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3. 化简：$(\frac {2-2x}{x+1}+x-1)÷\frac {x^{2}-x}{x+1}$.
答案
【解析】：
本题可先对括号内的式子进行通分计算，再将除法转化为乘法，最后进行约分来化简式子。
- **步骤一：对括号内的式子进行通分计算**
将$(\frac{2 - 2x}{x + 1} + x - 1)$中的$x - 1$变形为$\frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1}$，然后进行通分计算：
$\begin{aligned}&\frac{2 - 2x}{x + 1} + \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1}\\=&\frac{2 - 2x + (x - 1)(x + 1)}{x + 1}\\=&\frac{2 - 2x + x^2 - 1}{x + 1}\\=&\frac{x^2 - 2x + 1}{x + 1}\\=&\frac{(x - 1)^2}{x + 1}\end{aligned}$
- **步骤二：将除法转化为乘法**
根据除法运算法则，除以一个数等于乘以它的倒数，将$(\frac{(x - 1)^2}{x + 1})÷\frac{x^2 - x}{x + 1}$转化为$(\frac{(x - 1)^2}{x + 1})×\frac{x + 1}{x^2 - x}$。
- **步骤三：对$x^2 - x$进行因式分解并约分**
对$x^2 - x$提取公因式$x$，可得$x^2 - x = x(x - 1)$。
将其代入上式可得：$\frac{(x - 1)^2}{x + 1}×\frac{x + 1}{x(x - 1)}$，约分后得到$\frac{x - 1}{x}$。
【答案】：$\frac{x - 1}{x}$
本题可先对括号内的式子进行通分计算，再将除法转化为乘法，最后进行约分来化简式子。
- **步骤一：对括号内的式子进行通分计算**
将$(\frac{2 - 2x}{x + 1} + x - 1)$中的$x - 1$变形为$\frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1}$，然后进行通分计算：
$\begin{aligned}&\frac{2 - 2x}{x + 1} + \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1}\\=&\frac{2 - 2x + (x - 1)(x + 1)}{x + 1}\\=&\frac{2 - 2x + x^2 - 1}{x + 1}\\=&\frac{x^2 - 2x + 1}{x + 1}\\=&\frac{(x - 1)^2}{x + 1}\end{aligned}$
- **步骤二：将除法转化为乘法**
根据除法运算法则，除以一个数等于乘以它的倒数，将$(\frac{(x - 1)^2}{x + 1})÷\frac{x^2 - x}{x + 1}$转化为$(\frac{(x - 1)^2}{x + 1})×\frac{x + 1}{x^2 - x}$。
- **步骤三：对$x^2 - x$进行因式分解并约分**
对$x^2 - x$提取公因式$x$，可得$x^2 - x = x(x - 1)$。
将其代入上式可得：$\frac{(x - 1)^2}{x + 1}×\frac{x + 1}{x(x - 1)}$，约分后得到$\frac{x - 1}{x}$。
【答案】：$\frac{x - 1}{x}$
4. 化简，再求值：$(\frac {x}{x^{2}+x}-1)÷\frac {x^{2}-1}{x^{2}+2x+1}$，其中$x$的值从不等式组$\left\{\begin{array}{l} -x≤1,\\ 2x-1＜4\end{array}\right. $的整数解中选取.
