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7. (分类讨论思想)在△ABC中，BC=10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC所在的直线于点D，E，且DE=4，则AD+AE的长为(
A.6
B.10
C.6或14
D.6或10
C
)A.6
B.10
C.6或14
D.6或10
答案
7.C
解析
∵AB的垂直平分线交BC所在直线于点D，
∴AD=BD
∵AC的垂直平分线交BC所在直线于点E，
∴AE=CE
情况1：D、E在BC上且D在E左侧
∵BC=10，DE=4
∴AD+AE=BD+CE=BC-DE=10-4=6
情况2：D、E在BC上且E在D左侧
∵BC=10，DE=4
∴AD+AE=BD+CE=BC+DE=10+4=14
AD+AE的长为6或14
C
8. (整体思想)如图，∠AOB内有一点P，分别作出点P关于OA，OB的对称点P₁，P₂，连接P₁P₂，交OA于点M，交OB于点N，连接PM，PN。当P₁P₂=12cm时，△PMN的周长为
12
cm。答案
8.12
解析
解：
∵点P关于OA的对称点为$P_1$，
∴OA垂直平分$PP_1$，则$PM = P_1M$。
∵点P关于OB的对称点为$P_2$，
∴OB垂直平分$PP_2$，则$PN = P_2N$。
△PMN的周长为$PM + MN + PN = P_1M + MN + P_2N = P_1P_2$。
∵$P_1P_2 = 12\,cm$，
∴△PMN的周长为$12\,cm$。
12
∵点P关于OA的对称点为$P_1$，
∴OA垂直平分$PP_1$，则$PM = P_1M$。
∵点P关于OB的对称点为$P_2$，
∴OB垂直平分$PP_2$，则$PN = P_2N$。
△PMN的周长为$PM + MN + PN = P_1M + MN + P_2N = P_1P_2$。
∵$P_1P_2 = 12\,cm$，
∴△PMN的周长为$12\,cm$。
12
9. 在△ABC中，∠A=90°，若BD是△ABC的角平分线，且ED是BC的垂直平分线，垂足为E，则∠ABD的度数为
30°
。答案
9.30° 解析:如图，
∵ED是BC的垂直平分线，
∴CE=BE，∠CED=∠BED=90°.在△CDE和△BDE中，
{CE=BE,
∠CED=∠BED,
DE=DE,
∴△CDE≌△BDE(SAS)，
∴∠C=∠DBE.
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBE=∠ABD，
∴∠C=∠DBE=∠ABD.
∵∠A=90°，
∴∠C+∠DBE+∠ABD=90°，
∴∠ABD=30°.
10. （新情境·现实生活）为了推进农村新型合作医疗改革，某镇准备新建一个医疗点P，使点P到该镇所属A村、B村、C村的距离都相等（A村、B村、C村不在同一条直线上，地理位置如图所示）。请你用尺规作图的方法确定点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）。
答案
10.如图，点P即为所求 解析:线段AB与线段AC的垂直平分线的交点P即为所求作的医疗点的位置.
11. 如图，D是线段BC的中点，分别以点B，C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径画弧，两弧相交于点A，连接AB，AC，AD，E为AD上一点，连接BE，CE。求证：BE=CE。
答案
11.
∵D是线段BC的中点，
∴BD=CD.根据画图过程，
{AB=AC,
得AB=AC.在△ABD和△ACD中,{BD=CD,
AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠ADB=∠ADC=1/2×180°=90°，
∴AD⊥BC，
∴直线AD是BC的垂直平分线.
∵点E在AD上，
∴BE=CE
∵D是线段BC的中点，
∴BD=CD.根据画图过程，
{AB=AC,
得AB=AC.在△ABD和△ACD中,{BD=CD,
AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠ADB=∠ADC=1/2×180°=90°，
∴AD⊥BC，
∴直线AD是BC的垂直平分线.
∵点E在AD上，
∴BE=CE
12. 如图，AB=CD，AC，BD的垂直平分线EM，EN相交于点E，连接BE，DE，BC。求证：∠ABE=∠CDE。
答案
12.如图，连接AE，CE.
∵AC，BD的垂直平分线EM，EN相交于点E，
∴AE=CE，BE=DE.在△ABE和
{AB=CD,
△CDE中,{BE=DE,
AE=CE,
∴△ABE≌△CDE(SSS)，
∴∠ABE=∠CDE
