1 计算 $3a · (-2a)^2$ 的结果是（）

A.$-12a^3$
B.$-6a^2$
C.$12a^3$
D.$6a^3$

1. C

【分析】
本题考查整式的乘法运算，解题思路是先根据积的乘方法则计算乘方部分，再依据单项式乘单项式法则计算最终结果，最后匹配选项得出答案。
【解析】
1. 先计算积的乘方：根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$，可得$(-2a)^2=(-2)^2· a^2=4a^2$；
2. 再计算单项式乘法：根据单项式乘单项式法则，系数相乘、同底数幂分别相乘，$3a·4a^2=(3×4)·(a· a^2)=12a^{1+2}=12a^3$。
【答案】
C
【知识点】
整式乘法、积的乘方、单项式乘单项式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查积的乘方和单项式乘法法则的应用，步骤明确，只要掌握基本运算法则即可正确解答。
【难度系数】
0.8

2 若$□ × 3xy=3x^{2}y$，则$□$内应填的单项式为（）

A.$xy$
B.$3xy$
C.$x$
D.$3x$

2. C

【分析】
本题要求出单项式□的值，利用乘除法的互逆关系：因数=积÷另一个因数，因此只需用已知的积$3x^2y$除以已知的单项式$3xy$，即可得到□对应的单项式。计算时遵循单项式除以单项式的法则：系数相除，同底数幂分别相除，单独字母的指数为0时可省略。
【解析】
根据乘除法互逆关系，□内应填的单项式为：
$3x^{2}y ÷ 3xy$
分步计算：
1. 系数相除：$3 ÷ 3 = 1$；
2. 同底数幂$x$相除：$x^{2} ÷ x = x^{2-1} = x$；
3. 同底数幂$y$相除：$y ÷ y = y^{1-1} = y^0 = 1$；
综上，结果为$1 × x × 1 = x$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
单项式除以单项式、整式乘除互逆
【点评】
本题考查单项式除法的基础运算，核心是掌握单项式除以单项式的法则，属于整式运算的入门题型，侧重基础知识点的应用，难度较低。
【难度系数】
0.8

3 教材P104练习第2题变式 下列计算正确的是（）

A.$6x^{2}y· 3xy = 9x^{3}y$
B.$(2ab^{2})· (-ab) = -a^{2}b^{3}$
C.$(mn)^{2}· (-m^{2}n) = -m^{3}n^{3}$
D.$(-3x^{2}y)· (-3xy) = 9x^{3}y^{2}$

3. D

【分析】这道题考查单项式与单项式的乘法运算，解题思路是依据单项式乘单项式的运算法则，分别计算每个选项中式子的结果，再与选项给出的结果对比，找出计算正确的选项。单项式乘单项式的法则为：系数相乘作为积的系数，同底数幂相乘时底数不变、指数相加，单独的字母连同它的指数作为积的一个因式。
【解析】根据单项式乘单项式的运算法则逐一计算：
选项A：$6x^{2}y·3xy = (6×3)x^{2+1}y^{1+1}=18x^{3}y^{2}$，与选项给出的$9x^{3}y$不符，计算错误；
选项B：$(2ab^{2})·(-ab) = [2×(-1)]a^{1+1}b^{2+1}=-2a^{2}b^{3}$，与选项给出的$-a^{2}b^{3}$不符，计算错误；
选项C：先算$(mn)^2=m^2n^2$，再计算$m^2n^2·(-m^2n)= (1×-1)m^{2+2}n^{2+1}=-m^4n^3$，与选项给出的$-m^3n^3$不符，计算错误；
选项D：$(-3x^{2}y)·(-3xy)= [(-3)×(-3)]x^{2+1}y^{1+1}=9x^{3}y^{2}$，与选项结果一致，计算正确。
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式、同底数幂的乘法
【点评】本题是整式运算的基础题型，主要考查单项式乘单项式的运算法则，解题时需注意系数的符号处理和同底数幂的指数运算规则，难度较低，属于易得分题。
【难度系数】0.6

