8. 如图18-19,在$□ ABCD$中,对角线$AC与BD相交于点O$,点$E$,$F分别为OB$,$OD$的中点,延长$AE至点G$,使$EG = AE$,连接$CG$.

(1)求证：$\triangle ABE\cong \triangle CDF$.
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB = CD，AB//CD，OB = OD，OA = OC，∴ ∠ABE = ∠CDF。∵ 点E，F分别为OB，OD的中点，∴ BE = $\frac{1}{2}$OB，DF = $\frac{1}{2}$OD，∴ BE = DF。在△ABE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}AB = CD,\\\angle ABE = \angle CDF,\\BE = DF,\end{array}\right.$ ∴ △ABE ≌ △CDF。
(2)当$AB与AC$满足什么数量关系时,四边形$EGCF$是矩形？请说明理由.
当AC = 2AB时，四边形EGCF是矩形。理由如下：∵ AC = 2OA，AC = 2AB，∴ AB = OA。∵ E是OB的中点，∴ AG⊥OB，∴ ∠OEG = 90°。同理：CF⊥OD。∴ AG//CF，∴ EG//CF。∵ EG = AE，OA = OC，∴ OE是△ACG的中位线，∴ OE//CG，∴ EF//CG，∴ 四边形EGCF是平行四边形。∵ ∠OEG = 90°，∴ 四边形EGCF是矩形。

(1)∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB = CD，AB//CD，OB = OD，OA = OC，∴ ∠ABE = ∠CDF。∵ 点E，F分别为OB，OD的中点，∴ BE = $\frac{1}{2}$OB，DF = $\frac{1}{2}$OD，∴ BE = DF。在△ABE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}AB = CD,\\\angle ABE = \angle CDF,\\BE = DF,\end{array}\right.$ ∴ △ABE ≌ △CDF(SAS)。 (2)当AC = 2AB时，四边形EGCF是矩形。理由如下：∵ AC = 2OA，AC = 2AB，∴ AB = OA。∵ E是OB的中点，∴ AG⊥OB，∴ ∠OEG = 90°。同理：CF⊥OD。∴ AG//CF，∴ EG//CF。∵ EG = AE，OA = OC，∴ OE是△ACG的中位线，∴ OE//CG，∴ EF//CG，∴ 四边形EGCF是平行四边形。∵ ∠OEG = 90°，∴ 四边形EGCF是矩形。

1. 若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形,则该四边形一定是()
A.矩形
B.平行四边形
C.对角线相等的四边形
D.对角线互相垂直的四边形

C

2. 如图18-20,菱形$ABCD的对角线AC$,$BD相交于点O$,过点$D作DH⊥AB于点H$,连接$OH$,$OH = 4$,若菱形$ABCD的面积为32\sqrt{3}$,则$CD$的长为()
A.4
B.$4\sqrt{3}$
C.8
D.$8\sqrt{3}$

C

3. 在菱形$OABC$中,点$O$为原点,点$B在x$轴上,点$A的坐标为(2,3)$,则点$C$的坐标为.

(2, -3)

4. 如图18-21,菱形$ABCD$中,对角线$AC = 6$,$BD = 8$,$M$,$N分别是BC$,$CD$的中点,$P是线段BD$上的一个动点,则$PM + PN$的最小值是.

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