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9. 用配方法解下列方程：
(1)$m^{2}=8m+20$；
(2)$x^{2}-2=-10x$；
(3)$y^{2}+1=-2\sqrt {2}y$；
(4)$x^{2}+\frac {1}{2}=\frac {5}{2}x$.
(1)$m^{2}=8m+20$；
(2)$x^{2}-2=-10x$；
(3)$y^{2}+1=-2\sqrt {2}y$；
(4)$x^{2}+\frac {1}{2}=\frac {5}{2}x$.
答案
9. (1)$m_{1}=-2,m_{2}=10$ (2)$x_{1}=-5+3\sqrt {3},x_{2}=-5-3\sqrt {3}$ (3)$y_{1}=-\sqrt {2}+1,y_{2}=-\sqrt {2}-1$ (4)$x_{1}=\frac {\sqrt {17}}{4}+\frac {5}{4},x_{2}=-\frac {\sqrt {17}}{4}+\frac {5}{4}$
解析
(1)移项得$m^{2}-8m=20$，配方得$m^{2}-8m + 16=20 + 16$，即$(m - 4)^{2}=36$，开方得$m - 4=\pm6$，解得$m_{1}=-2$，$m_{2}=10$；
(2)移项得$x^{2}+10x=2$，配方得$x^{2}+10x + 25=2 + 25$，即$(x + 5)^{2}=27$，开方得$x + 5=\pm3\sqrt{3}$，解得$x_{1}=-5 + 3\sqrt{3}$，$x_{2}=-5 - 3\sqrt{3}$；
(3)移项得$y^{2}+2\sqrt{2}y=-1$，配方得$y^{2}+2\sqrt{2}y + 2=-1 + 2$，即$(y + \sqrt{2})^{2}=1$，开方得$y + \sqrt{2}=\pm1$，解得$y_{1}=-\sqrt{2} + 1$，$y_{2}=-\sqrt{2}-1$；
(4)移项得$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{1}{2}$，配方得$x^{2}-\frac{5}{2}x + (\frac{5}{4})^{2}=-\frac{1}{2}+(\frac{5}{4})^{2}$，即$(x-\frac{5}{4})^{2}=\frac{17}{16}$，开方得$x-\frac{5}{4}=\pm\frac{\sqrt{17}}{4}$，解得$x_{1}=\frac{\sqrt{17}}{4}+\frac{5}{4}$，$x_{2}=-\frac{\sqrt{17}}{4}+\frac{5}{4}$。
(2)移项得$x^{2}+10x=2$，配方得$x^{2}+10x + 25=2 + 25$，即$(x + 5)^{2}=27$，开方得$x + 5=\pm3\sqrt{3}$，解得$x_{1}=-5 + 3\sqrt{3}$，$x_{2}=-5 - 3\sqrt{3}$；
(3)移项得$y^{2}+2\sqrt{2}y=-1$，配方得$y^{2}+2\sqrt{2}y + 2=-1 + 2$，即$(y + \sqrt{2})^{2}=1$，开方得$y + \sqrt{2}=\pm1$，解得$y_{1}=-\sqrt{2} + 1$，$y_{2}=-\sqrt{2}-1$；
(4)移项得$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{1}{2}$，配方得$x^{2}-\frac{5}{2}x + (\frac{5}{4})^{2}=-\frac{1}{2}+(\frac{5}{4})^{2}$，即$(x-\frac{5}{4})^{2}=\frac{17}{16}$，开方得$x-\frac{5}{4}=\pm\frac{\sqrt{17}}{4}$，解得$x_{1}=\frac{\sqrt{17}}{4}+\frac{5}{4}$，$x_{2}=-\frac{\sqrt{17}}{4}+\frac{5}{4}$。
10. 有n个关于x的一元二次方程：$x^{2}+2x-8=0$；$x^{2}+2×2x-8×2^{2}=0$；…；$x^{2}+2nx-8n^{2}=0$.小静同学解第1个方程$x^{2}+2x-8=0$的步骤如下：①$x^{2}+2x=8$；②$x^{2}+2x+1=8+1$；③$(x+1)^{2}=9$；④$x+1=\pm 3$；⑤$x=1\pm 3$；⑥$x_{1}=4$，$x_{2}=-2$.
(1)小静同学的解法是从步骤
(2)用配方法解第n个方程$x^{2}+2nx-8n^{2}=0$(用含n的式子表示方程的根).
(1)小静同学的解法是从步骤
⑤
开始出现错误的(填序号)；(2)用配方法解第n个方程$x^{2}+2nx-8n^{2}=0$(用含n的式子表示方程的根).
答案
10. (1)⑤ (2)$x^{2}+2nx=8n^{2},x^{2}+2nx+n^{2}=8n^{2}+n^{2},(x+n)^{2}=9n^{2},x+n=\pm 3n,x=-n\pm 3n,\therefore x_{1}=-4n,x_{2}=2n$
11. (易错题)(2023·巴中)先化简，再求值：$(\frac {1}{x+1}+x-1)÷\frac {x^{2}}{x^{2}+2x+1}$，其中x的值是方程$x^{2}-2x-3=0$的根.
答案
11. 原式$=\frac {x^{2}}{x+1}· \frac {(x+1)^{2}}{x^{2}}=x+1$.由$x^{2}-2x-3=0$,得$x^{2}-2x=3,x^{2}-2x+1=4,(x-1)^{2}=4,x-1=\pm 2$,即$x-1=2$或$x-1=-2,\therefore x_{1}=3,x_{2}=-1$.根据分式的分母不能为0,得$x≠0$且$x≠-1,\therefore x=3$,此时原式$=3+1=4$ [易错分析]解答本题时容易忽视"分式的分母不能为0"这一隐含条件.
解析
解：原式$=\left(\frac{1}{x+1}+\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}\right)÷\frac{x^{2}}{(x+1)^{2}}$
$=\frac{1+x^{2}-1}{x+1}·\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}}$
$=\frac{x^{2}}{x+1}·\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}}$
$=x+1$
解方程$x^{2}-2x-3=0$，得$(x-3)(x+1)=0$，即$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$
因为分式分母不能为0，所以$x+1\neq0$且$x^{2}\neq0$，即$x\neq-1$且$x\neq0$，故$x=3$
当$x=3$时，原式$=3+1=4$
$=\frac{1+x^{2}-1}{x+1}·\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}}$
$=\frac{x^{2}}{x+1}·\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}}$
$=x+1$
解方程$x^{2}-2x-3=0$，得$(x-3)(x+1)=0$，即$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$
因为分式分母不能为0，所以$x+1\neq0$且$x^{2}\neq0$，即$x\neq-1$且$x\neq0$，故$x=3$
当$x=3$时，原式$=3+1=4$