4 教材P104练习第4题变式 一种计算机每秒可做$4× 10^{8}$次运算，则它工作$3× 10^{3}$秒运算的次数为（）

A.$12× 10^{24}$
B.$1.2× 10^{12}$
C.$12× 10^{12}$
D.$12× 10^{8}$

4. B

【分析】要计算总运算次数，需用每秒运算次数乘以工作时间，两个数均为科学计数法形式，计算时先将系数相乘，同底数幂的指数相加，最后将结果化为标准科学计数法（要求1≤a＜10），再对应选项选出答案。
【解析】总运算次数 = 每秒运算次数 × 工作时间 = $4×10^8 × 3×10^3$，根据单项式乘法法则，系数相乘得$4×3=12$，同底数幂相乘，指数相加得$10^8×10^3=10^{11}$，因此初步结果为$12×10^{11}$；将其化为标准科学计数法，$12=1.2×10^1$，则$12×10^{11}=1.2×10^1×10^{11}=1.2×10^{12}$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】科学计数法的乘法运算、同底数幂的乘法
【点评】本题考查科学计数法的实际应用，核心是掌握同底数幂的乘法法则及科学计数法的规范形式，易错点是结果未调整为标准科学计数法，属于基础运算题。
【难度系数】0.6

5（易错题）计算：
（1）[2026 通州期中]计算：$2a·(-3ab)=$；
（2）$-8abc·(-\dfrac{3}{4}ab^{2})^{2}=$.

5. (1) $-6a^{2}b$ (2) $-\dfrac{9}{2}a^{3}b^{5}c$
易错分析
5. 漏乘单独出现的字母而出错.

【分析】
本题考查单项式乘单项式与积的乘方的运算，需掌握相关运算法则：单项式乘单项式时，系数相乘作为积的系数，同底数幂分别相乘，单独出现的字母连同其指数作为积的一个因式；积的乘方需将每个因式分别乘方，再将所得幂相乘。解题时需注意运算顺序，避免漏乘单独字母或符号处理错误。
【解析】
（1）根据单项式乘单项式法则：
$2a·(-3ab) = (2×-3)·(a·a)·b = -6a^{2}b$；
（2）先计算积的乘方，再计算单项式乘法：
$(-\dfrac{3}{4}ab^{2})^{2} = (-\dfrac{3}{4})^{2}·a^{2}·(b^{2})^{2} = \dfrac{9}{16}a^{2}b^{4}$，
则$-8abc·(-\dfrac{3}{4}ab^{2})^{2} = -8abc·\dfrac{9}{16}a^{2}b^{4} = (-8×\dfrac{9}{16})·(a·a^{2})·(b·b^{4})·c = -\dfrac{9}{2}a^{3}b^{5}c$；
【答案】
(1) $-6a^{2}b$；(2) $-\dfrac{9}{2}a^{3}b^{5}c$
【知识点】
单项式乘单项式、积的乘方运算
【点评】
本题为易错题，主要考查整式乘法的基础运算，易错点为计算时漏乘单独出现的字母，或积的乘方、系数符号处理错误，需牢记运算法则，注意运算细节。
【难度系数】
0.8

6 数形结合思想 将如图所示的正方形沿对角线对折，把对折后重合的两个小正方形内的单项式相乘，乘积是（写出一个即可）。

6. $3a^{3}$(或$-6ab^{2}$)

