13. 如图，$AD$是$\triangle ABC$的高，$DE$是$\triangle ADB$的中线，$BF$是$\triangle EBD$的角平分线。若$\angle BAD = 45^{\circ}$，则$\angle BFD =$$^{\circ}$。

67.5

∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°．
∵∠BAD=45°，∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=45°，∴AD=BD（等角对等边）．
∵DE是△ADB的中线，∴E为AB中点（中线定义）．
在Rt△ADB中，斜边AB的中线DE=AE=EB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），∴∠EDB=∠ABD=45°（等边对等角）．
∵BF是△EBD的角平分线，∠EBD=45°，∴∠FBD=∠EBD/2=22.5°（角平分线定义）．
在△BFD中，∠BFD=180°-∠FBD-∠BDF=180°-22.5°-45°=112.5°？
（修正）在Rt△BEF中，∠BEF=90°（DE为等腰直角△ABD斜边中线，DE⊥AB），∠EBF=22.5°，∴∠BFE=90°-22.5°=67.5°，即∠BFD=67.5°．

14. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle BAC = 54^{\circ}$，$\angle BAC$的平分线与$AB$的垂直平分线$DO$交于点$O$。将$\angle C$沿$EF$折叠，点$C$与点$O$恰好重合，则$\angle OEC =$$^{\circ}$。

1. ∵AB=AC，∠BAC=54°，∴∠ABC=∠ACB=(180°-54°)/2=63°。
2. ∵AO平分∠BAC，∴∠BAO=∠OAC=27°。
3. ∵DO垂直平分AB，∴OA=OB，∠OBA=∠BAO=27°。
4. ∴∠OBC=∠ABC-∠OBA=63°-27°=36°。
5. 设∠OCA=θ，∠OCB=63°-θ。在△OAC和△OBC中，由正弦定理：
OA/sinθ=OC/sin27°（△OAC），OB/sin(63°-θ)=OC/sin36°（△OBC）。
∵OA=OB，∴sinθ/sin27°=sin(63°-θ)/sin36°，解得θ=27°。
6. 折叠后C与O重合，EF垂直平分CO，∴EO=EC，∠ECO=∠EOC=27°。
7. ∴∠OEC=180°-2×27°=126°。
126

15. 如图，在$\triangle ABC$中，$BC = 8$，$AB$的垂直平分线交$BC$于点$D$，$AC$的垂直平分线交$BC$于点$E$，则$\triangle ADE$的周长为。

∵DF是AB的垂直平分线，
∴AD=BD。
∵EG是AC的垂直平分线，
∴AE=CE。
∵BC=8，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=8。
8

16. (本题满分 8 分)
已知：如图，$DE// BC$，$\angle C = 60^{\circ}$，$\angle ADE = 70^{\circ}$。
求$\angle A$，$\angle B$的度数。

∵DE//BC（已知）
∴∠B=∠ADE（两直线平行，同位角相等）
∵∠ADE=70°（已知）
∴∠B=70°
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）
∵∠B=70°，∠C=60°（已知）
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-70°-60°=50°
综上，∠A=50°，∠B=70°