1. 如图,在正方形 $ ABCD $ 中,$ E $ 是 $ AD $ 延长线上一点,连接 $ CE $,过点 $ E $ 作 $ EF ⊥ CE $,与 $ BA $ 的延长线交于点 $ F $.
(1)求证:$ △ FAE ∽ △ EDC $;
(2)若 $ \dfrac{EF}{CE}=\dfrac{3}{2} $,$ AB = 4 $,求 $ AF $ 的长.

(1)证明见解析；(2)3

(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠EDC=∠FAE=90°，AD=CD。∵EF⊥CE，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°。在Rt△EDC中，∠DEC+∠DCE=90°，∴∠AEF=∠DCE。∴△FAE∽△EDC（AA）。
(2)∵△FAE∽△EDC，∴EF/CE=AF/DE=AE/DC=3/2。∵AB=4，四边形ABCD是正方形，∴DC=AD=4。设AF=x，则AE/4=3/2，∴AE=6。∵AE=AD+DE，AD=4，∴DE=AE-AD=6-4=2。又AF/DE=3/2，即x/2=3/2，∴x=3，即AF=3。

2. 如图,$ ∠ ABC = 90^{\circ} $,$ AB = 3 $,$ BC = 4 $,将线段 $ AB $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转 $ α (0^{\circ} ＜ α ＜ 90^{\circ}) $ 得到线段 $ AD $,过点 $ C $ 作射线 $ BD $ 的垂线,垂足为 $ E $,求 $ \dfrac{BD}{CE} $ 的值.

3/2

以点B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，B(0,0)，A(0,3)，C(4,0)。AB绕A逆时针旋转α得AD，AD=AB=3，D坐标为(3sinα, 3-3cosα)。
BD长度：√[(3sinα)²+(3-3cosα)²]=3√[sin²α+(1-cosα)²]=3√[2(1-cosα)]=6sin(α/2)。
直线BD斜率k=(3-3cosα)/(3sinα)=tan(α/2)，方程为y=tan(α/2)x。
点C(4,0)到BD距离CE=|4tan(α/2)|/√(tan²(α/2)+1)=4sin(α/2)。
则BD/CE=6sin(α/2)/4sin(α/2)=3/2。

3. 如图,在 $ △ ABC $ 中,$ AB = AC $,$ CD ⊥ AC $,且 $ CD = 2AC $,延长 $ BC $ 至点 $ E $,使 $ ∠ CED = 150^{\circ} $.求证:$ DE = 2BC $.

DE=2BC

设AC=AB=a，则CD=2a。∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，设∠ACB=θ，由余弦定理得BC²=AC²+AB²-2·AC·AB·cos(180°-2θ)=2a²(1+cos2θ)=4a²cos²θ，∴BC=2a cosθ。
∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°，延长BC至E，∠ECD=180°-∠ACB-∠ACD=90°-θ。
在△CDE中，∠CED=150°，由正弦定理得：CD/sin∠CED=DE/sin∠ECD。
∵CD=2a，sin∠CED=sin150°=1/2，sin∠ECD=sin(90°-θ)=cosθ，
∴2a/(1/2)=DE/cosθ，解得DE=4a cosθ=2·2a cosθ=2BC。