14. 如图,$□ ABCD$的对角线 AC, BD 相交于点 O, E, F 分别是 OA, OC 的中点, 连接 BE, DF.
(1)根据题意,补全图形;
(2)求证:$BE= DF.$

14. (1) 解 如图所示.

(2) 证明 $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore OA = OC$，$OB = OD$.
$\because E$，$F$ 分别是 $OA$，$OC$ 的中点，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OA$，$OF=\frac{1}{2}OC$. $\therefore OE = OF$.
在 $\triangle BOE$ 和 $\triangle DOF$ 中，
$OB = OD$，$\angle BOE=\angle DOF$，$OE = OF$，
$\therefore \triangle BOE\cong \triangle DOF(SAS)$. $\therefore BE = DF$.

15. 工人师傅现在需要把一块三角形的铁板(如图),通过切割焊接成一个与其面积相等的平行四边形,你能帮助他设计一种可行的方案吗? 请在图中画出焊接线,并说明你的理由.

15. 解 设计的方案如图所示，
可分别取 $AB$，$AC$ 边的中点 $D$，$E$，连接 $DE$，过点 $C$ 作 $CF// AB$，交 $DE$ 的延长线于 $F$，

把 $\triangle ADE$ 切割下来，补在 $\triangle CFE$ 的位置上，就可焊接成 $□ BCFD$. 理由如下：
因为 $E$ 是 $AC$ 的中点，
所以 $AE = CE$.
因为 $CF// AB$，所以 $\angle ADF=\angle F$.
又因为 $\angle AED=\angle CEF$，
所以 $\triangle ADE\cong \triangle CFE$，所以 $AD = CF$.
因为 $D$ 是 $AB$ 的中点，
所以 $AD = BD$，故 $BD = CF$，
又因为 $CF// AB$，
所以四边形 $BCFD$ 是平行四边形.

☆设计扩建鱼池
某村有一口四边形的池塘,在它的四个角 A, B, C, D 各栽一棵大核桃树(如图),村里准备开挖池塘建养鱼池,想使池塘的面积扩大一倍,又想保持核桃树不动,并要求扩建后的池塘为平行四边形的形状.
同学们,请问该村能否实现这一设想? 若能,请你帮他们设计并画出图形;若不能,请说明理由.

趣味数学
解 可以. 连接 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，分别过 $A$，$C$ 作 $EH// BD$，$FG// BD$，再过 $B$，$D$ 分别作 $AC$ 的平行线，几条平行线分别相交于 $E$，$F$，$G$，$H$ 四点，则四边形 $EFGH$ 即为所求.

理由如下：
$\because EF// AC$，$GH// AC$，$\therefore EF// GH$.
同理：$EH// FG$，
$\therefore$ 四边形 $EFGH$ 是平行四边形.
又四边形 $OAHD$ 与四边形 $ODGC$，四边形 $OBFC$，四边形 $OAEB$ 均为平行四边形，
$\therefore S_{\triangle HAD}=S_{\triangle AOD}$，$S_{\triangle DGC}=S_{\triangle DOC}$，$S_{\triangle AEB}=S_{\triangle AOB}$，$S_{\triangle BFC}=S_{\triangle BOC}$.
$\therefore S_{□ HEFG}=2S_{四边形ABCD}$.