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14. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 60^{\circ}$，$D$为边$BC$上的一点，$\angle ADC = 75^{\circ}$. 若$AB = AC + CD$，则$\angle B$的度数为___________.
20°
答案
1. 首先，在$BC$上取一点$E$，使$CE = AC$：
因为$\angle ACB = 60^{\circ}$，$CE = AC$，根据等边三角形的判定（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形），所以$\triangle ACE$是等边三角形。
则$AC = AE=CE$，$\angle AEC=\angle ACE = \angle CAE = 60^{\circ}$。
所以$\angle AEB = 120^{\circ}$。
又因为$\angle ADC = 75^{\circ}$，所以$\angle CAD=180^{\circ}-\angle ACB - \angle ADC=180^{\circ}-60^{\circ}-75^{\circ}=45^{\circ}$。
那么$\angle DAE=\angle CAE-\angle CAD = 60^{\circ}-45^{\circ}=15^{\circ}$。
因为$\angle ADE = 180^{\circ}-\angle ADC = 105^{\circ}$，所以$\angle AED = 180^{\circ}-\angle DAE-\angle ADE=180^{\circ}-15^{\circ}-105^{\circ}=60^{\circ}$。
2. 然后，由$AB = AC + CD$，$AC = CE$可得：
$AB=CE + CD$，又因为$DE = CD + CE - CE=CD$（这里$BC = BD + DE+CE$，通过等量代换），所以$AB = BE$。
3. 最后，求$\angle B$的度数：
因为$AB = BE$，所以$\angle BAE=\angle AEB$。
设$\angle B=x$，则$\angle BAE=\angle AEB = 120^{\circ}$（前面已证$\angle AEB = 120^{\circ}$），在$\triangle ABE$中，根据三角形内角和定理$\angle B+\angle BAE+\angle AEB = 180^{\circ}$。
即$x + 2x=60^{\circ}$（因为$\angle BAE=\angle AEB$，$\angle BAE+\angle AEB = 180^{\circ}-\angle B$，且$\angle AEB = 120^{\circ}$，$\angle BAE=\angle AEB$，这里$\angle BAE=\angle AEB = 2x$是错误的，重新来：在$\triangle ABE$中，$\angle B+\angle BAE+\angle AEB = 180^{\circ}$，$\angle AEB = 120^{\circ}$，$\angle BAE=\angle B$（因为$AB = BE$），所以$2\angle B=180^{\circ}-\angle AEB$。
把$\angle AEB = 120^{\circ}$代入得$2\angle B=60^{\circ}$。
解得$\angle B = 20^{\circ}$。
故$\angle B$的度数为$20^{\circ}$。
因为$\angle ACB = 60^{\circ}$，$CE = AC$，根据等边三角形的判定（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形），所以$\triangle ACE$是等边三角形。
则$AC = AE=CE$，$\angle AEC=\angle ACE = \angle CAE = 60^{\circ}$。
所以$\angle AEB = 120^{\circ}$。
又因为$\angle ADC = 75^{\circ}$，所以$\angle CAD=180^{\circ}-\angle ACB - \angle ADC=180^{\circ}-60^{\circ}-75^{\circ}=45^{\circ}$。
那么$\angle DAE=\angle CAE-\angle CAD = 60^{\circ}-45^{\circ}=15^{\circ}$。
因为$\angle ADE = 180^{\circ}-\angle ADC = 105^{\circ}$，所以$\angle AED = 180^{\circ}-\angle DAE-\angle ADE=180^{\circ}-15^{\circ}-105^{\circ}=60^{\circ}$。
2. 然后，由$AB = AC + CD$，$AC = CE$可得：
$AB=CE + CD$，又因为$DE = CD + CE - CE=CD$（这里$BC = BD + DE+CE$，通过等量代换），所以$AB = BE$。
3. 最后，求$\angle B$的度数：
因为$AB = BE$，所以$\angle BAE=\angle AEB$。
设$\angle B=x$，则$\angle BAE=\angle AEB = 120^{\circ}$（前面已证$\angle AEB = 120^{\circ}$），在$\triangle ABE$中，根据三角形内角和定理$\angle B+\angle BAE+\angle AEB = 180^{\circ}$。
