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1. (★★)下列说法中,不正确的是 ( )
A.8 的立方根是 2
B.-8 的立方根是 -2
C.0 的立方根是 0
D.$\sqrt [3]{a^{2}}的立方根是a^{2}$
A.8 的立方根是 2
B.-8 的立方根是 -2
C.0 的立方根是 0
D.$\sqrt [3]{a^{2}}的立方根是a^{2}$
答案
【解析】：逐一分析各选项：
选项A：因为$2^3 = 8$，所以8的立方根是2，该说法正确。
选项B：因为$(-2)^3=-8$，所以-8的立方根是-2，该说法正确。
选项C：因为$0^3 = 0$，所以0的立方根是0，该说法正确。
选项D：$\sqrt[3]{a^2}$表示$a^2$的立方根，设$x = \sqrt[3]{a^2}$，则$x$的立方根是$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^2}}=(a^2)^{\frac{1}{3}×\frac{1}{3}}=a^{\frac{2}{9}}$，而不是$a^2$，该说法不正确。
【答案】：D
选项A：因为$2^3 = 8$，所以8的立方根是2，该说法正确。
选项B：因为$(-2)^3=-8$，所以-8的立方根是-2，该说法正确。
选项C：因为$0^3 = 0$，所以0的立方根是0，该说法正确。
选项D：$\sqrt[3]{a^2}$表示$a^2$的立方根，设$x = \sqrt[3]{a^2}$，则$x$的立方根是$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^2}}=(a^2)^{\frac{1}{3}×\frac{1}{3}}=a^{\frac{2}{9}}$，而不是$a^2$，该说法不正确。
【答案】：D
2. (★★)$-1\frac {61}{64}$的立方根是 ( )
A.$-1\frac {\sqrt [3]{61}}{4}$
B.$\pm 1\frac {1}{4}$
C.$1\frac {1}{4}$
D.$-1\frac {1}{4}$
A.$-1\frac {\sqrt [3]{61}}{4}$
B.$\pm 1\frac {1}{4}$
C.$1\frac {1}{4}$
D.$-1\frac {1}{4}$
答案
【解析】：首先，将带分数$-1\frac{61}{64}$化为假分数。$1\frac{61}{64} = \frac{64 + 61}{64} = \frac{125}{64}$，所以$-1\frac{61}{64} = -\frac{125}{64}$。
接下来，求$-\frac{125}{64}$的立方根。因为$5^3 = 125$，$4^3 = 64$，所以$\sqrt[3]{\frac{125}{64}} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$。
由于负数的立方根是负数，因此$\sqrt[3]{-\frac{125}{64}} = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4}$。
【答案】：D
接下来，求$-\frac{125}{64}$的立方根。因为$5^3 = 125$，$4^3 = 64$，所以$\sqrt[3]{\frac{125}{64}} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$。
由于负数的立方根是负数，因此$\sqrt[3]{-\frac{125}{64}} = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4}$。
【答案】：D
3. (★★★)下列说法:①如果b是a的三次幂,那么b的立方根是a;②任何正数都有两个立方根,它们互为相反数;③负数没有立方根;④如果a是b的立方根,那么$ab≥0$.其中正确的有 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
①
∵b是a的三次幂，
∴b=a³，
∴b的立方根是a，
故①正确；
②
∵任何数都只有一个立方根，
∴②错误；
③
∵负数有立方根，
∴③错误；
④
∵a是b的立方根，
∴b=a³，
∴ab=a·a³=a⁴≥0，
故④正确；
综上，正确的有2个，选B
∵b是a的三次幂，
∴b=a³，
∴b的立方根是a，
故①正确；
②
∵任何数都只有一个立方根，
∴②错误；
③
∵负数有立方根，
∴③错误；
④
∵a是b的立方根，
∴b=a³，
∴ab=a·a³=a⁴≥0，
故④正确；
综上，正确的有2个，选B
4. (★★★)下列运算中正确的是 ( )
A.$\sqrt [3]{-a}= -\sqrt [3]{a}$
B.$\sqrt [3]{-27}= 3$
C.$-\sqrt [3]{2^{3}-3^{3}}= -1$
D.$-\sqrt [3]{|-64|}= 4$
A.$\sqrt [3]{-a}= -\sqrt [3]{a}$
B.$\sqrt [3]{-27}= 3$
C.$-\sqrt [3]{2^{3}-3^{3}}= -1$
D.$-\sqrt [3]{|-64|}= 4$
答案
【解析】：
选项A：根据立方根的性质，负数的立方根是负数，即$\sqrt [3]{-a}= -\sqrt [3]{a}$，该选项正确。
选项B：$\sqrt [3]{-27}=-3$（因为$(-3)^3=-27$），而不是3，该选项错误。
选项C：先计算根号内的值：$2^3 - 3^3 = 8 - 27 = -19$，则$-\sqrt [3]{-19} = \sqrt [3]{19}\neq -1$，该选项错误。
选项D：$|-64| = 64$，$-\sqrt [3]{64}=-4$（因为$4^3=64$），而不是4，该选项错误。
【答案】：A
选项A：根据立方根的性质，负数的立方根是负数，即$\sqrt [3]{-a}= -\sqrt [3]{a}$，该选项正确。
选项B：$\sqrt [3]{-27}=-3$（因为$(-3)^3=-27$），而不是3，该选项错误。
选项C：先计算根号内的值：$2^3 - 3^3 = 8 - 27 = -19$，则$-\sqrt [3]{-19} = \sqrt [3]{19}\neq -1$，该选项错误。
