1. 在$△ ABC$中,若$AC=\sqrt{3}AB$,$∠ C = 30^{\circ}$,则$∠ ABC$的度数为.

$60^{\circ}$或$120^{\circ}$对应选项（若有选项按实际选，若题目未给选项，本题直接答案为$60^{\circ}$或$120^{\circ}$）

设$AB = x$，因为$AC = \sqrt{3}AB$，则$AC=\sqrt{3}x$。
根据正弦定理$\frac{AC}{\sin∠ ABC}=\frac{AB}{\sin∠ C}$，已知$∠ C = 30^{\circ}$，$\sin C=\frac{1}{2}$，$AC = \sqrt{3}x$，$AB = x$，代入可得：
$\frac{\sqrt{3}x}{\sin∠ ABC}=\frac{x}{\frac{1}{2}}$
$\sin∠ ABC=\frac{\sqrt{3}}{2}$
所以$∠ ABC = 60^{\circ}$或$120^{\circ}$。
当$∠ ABC = 60^{\circ}$时，$∠ A=180^{\circ}-∠ C - ∠ ABC=90^{\circ}$；
当$∠ ABC = 120^{\circ}$时，$∠ A=180^{\circ}-∠ C - ∠ ABC = 30^{\circ}$，此时$AC = AB$（矛盾，因为$AC=\sqrt{3}AB$），但是从三角函数关系角度，根据大边对大角，$AC＞ AB$，$∠ ABC$可以是$60^{\circ}$或$120^{\circ}$（当$∠ ABC = 120^{\circ}$时，利用正弦定理重新验证$\frac{AC}{\sin∠ ABC}=\frac{\sqrt{3}x}{\sin120^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}x}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2x$，$\frac{AB}{\sin∠ C}=\frac{x}{\sin30^{\circ}}=\frac{x}{\frac{1}{2}} = 2x$，是符合的）。

2. 在$△ ABC$中,$AB = 12\sqrt{2}$,$AC = 13$,$\cos B = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$,则$BC$边的长为.

7或17

在△ABC中，cosB=√2/2，∴∠B=45°。过A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，AB=12√2，BD=AB·cosB=12√2×√2/2=12，AD=AB·sinB=12√2×√2/2=12。在Rt△ADC中，AC=13，AD=12，由勾股定理得DC=√(AC²-AD²)=√(13²-12²)=5。当D在BC上时，BC=BD+DC=12+5=17；当D在BC延长线上时，BC=BD-DC=12-5=7。综上，BC=7或17。

3. 在$△ ABC$中,$AB = AC = 6$,$△ ABC$的面积为 9,则$∠ BAC$的度数为.

30°或150°

设∠BAC=α，在△ABC中，AB=AC=6，面积S=9。由三角形面积公式S=(1/2)·AB·AC·sinα，得9=(1/2)×6×6×sinα，即9=18sinα，解得sinα=1/2。∵0°＜α＜180°，∴α=30°或150°。

4. 在$△ ABC$中,$AB = 10$,$AC = 2\sqrt{7}$,$\sin B = \dfrac{1}{2}$,求$△ ABC$的面积.

（这里一般题目是填空或求解具体面积值，若选项设为对应面积值则选）由于无选项，按规范给出面积结果为$15\sqrt{3}$或$10\sqrt{3}$ ，若对应选项则根据实际选择，假设选项有对应则（假设性）选对应两项中的一个（实际无选项不选）。若按本题要求只写答案相关，可理解为答案包含两种情况面积值。

作$AD⊥ BC$于点$D$，分两种情况进行讨论：
情况一：当$∠ B$为锐角时
因为$\sin B=\frac{1}{2}$，所以$∠ B = 30^{\circ}$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ B = 30^{\circ}$，$AB = 10$，根据直角三角形中$30^{\circ}$所对直角边等于斜边一半，可得$AD=\frac{1}{2}AB = 5$。
再根据勾股定理$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{10^{2}-5^{2}} = 5\sqrt{3}$。
在$Rt△ ACD$中，$AC = 2\sqrt{7}$，$AD = 5$，根据勾股定理$CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{7})^{2}-5^{2}}=\sqrt{3}$。
所以$BC=BD + CD=5\sqrt{3}+\sqrt{3}=15 + 3（错误，应为 5\sqrt{3}+\sqrt{3}=6\sqrt{3}）$，此时${S}_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×6\sqrt{3}×5 = 15\sqrt{3}$。
情况二：当$∠ B$为钝角时
$∠ B = 150^{\circ}$，过$A$作$AD⊥ BC$交$BC$延长线于$D$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ ABD = 30^{\circ}$，$AB = 10$，则$AD=\frac{1}{2}AB = 5$，$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}} = 5\sqrt{3}$。
在$Rt△ ACD$中，$AC = 2\sqrt{7}$，$AD = 5$，$CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{3}$。
所以$BC=BD - CD=5\sqrt{3}-\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，此时${S}_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×5 = 10\sqrt{3}$。

5. (2025 原创题)在$△ ABC$中,$\sin C = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$,且$2AC = \sqrt{6}AB$,求$∠ BAC$的度数.

15°或75°

在△ABC中，由sinC = √2/2，得∠C=45°或135°。由2AC = √6 AB，得AC/AB = √6/2。设AB=c，AC=b，则b/c = √6/2。由正弦定理b/sinB = c/sinC，得sinB = (b/c)sinC = (√6/2)(√2/2)=√3/2，故∠B=60°或120°。
当∠C=135°时，若∠B=60°，则∠BAC=180°-135°-60°=-15°（舍）；若∠B=120°，则∠BAC=180°-135°-120°=-75°（舍），故∠C=135°不合题意。
当∠C=45°时，若∠B=60°，则∠BAC=180°-45°-60°=75°；若∠B=120°，则∠BAC=180°-45°-120°=15°。
综上，∠BAC=15°或75°。