答案
【解析】：
### 1. 化简原式
先对括号内的式子进行化简：
对于$\frac{x}{x^{2}+x}$，提取公因式$x$可得$\frac{x}{x(x + 1)}=\frac{1}{x + 1}$，则$(\frac{x}{x^{2}+x}-1)=(\frac{1}{x + 1}-1)$。
通分可得$\frac{1}{x + 1}-\frac{x + 1}{x + 1}=\frac{1-(x + 1)}{x + 1}=\frac{1 - x - 1}{x + 1}=-\frac{x}{x + 1}$。
再对除法运算进行转化为乘法运算：
已知$\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x + 1}$，根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，可得$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$；根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，可得$x^{2}+2x + 1=(x + 1)^{2}$。
那么$(\frac{x}{x^{2}+x}-1)÷\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x + 1}=-\frac{x}{x + 1}×\frac{(x + 1)^{2}}{(x + 1)(x - 1)}=-\frac{x}{x - 1}$。
### 2. 求解不等式组
解不等式$-x\leqslant1$，两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，得$x\geqslant - 1$。
解不等式$2x-1\lt4$，移项可得$2x\lt4 + 1$，即$2x\lt5$，两边同时除以$2$，得$x\lt\frac{5}{2}$。
所以不等式组$\left\{\begin{array}{l}-x\leqslant1\\2x - 1\lt4\end{array}\right.$的解集为$-1\leqslant x\lt\frac{5}{2}$，其整数解为$-1$，$0$，$1$，$2$。
### 3. 确定$x$的取值
要使原式有意义，则分母不能为$0$。
在$\frac{x}{x^{2}+x}$中，$x^{2}+x=x(x + 1)\neq0$，即$x\neq0$且$x\neq - 1$；在$\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x + 1}$中，$(x + 1)(x - 1)\neq0$，即$x\neq\pm1$。
所以$x$只能取$2$。
### 4. 代入求值
当$x = 2$时，$-\frac{x}{x - 1}=-\frac{2}{2 - 1}=-2$。
【答案】：化简结果为$-\frac{x}{x - 1}$，值为$-2$。
### 1. 化简原式
先对括号内的式子进行化简：
对于$\frac{x}{x^{2}+x}$，提取公因式$x$可得$\frac{x}{x(x + 1)}=\frac{1}{x + 1}$，则$(\frac{x}{x^{2}+x}-1)=(\frac{1}{x + 1}-1)$。
通分可得$\frac{1}{x + 1}-\frac{x + 1}{x + 1}=\frac{1-(x + 1)}{x + 1}=\frac{1 - x - 1}{x + 1}=-\frac{x}{x + 1}$。
再对除法运算进行转化为乘法运算：
已知$\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x + 1}$，根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，可得$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$；根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，可得$x^{2}+2x + 1=(x + 1)^{2}$。
那么$(\frac{x}{x^{2}+x}-1)÷\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x + 1}=-\frac{x}{x + 1}×\frac{(x + 1)^{2}}{(x + 1)(x - 1)}=-\frac{x}{x - 1}$。
### 2. 求解不等式组
解不等式$-x\leqslant1$，两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，得$x\geqslant - 1$。
解不等式$2x-1\lt4$，移项可得$2x\lt4 + 1$，即$2x\lt5$，两边同时除以$2$，得$x\lt\frac{5}{2}$。
所以不等式组$\left\{\begin{array}{l}-x\leqslant1\\2x - 1\lt4\end{array}\right.$的解集为$-1\leqslant x\lt\frac{5}{2}$，其整数解为$-1$，$0$，$1$，$2$。
### 3. 确定$x$的取值
要使原式有意义，则分母不能为$0$。
在$\frac{x}{x^{2}+x}$中，$x^{2}+x=x(x + 1)\neq0$，即$x\neq0$且$x\neq - 1$；在$\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x + 1}$中，$(x + 1)(x - 1)\neq0$，即$x\neq\pm1$。
所以$x$只能取$2$。
### 4. 代入求值
当$x = 2$时，$-\frac{x}{x - 1}=-\frac{2}{2 - 1}=-2$。
【答案】：化简结果为$-\frac{x}{x - 1}$，值为$-2$。
5. 化简：$(\frac {x+1}{x-1}+1)÷\frac {x^{2}+x}{x^{2}-2x+1}+\frac {2-2x}{x^{2}-1}$，从$-2≤x≤2$的范围内选取一个合适的整数作为$x$的值带入求值.
