1. 下列各式中，是分式方程的是 （ ）
A. $ x + y = 5 $
B. $\frac{x + 2}{5} = \frac{2y - z}{3}$
C. $\frac{1}{x}$
D. $\frac{y}{x + 5} = 0$

D

2. 解分式方程 $\frac{1}{x - 1} + 1 = 0$，正确的结果是 （ ）
A. $ x = 0 $
B. $ x = 1 $
C. $ x = 2 $
D. 无解

A

3. 如果关于 $ x $ 的方程 $\frac{a}{x - 4} + 1 = \frac{1 - 2x}{4 - x}$ 有增根，则 $ a $ 的值为 $\_\_\_\_\_\_$。

$7$

4. 已知关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{m - 2}{x + 1} = 1$ 的解是负数，则 $ m $ 的取值范围是 $\_\_\_\_\_\_$。

$m\lt 3$且$m\neq 2$

5. 解方程：$\frac{4}{x^{2} - 4} + \frac{x + 3}{x - 2} = \frac{x - 1}{x + 2}$。

【解析】：
本题可先将分式方程化为整式方程，再求解整式方程，最后对所得的根进行检验。
- **步骤一：确定方程的最简公分母**
对于方程$\frac{4}{x^{2} - 4} + \frac{x + 3}{x - 2} = \frac{x - 1}{x + 2}$，先对$x^2 - 4$因式分解，根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$可得$x^2 - 4=(x + 2)(x - 2)$。
所以该方程的最简公分母为$(x + 2)(x - 2)$。
- **步骤二：方程两边同乘最简公分母化为整式方程**
方程两边同时乘以$(x + 2)(x - 2)$得：
$4 + (x + 3)(x + 2) = (x - 1)(x - 2)$
- **步骤三：求解整式方程**
分别展开等式两边的式子：
根据多项式乘法法则展开$(x + 3)(x + 2)$得$x^2+2x+3x+6=x^2+5x+6$；
展开$(x - 1)(x - 2)$得$x^2-2x-x+2=x^2-3x+2$。
此时方程变为$4 + x^2 + 5x + 6 = x^2 - 3x + 2$。
移项、合并同类项：
将含有$x$的项移到等号左边，常数项移到等号右边得：
$x^2 - x^2 + 5x + 3x = 2 - 4 - 6$
合并同类项得$8x = -8$。
求解$x$：
方程两边同时除以$8$，可得$x = -1$。
- **步骤四：检验根的有效性**
将$x = -1$代入原方程的分母$(x + 2)(x - 2)$中，可得$(-1 + 2)\times(-1 - 2)=1\times(-3)= -3\neq 0$。
分母不为$0$，所以$x = -1$是原分式方程的解。
【答案】：$x = -1$

6. 有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成；若乙队单独做，要超过规定日期 3 天完成。现在先由甲、乙两队合做 2 天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问：规定日期为多少天？

【解析】：设规定日期为$x$天，则甲队单独完成工程需要$x$天，乙队单独完成工程需要$(x + 3)$天。
把这项工程的工作量看作单位“$1$”，根据工作效率=工作量÷工作时间，可得甲队的工作效率为$\frac{1}{x}$，乙队的工作效率为$\frac{1}{x + 3}$。
甲、乙两队合做$2$天的工作量为$2\times(\frac{1}{x}+\frac{1}{x + 3})$，剩下的工程由乙队单独做的天数为$(x - 2)$天，其工作量为$(x - 2)\times\frac{1}{x + 3}$。
根据甲、乙两队完成的工作量之和等于总工作量“$1$”，可列方程：
$2\times(\frac{1}{x}+\frac{1}{x + 3})+(x - 2)\times\frac{1}{x + 3}=1$
去括号得：$\frac{2}{x}+\frac{2}{x + 3}+\frac{x - 2}{x + 3}=1$
合并同类项得：$\frac{2}{x}+\frac{2 + x - 2}{x + 3}=1$
即$\frac{2}{x}+\frac{x}{x + 3}=1$
方程两边同乘$x(x + 3)$去分母得：
$2(x + 3)+x^2=x(x + 3)$
去括号得：$2x+6+x^2=x^2+3x$
移项得：$x^2 - x^2+2x - 3x=-6$
合并同类项得：$-x=-6$
解得：$x = 6$。
经检验，当$x = 6$时，$x(x + 3)=6\times(6 + 3)=54\neq0$，所以$x = 6$是原方程的解，且符合题意。
【答案】：$6$天

1. 下列分式是最简分式的是 （ ）
A. $\frac{2x}{x^{2} + 1}$
B. $\frac{4}{2x}$
C. $\frac{x - 1}{x^{2} - 1}$
D. $\frac{1 - x}{x - 1}$

A