1. (2025·淄博期中)把 $9mn + 6mn^2$ 分解因式,应提取的公因式是 ()

A.$3m$
B.$mn$
C.$3mn$
D.$mn^2$

1. C 解析：$9mn + 6mn^{2} = 3mn(3 + 2n)$，
∴ 公因式为 $3mn$。故选 C。

2. (2025·周口校级月考)下列各组式子中,没有公因式的是 ()

A.$-a^2 + ab$ 与 $ab^2 - a^2b$
B.$mx + y$ 与 $x + y$
C.$(a + b)^2$ 与 $-a - b$
D.$5m(x - y)$ 与 $y - x$

2. B 解析：因为 $-a^{2} + ab = a(b - a)$，$ab^{2} - a^{2}b = ab(b - a)$，所以 $-a^{2} + ab$ 与 $ab^{2} - a^{2}b$ 有公因式 $a(b - a)$，故选项 A 不符合题意；$mx + y$ 与 $x + y$ 没有公因式，故选项 B 符合题意；因为 $-a - b = -(a + b)$，所以 $(a + b)^{2}$ 与 $-a - b$ 有公因式 $a + b$，故选项 C 不符合题意；因为 $5m(x - y) = -5m(y - x)$，所以 $5m(x - y)$ 与 $y - x$ 有公因式 $y - x$，故选项 D 不符合题意。故选 B。

3. 分解因式:
(1) (2025·达州中考) $m^2 + 2m =$.
(2) $6xy + 3x^2y - 4x^2yz^3 =$.
(3) (聊城中考) $x(x - 2) - x + 2 =$.

3. (1) $m(m + 2)$ (2) $xy(6 + 3x - 4xz^{3})$ (3) $(x - 2)(x - 1)$
技法点拨 当多项式的各项中出现类似的数字或字母时，可利用提公因式法进行因式分解。在分解因式过程中需先找出各项的公因式，同时需要注意公因式有时也会为多项式，如本题中的 $x(x - 2) - x + 2$，其可变形为 $x(x - 2) - (x - 2)$，则前后两项的公因式为 $x - 2$。

4. (1) $8x^my^{n - 1}$ 与 $12x^{5m}y^n$ 的公因式是.
(2) 若多项式 $(x + 2y)^2 - 6x(x + 2y)$ 有一个因式为 $x + 2y$,则另一个因式为.

4. (1) $4x^{m}y^{n - 1}$ 解析：$8x^{m}y^{n - 1}$ 与 $12x^{5}y^{n}$ 均有最大因式 $4x^{m}y^{n - 1}$，故公因式为 $4x^{m}y^{n - 1}$。
(2) $-5x + 2y$ 解析：$(x + 2y)^{2} - 6x(x + 2y) = (x + 2y)(x + 2y - 6x) = (x + 2y)(-5x + 2y)$，故另一个因式为 $-5x + 2y$。

5. 分解因式:
(1) $-15a^3b^2 + 9a^2b^2 - 3ab^3$;
(2) (杭州中考) $(a - b)^2 - (b - a)$;
(3) $(2a + b)(2a - b) + b(4a + 2b)$;
(4) $x^2(a - 1) + x(1 - a)$.

1. （1）
解：
对于$-15a^{3}b^{2}+9a^{2}b^{2}-3ab^{3}$，
首先提取公因式$-3ab^{2}$，
则$-15a^{3}b^{2}+9a^{2}b^{2}-3ab^{3}=-3ab^{2}(5a^{2}-3a + b)$。
2. （2）
解：
对于$(a - b)^{2}-(b - a)$，
因为$(b - a)=-(a - b)$，
所以原式$=(a - b)^{2}+(a - b)$，
提取公因式$(a - b)$，
得到$(a - b)(a - b + 1)$。
3. （3）
解：
对于$(2a + b)(2a - b)+b(4a + 2b)$，
先根据平方差公式$(m + n)(m - n)=m^{2}-n^{2}$（这里$m = 2a$，$n = b$），则$(2a + b)(2a - b)=4a^{2}-b^{2}$，
同时$b(4a + 2b)=4ab+2b^{2}$，
所以原式$=4a^{2}-b^{2}+4ab + 2b^{2}$，
合并同类项得$4a^{2}+4ab + b^{2}$，
再根据完全平方公式$(m + n)^{2}=m^{2}+2mn + n^{2}$（这里$m = 2a$，$n = b$），
则$4a^{2}+4ab + b^{2}=(2a + b)^{2}$。
4. （4）
解：
对于$x^{2}(a - 1)+x(1 - a)$，
因为$1 - a=-(a - 1)$，
所以原式$=x^{2}(a - 1)-x(a - 1)$，
提取公因式$x(a - 1)$，
得到$x(a - 1)(x - 1)$。
综上，答案依次为：（1）$-3ab^{2}(5a^{2}-3a + b)$；（2）$(a - b)(a - b + 1)$；（3）$(2a + b)^{2}$；（4）$x(a - 1)(x - 1)$。