答案
【解析】：
本题可先对原式进行化简，再根据分式有意义的条件选取合适的$x$值代入化简后的式子求值。
### 步骤一：化简原式
- **化简$(\frac{x + 1}{x - 1} + 1)÷\frac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1}$：**
先对括号内的式子进行通分：
$\frac{x + 1}{x - 1} + 1=\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x - 1}=\frac{x + 1 + x - 1}{x - 1}=\frac{2x}{x - 1}$
再将除法转化为乘法，并对分子分母进行因式分解：
$\frac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1}=\frac{x(x + 1)}{(x - 1)^2}$
则$(\frac{x + 1}{x - 1} + 1)÷\frac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1}=\frac{2x}{x - 1}×\frac{(x - 1)^2}{x(x + 1)}=\frac{2(x - 1)}{x + 1}$
- **化简$\frac{2 - 2x}{x^2 - 1}$：**
对分子提取公因式$2$，分母因式分解：
$\frac{2 - 2x}{x^2 - 1}=\frac{2(1 - x)}{(x + 1)(x - 1)}=-\frac{2(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}=-\frac{2}{x + 1}$
- **将上述化简结果相加：**
$\frac{2(x - 1)}{x + 1}-\frac{2}{x + 1}=\frac{2(x - 1) - 2}{x + 1}=\frac{2x - 2 - 2}{x + 1}=\frac{2x - 4}{x + 1}$
### 步骤二：确定$x$的取值范围
要使原式有意义，则分母不能为$0$，即：
$x - 1\neq 0$，解得$x\neq 1$；
$x + 1\neq 0$，解得$x\neq -1$；
$x\neq 0$。
### 步骤三：选取合适的$x$值代入求值
已知$-2\leq x\leq 2$，且$x\neq 1$，$x\neq -1$，$x\neq 0$，则可选取$x = 2$代入$\frac{2x - 4}{x + 1}$：
$\frac{2× 2 - 4}{2 + 1}=\frac{4 - 4}{3}=0$
【答案】：化简结果为$\frac{2x - 4}{x + 1}$，当$x = 2$时，值为$0$。
本题可先对原式进行化简，再根据分式有意义的条件选取合适的$x$值代入化简后的式子求值。
### 步骤一：化简原式
- **化简$(\frac{x + 1}{x - 1} + 1)÷\frac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1}$：**
先对括号内的式子进行通分：
$\frac{x + 1}{x - 1} + 1=\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x - 1}=\frac{x + 1 + x - 1}{x - 1}=\frac{2x}{x - 1}$
再将除法转化为乘法，并对分子分母进行因式分解：
$\frac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1}=\frac{x(x + 1)}{(x - 1)^2}$
则$(\frac{x + 1}{x - 1} + 1)÷\frac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1}=\frac{2x}{x - 1}×\frac{(x - 1)^2}{x(x + 1)}=\frac{2(x - 1)}{x + 1}$
- **化简$\frac{2 - 2x}{x^2 - 1}$：**
对分子提取公因式$2$，分母因式分解：
$\frac{2 - 2x}{x^2 - 1}=\frac{2(1 - x)}{(x + 1)(x - 1)}=-\frac{2(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}=-\frac{2}{x + 1}$
- **将上述化简结果相加：**
$\frac{2(x - 1)}{x + 1}-\frac{2}{x + 1}=\frac{2(x - 1) - 2}{x + 1}=\frac{2x - 2 - 2}{x + 1}=\frac{2x - 4}{x + 1}$
### 步骤二：确定$x$的取值范围
要使原式有意义，则分母不能为$0$，即：
$x - 1\neq 0$，解得$x\neq 1$；
$x + 1\neq 0$，解得$x\neq -1$；
$x\neq 0$。
### 步骤三：选取合适的$x$值代入求值
已知$-2\leq x\leq 2$，且$x\neq 1$，$x\neq -1$，$x\neq 0$，则可选取$x = 2$代入$\frac{2x - 4}{x + 1}$：
$\frac{2× 2 - 4}{2 + 1}=\frac{4 - 4}{3}=0$
【答案】：化简结果为$\frac{2x - 4}{x + 1}$，当$x = 2$时，值为$0$。