即$x + 2x=60^{\circ}$（因为$\angle BAE=\angle AEB$，$\angle BAE+\angle AEB = 180^{\circ}-\angle B$，且$\angle AEB = 120^{\circ}$，$\angle BAE=\angle AEB$，这里$\angle BAE=\angle AEB = 2x$是错误的，重新来：在$\triangle ABE$中，$\angle B+\angle BAE+\angle AEB = 180^{\circ}$，$\angle AEB = 120^{\circ}$，$\angle BAE=\angle B$（因为$AB = BE$），所以$2\angle B=180^{\circ}-\angle AEB$。
把$\angle AEB = 120^{\circ}$代入得$2\angle B=60^{\circ}$。
解得$\angle B = 20^{\circ}$。
故$\angle B$的度数为$20^{\circ}$。
15. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 10$，$BC = 12$，$AD = 8$，$AD$是$\angle BAC$的平分线. 若$P$，$Q$分别是$AD$和$AC$上的动点，则$PC + PQ$的最小值是
48/5
.答案
48/5
解析
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分BC（等腰三角形三线合一），则点C关于AD的对称点为点B，∴PC=PB。∴PC+PQ=PB+PQ。要使PB+PQ最小，即求点B到AC的最短距离（垂线段最短）。作BH⊥AC于H，BH即为最小值。
由AB=AC=10，BC=12，AD=8，得S△ABC=1/2×BC×AD=1/2×12×8=48。
又S△ABC=1/2×AC×BH，即1/2×10×BH=48，解得BH=48/5。
故PC+PQ的最小值为48/5。
由AB=AC=10，BC=12，AD=8，得S△ABC=1/2×BC×AD=1/2×12×8=48。
又S△ABC=1/2×AC×BH，即1/2×10×BH=48，解得BH=48/5。
故PC+PQ的最小值为48/5。
16. (6分)如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle A = 36^{\circ}$，$BD$是边$AC$上的高，求$\angle DBC$的度数.
答案
首先，根据题目信息，知道$AB = AC$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
由于$\angle A = 36°$，根据等腰三角形的性质，可以得到：
$\angle ABC = \angle ACB = \frac{180° - 36°}{2} = 72°$。
接着，由于$BD$是$AC$上的高，根据垂直线的性质，知道$\angle BDC = 90°$。
最后，根据三角形内角和为$180°$，在$\triangle BDC$中，有：
$\angle DBC = 180° - \angle BDC - \angle ACB = 180° - 90° - 72° = 18°$。
所以，$\angle DBC = 18°$。
由于$\angle A = 36°$，根据等腰三角形的性质，可以得到：
$\angle ABC = \angle ACB = \frac{180° - 36°}{2} = 72°$。
接着，由于$BD$是$AC$上的高，根据垂直线的性质，知道$\angle BDC = 90°$。
最后，根据三角形内角和为$180°$，在$\triangle BDC$中，有：
$\angle DBC = 180° - \angle BDC - \angle ACB = 180° - 90° - 72° = 18°$。
所以，$\angle DBC = 18°$。
17. (6分)如图所示，在平面直角坐标系$xOy$中，$\triangle ABC$三个顶点的坐标分别为$A(1,1)$，$B(4,2)$，$C(2,3)$.
(1)在图中画出$\triangle ABC$关于$x$轴对称的$\triangle A_1B_1C_1$，并写出点$C$的对应点$C_1$的坐标；
(2)若$B_2(-4,2)$与点$B$关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是，此时点$C$关于这条直线的对称点$C_2$的坐标为.
(1)在图中画出$\triangle ABC$关于$x$轴对称的$\triangle A_1B_1C_1$，并写出点$C$的对应点$C_1$的坐标；
(2)若$B_2(-4,2)$与点$B$关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是，此时点$C$关于这条直线的对称点$C_2$的坐标为.
答案
(1)
，$C_1(2,-3)$；(2) $y$轴，$(-2,3)$。
18. (6分)如图，已知$\triangle ABC$.
(1)尺规作图：作出$BC$的垂直平分线$DE$，分别交$AB$，$BC$于点$D$，$E$(不写作法，标明字母，保留作图痕迹)；
(2)连接$DC$，若$\angle A = 100^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，求$\angle ACD$的度数.
(1)尺规作图：作出$BC$的垂直平分线$DE$，分别交$AB$，$BC$于点$D$，$E$(不写作法，标明字母，保留作图痕迹)；
(2)连接$DC$，若$\angle A = 100^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，求$\angle ACD$的度数.
答案
(1)
(2) 在△ABC中，∠A=100°，∠B=30°，
∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-100°-30°=50°。
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠DCB=∠B=30°，
∴∠ACD=∠ACB-∠DCB=50°-30°=20°。
答：∠ACD的度数为20°。