6. 下列各多项式中,因式分解错误的是 ()

A.$(a - b)^3 - (b - a)^2 = (a - b)^2(a - b - 1)$
B.$x(a - b - c) - y(b + c - a) = (a - b - c)(x + y)$
C.$p(m - n)^3 - pq(n - m)^3 = p(m - n)^3(1 + q)$
D.$(a - 2b)(7a + b) - 2(2b - a)^2 = (a - 2b)(5a + 5b)$

6. D 解析：$(a - 2b)(7a + b) - 2(2b - a)^{2} = (a - 2b)(7a + b) - 2(a - 2b)^{2} = (a - 2b)(7a + b - 2a + 4b) = (a - 2b)(5a + 5b) = 5(a - 2b)(a + b)$，故选 D。

7. 若多项式 $(a + b - c)(a + c - b) + (b - a + c)(b - a - c) = M·(a - b + c)$,则 $M =$ ()

A.$2(b - c)$
B.$2a$
C.$2b$
D.$2(a - c)$

7. D 解析：$(a + b - c)(a + c - b) + (b - a + c)(b - a - c) = (a + b - c)(a + c - b) - (b - a + c)(a + c - b) = (a + c - b)[(a + b - c) - (b - a + c)] = (a - b + c)(a + b - c - b + a - c) = 2(a - c)(a - b + c)$，则 $M = 2(a - c)$，故选 D。

8. (2025·达州期中)相邻边长为 $a,b$ 的长方形,若它的周长为 $20$,面积为 $24$,则 $a^2b + ab^2$ 的值为.

8. 240 解析：由题意得 $2(a + b) = 20$，$ab = 24$，即 $a + b = 10$，$ab = 24$，则 $a^{2}b + ab^{2} = ab(a + b) = 24×10 = 240$。

9. 若 $x^2 + x = 1$,则 $x^4 + x^3 + x + 1$ 的值为.

9. 2 解析：因为 $x^{2} + x = 1$，所以 $x^{4} + x^{3} + x + 1 = x^{2}(x^{2} + x) + x + 1 = x^{2} + x + 1 = 1 + 1 = 2$。

因为 $x^2 + x = 1$，所以 $x^4 + x^3 + x + 1 = x^2(x^2 + x) + x + 1 = x^2 · 1 + x + 1 = x^2 + x + 1 = 1 + 1 = 2$。

10. 分解因式:
(1) $9(a - b)(a + b) - 3(a - b)^2$;
(2) $15a(a - b)^{2n + 1} - 10ab(b - a)^{2n}$ ($n$ 为正整数).

$(1)$
解：
对$9(a - b)(a + b) - 3(a - b)^2$分解因式，提取公因式$3(a - b)$：
$\begin{aligned}&9(a - b)(a + b) - 3(a - b)^2\\=&3(a - b)[3(a + b)-(a - b)]\\=&3(a - b)(3a + 3b - a + b)\\=&3(a - b)(2a + 4b)\\=&6(a - b)(a + 2b)\end{aligned}$
$(2)$
解：
因为$n$为正整数，所以$(b - a)^{2n}=(a - b)^{2n}$。
对$15a(a - b)^{2n + 1}-10ab(b - a)^{2n}$分解因式，提取公因式$5a(a - b)^{2n}$：
$\begin{aligned}&15a(a - b)^{2n + 1}-10ab(b - a)^{2n}\\=&15a(a - b)^{2n + 1}-10ab(a - b)^{2n}\\=&5a(a - b)^{2n}[3(a - b)-2b]\\=&5a(a - b)^{2n}(3a - 3b - 2b)\\=&5a(a - b)^{2n}(3a - 5b)\end{aligned}$
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{6(a - b)(a + 2b)}$；$(2)$$\boldsymbol{5a(a - b)^{2n}(3a - 5b)}$。