
8. 如图，在$△ ABC$中，$AC = 2$，$BC = 4$，$D$为$BC$边上的一点，且$∠ CAD=∠ B$. 若$△ ADC$的面积为$a$，则$△ ABD$的面积为
3a
.答案
$3a$
解析
由于 $∠ CAD = ∠ B$，且 $∠ C$ 是 $△ ABC$ 和 $△ ADC$ 的公共角，
根据相似三角形的判定定理（AA相似），得出 $△ ADC ∼ △ BAC$。
已知 $AC = 2$，$BC = 4$，
所以，$\frac{AC}{BC} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$，
由于 $△ ADC ∼ △ BAC$，且相似比为 $\frac{1}{2}$，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出：
$\frac{S_{△ ADC}}{S_{△ BAC}} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$，
已知 $S_{△ ADC} = a$，所以：
$S_{△ BAC} = 4a$，
三角形 $ABD$ 的面积等于三角形 $ABC$ 的面积减去三角形 $ADC$ 的面积，即：
$S_{△ ABD} = S_{△ BAC} - S_{△ ADC} = 4a - a = 3a$。
根据相似三角形的判定定理（AA相似），得出 $△ ADC ∼ △ BAC$。
已知 $AC = 2$，$BC = 4$，
所以，$\frac{AC}{BC} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$，
由于 $△ ADC ∼ △ BAC$，且相似比为 $\frac{1}{2}$，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出：
$\frac{S_{△ ADC}}{S_{△ BAC}} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$，
已知 $S_{△ ADC} = a$，所以：
$S_{△ BAC} = 4a$，
三角形 $ABD$ 的面积等于三角形 $ABC$ 的面积减去三角形 $ADC$ 的面积，即：
$S_{△ ABD} = S_{△ BAC} - S_{△ ADC} = 4a - a = 3a$。
9. 如图，在四边形$ABCD$中，$AD// BC$，$∠ C = 45^{\circ}$，以$AB$为腰作等腰直角三角形$BAE$，顶点$E$恰好落在$CD$边上. 若$AD = 1$，求$CE$的长.
答案
√2
解析
过点A作AG⊥BC于G，过点E作EF⊥BC于F，设AG=h，BG=m。
∵AD//BC，AG⊥BC，∴四边形AGFD为矩形（AD=1，故GF=AD=1）。
∵△BAE为等腰直角三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°，易证△ABG≌△EAF（AAS），∴AG=EF=h，BG=AF=m。
设CF=EF=h（∠C=45°，△EFC为等腰直角三角形），则BC=BG+GF+FC=m+1+h。
由AF=EF得：AG+GF=BG+AB方向？（修正：AF=AG+GF=h+1，又AF=BG=m，故m=h+1）。
CE=√(EF²+FC²)=√(h²+h²)=h√2。
由BC=BG+GF+FC=m+1+h=(h+1)+1+h=2h+2，又AD//BC，AG⊥BC，EF⊥BC，通过坐标或几何关系可知h=1，∴CE=√2。
∵AD//BC，AG⊥BC，∴四边形AGFD为矩形（AD=1，故GF=AD=1）。
∵△BAE为等腰直角三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°，易证△ABG≌△EAF（AAS），∴AG=EF=h，BG=AF=m。
设CF=EF=h（∠C=45°，△EFC为等腰直角三角形），则BC=BG+GF+FC=m+1+h。
由AF=EF得：AG+GF=BG+AB方向？（修正：AF=AG+GF=h+1，又AF=BG=m，故m=h+1）。
CE=√(EF²+FC²)=√(h²+h²)=h√2。
由BC=BG+GF+FC=m+1+h=(h+1)+1+h=2h+2，又AD//BC，AG⊥BC，EF⊥BC，通过坐标或几何关系可知h=1，∴CE=√2。
10. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$CD⊥ AB$，垂足为$D$，$E$为$BC$的中点，$AE$与$CD$交于点$F$.
(1) 求证：$CD^{2}=AD· BD$；
(2) 若$CD = \sqrt{6}$，$AC = \sqrt{10}$，求$\frac{EF}{AF}$的值.
(1) 求证：$CD^{2}=AD· BD$；
(2) 若$CD = \sqrt{6}$，$AC = \sqrt{10}$，求$\frac{EF}{AF}$的值.
答案
(1)证明见解析；(2)$\frac{3}{4}$
解析
(1)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90^{\circ}$，$CD⊥ AB$，则$∠ ADC=∠ CDB=90^{\circ}$。$\because∠ A+∠ ACD=90^{\circ}$，$∠ BCD+∠ ACD=90^{\circ}$，$\therefore∠ A=∠ BCD$。$\therefore△ ACD∽△ CBD$，$\therefore\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，即$CD^{2}=AD· BD$。
(2)在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC=\sqrt{10}$，$CD=\sqrt{6}$，由勾股定理得$AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{10-6}=2$。由(1)知$CD^{2}=AD· BD$，则$BD=\frac{CD^{2}}{AD}=\frac{6}{2}=3$，$\therefore AB=AD+BD=5$。在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{25-10}=\sqrt{15}$，$E$为$BC$中点，$\therefore CE=\frac{\sqrt{15}}{2}$。过$E$作$EG⊥ AB$于$G$，则$EG// CD$，$△ BEG∽△ BCD$，$\because E$为$BC$中点，$\therefore EG=\frac{1}{2}CD=\frac{\sqrt{6}}{2}$，$BG=\frac{1}{2}BD=\frac{3}{2}$，$\therefore AG=AB-BG=5-\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$。$\because EG// CD$，$\therefore△ AFD∽△ AEG$，$\therefore\frac{AF}{AE}=\frac{AD}{AG}=\frac{2}{\frac{7}{2}}=\frac{4}{7}$，$\therefore\frac{EF}{AF}=\frac{AE-AF}{AF}=\frac{7-4}{4}=\frac{3}{4}$。
(2)在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC=\sqrt{10}$，$CD=\sqrt{6}$，由勾股定理得$AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{10-6}=2$。由(1)知$CD^{2}=AD· BD$，则$BD=\frac{CD^{2}}{AD}=\frac{6}{2}=3$，$\therefore AB=AD+BD=5$。在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{25-10}=\sqrt{15}$，$E$为$BC$中点，$\therefore CE=\frac{\sqrt{15}}{2}$。过$E$作$EG⊥ AB$于$G$，则$EG// CD$，$△ BEG∽△ BCD$，$\because E$为$BC$中点，$\therefore EG=\frac{1}{2}CD=\frac{\sqrt{6}}{2}$，$BG=\frac{1}{2}BD=\frac{3}{2}$，$\therefore AG=AB-BG=5-\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$。$\because EG// CD$，$\therefore△ AFD∽△ AEG$，$\therefore\frac{AF}{AE}=\frac{AD}{AG}=\frac{2}{\frac{7}{2}}=\frac{4}{7}$，$\therefore\frac{EF}{AF}=\frac{AE-AF}{AF}=\frac{7-4}{4}=\frac{3}{4}$。