选项D：$|-64| = 64$，$-\sqrt [3]{64}=-4$（因为$4^3=64$），而不是4，该选项错误。
【答案】：A
5. (★★★)若$\sqrt {x+3}= 4$,则$\sqrt [3]{(x-10)^{3}}$的值是 ( )
A.3
B.-3
C.-9
D.51
A.3
B.-3
C.-9
D.51
答案
解：∵$\sqrt{x + 3}=4$
∴$x + 3=16$
∴$x=13$
将$x = 13$代入$\sqrt[3]{(x - 10)^3}$中，
$\sqrt[3]{(13 - 10)^3}=\sqrt[3]{3^3}=3$
A
∴$x + 3=16$
∴$x=13$
将$x = 13$代入$\sqrt[3]{(x - 10)^3}$中，
$\sqrt[3]{(13 - 10)^3}=\sqrt[3]{3^3}=3$
A
6. (★★★)要使$\sqrt [3]{(4-a)^{3}}= 4-a$成立,则a的取值范围是 ( )
A.$a≤4$
B.$-a≤4$
C.$a≥4$
D.一切实数
A.$a≤4$
B.$-a≤4$
C.$a≥4$
D.一切实数
答案
【解析】：对于立方根，有一个重要的性质：$\sqrt[3]{x^3} = x$，这个等式对于任意实数$x$都成立，因为立方根运算与立方运算是互逆的，且立方运算不改变数的符号，立方根也不改变数的符号。
在题目中，$\sqrt[3]{(4 - a)^3}$，这里的被开方数是$(4 - a)^3$，根据上述立方根的性质，无论$4 - a$是正数、负数还是零，$\sqrt[3]{(4 - a)^3}$都等于$4 - a$本身。
也就是说，无论$a$取任何实数，$4 - a$都是一个实数，所以$\sqrt[3]{(4 - a)^3} = 4 - a$恒成立。
因此，$a$的取值范围是一切实数。
【答案】：D
在题目中，$\sqrt[3]{(4 - a)^3}$，这里的被开方数是$(4 - a)^3$，根据上述立方根的性质，无论$4 - a$是正数、负数还是零，$\sqrt[3]{(4 - a)^3}$都等于$4 - a$本身。
也就是说，无论$a$取任何实数，$4 - a$都是一个实数，所以$\sqrt[3]{(4 - a)^3} = 4 - a$恒成立。
因此，$a$的取值范围是一切实数。
【答案】：D
7. (★★★)一个正方体的水晶砖,体积为$100cm^{3}$,它的棱长大约在 ( )
A.4 cm~5 cm 之间
B.5 cm~6 cm 之间
C.6 cm~7 cm 之间
D.7 cm~8 cm 之间
A.4 cm~5 cm 之间
B.5 cm~6 cm 之间
C.6 cm~7 cm 之间
D.7 cm~8 cm 之间
答案
解：设正方体的棱长为$x$cm，
则$x^{3}=100$，
$\because 4^{3}=64$，$5^{3}=125$，
$64＜100＜125$，
$\therefore 4＜x＜5$，
A
则$x^{3}=100$，
$\because 4^{3}=64$，$5^{3}=125$，
$64＜100＜125$，
$\therefore 4＜x＜5$，
A
8. (★★★)某个数的立方根是它本身,这样的数有____.
答案
【解析】：设这个数为$x$，根据题意可得$\sqrt[3]{x}=x$。将等式两边同时立方，得到$x = x^3$，移项可得$x^3 - x = 0$，因式分解为$x(x^2 - 1) = 0$，进一步分解为$x(x - 1)(x + 1) = 0$。则方程的解为$x = 0$或$x = 1$或$x = -1$。所以这样的数有$0$，$1$，$-1$。
【答案】：0，1，-1
【答案】：0，1，-1
9. (★★)$\sqrt [3]{-27}= $____,它的倒数是____,它的绝对值是____.
答案
【解析】：因为$(-3)^3 = -27$，所以$\sqrt[3]{-27}=-3$。
$-3$的倒数是$\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$。
$-3$的绝对值是$|-3|=3$。
【答案】：-3;-$\frac{1}{3}$;3
$-3$的倒数是$\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$。
$-3$的绝对值是$|-3|=3$。
【答案】：-3;-$\frac{1}{3}$;3
10. (★★★)若$a^{2}= 64$,则$\sqrt [3]{a}= $____.
答案
【解析】：因为$a^{2}=64$，所以$a = \pm \sqrt{64} = \pm 8$。
当$a = 8$时，$\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{8} = 2$；
当$a = -8$时，$\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{-8} = -2$。
综上，$\sqrt[3]{a} = \pm 2$。
【答案】：±2
当$a = 8$时，$\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{8} = 2$；
当$a = -8$时，$\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{-8} = -2$。
综上，$\sqrt[3]{a} = \pm 2$。
【答案】：±2
11. (★★★)已知第一个正方体纸盒的棱长为6 cm,第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大$127cm^{3}$,求第二个纸盒的棱长.
答案
解：第一个正方体纸盒的体积为$6^3=216\ \text{cm}^3$，
第二个正方体纸盒的体积为$216+127=343\ \text{cm}^3$，
设第二个纸盒的棱长为$x\ \text{cm}$，
则$x^3=343$，
解得$x=7$，
答：第二个纸盒的棱长为$7\ \text{cm}$.
第二个正方体纸盒的体积为$216+127=343\ \text{cm}^3$，
设第二个纸盒的棱长为$x\ \text{cm}$，
则$x^3=343$，
解得$x=7$，
答：第二个纸盒的棱长为$7\ \text{cm}$.