【分析】
首先明确正方形沿对角线对折时，会形成两组重合的小正方形：一组是左上的$\frac{3}{2}a$与右下的$2a^2$，另一组是右上的$-2ab$与左下的$3b$。分别计算这两组单项式的乘积，即可得到结果。
【解析】
1. 当沿左上到右下的对角线对折时，重合的单项式为$\frac{3}{2}a$和$2a^2$，根据单项式乘法法则：系数相乘，同底数幂的底数不变、指数相加，计算得：
$\frac{3}{2}a × 2a^2 = (\frac{3}{2} × 2) × (a · a^2) = 3a^3$；
2. 当沿右上到左下的对角线对折时，重合的单项式为$-2ab$和$3b$，同理计算得：
$-2ab × 3b = (-2 × 3) × (a · b · b) = -6ab^2$。
因此乘积可以是$3a^3$或$-6ab^2$（写出一个即可）。
【答案】
$3a^3$（或$-6ab^2$）
【知识点】
单项式乘法、数形结合思想
【点评】
本题结合正方形对折的图形，考查单项式的乘法运算，体现了数形结合的数学思想，解题关键是确定对折后重合的两组单项式，再按单项式乘法法则计算即可。
【难度系数】
0.6

7 教材P103例1变式 计算：
(1) $2m^{3}n· (-9mn^{2}p)$；
(2) $(-6m^{2}n^{3})(-7mn^{4})$；
(3) $(-8ab^{3})· (-\dfrac{1}{2}ab^{2})^{2}$；
(4) $(-\dfrac{1}{3}x^{2}y)^{3}· (-2xy^{3})^{2}.$

7. (1) $-18m^{4}n^{3}p$ (2) $42m^{3}n^{7}$ (3) $-2a^{3}b^{7}$ (4) $-\dfrac{4}{27}x^{8}y^{9}$

【分析】
这几道题属于整式的乘法运算，解题思路是：先处理算式中的幂的乘方、积的乘方（若有），再运用单项式乘单项式的法则计算：将系数相乘作为积的系数，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加），单独的字母连同它的指数作为积的一个因式，同时注意符号的运算规则。
【解析】
(1) 计算$2m^{3}n· (-9mn^{2}p)$：
系数相乘：$2×(-9)=-18$，
同底数幂相乘：$m^3·m=m^{3+1}=m^4$，$n·n^2=n^{1+2}=n^3$，
单独的因式为$p$，
所以结果为$-18m^4n^3p$；
(2) 计算$(-6m^{2}n^{3})(-7mn^{4})$：
系数相乘：$(-6)×(-7)=42$，
同底数幂相乘：$m^2·m=m^{2+1}=m^3$，$n^3·n^4=n^{3+4}=n^7$，
所以结果为$42m^3n^7$；
(3) 计算$(-8ab^{3})· (-\dfrac{1}{2}ab^{2})^{2}$：
先算积的乘方：$(-\dfrac{1}{2}ab^{2})^{2}=(-\dfrac{1}{2})^2a^2(b^2)^2=\dfrac{1}{4}a^2b^4$，
再算单项式乘单项式：
系数相乘：$-8×\dfrac{1}{4}=-2$，
同底数幂相乘：$a·a^2=a^{1+2}=a^3$，$b^3·b^4=b^{3+4}=b^7$，
所以结果为$-2a^3b^7$；
(4) 计算$(-\dfrac{1}{3}x^{2}y)^{3}· (-2xy^{3})^{2}$：
先算幂的乘方：
$(-\dfrac{1}{3}x^{2}y)^{3}=(-\dfrac{1}{3})^3(x^2)^3y^3=-\dfrac{1}{27}x^6y^3$，
$(-2xy^{3})^{2}=(-2)^2x^2(y^3)^2=4x^2y^6$，
再算单项式乘单项式：
系数相乘：$-\dfrac{1}{27}×4=-\dfrac{4}{27}$，
同底数幂相乘：$x^6·x^2=x^{6+2}=x^8$，$y^3·y^6=y^{3+6}=y^9$，
所以结果为$-\dfrac{4}{27}x^8y^9$；
【答案】
(1) $-18m^{4}n^{3}p$；(2) $42m^{3}n^{7}$；(3) $-2a^{3}b^{7}$；(4) $-\dfrac{4}{27}x^{8}y^{9}$
【知识点】
单项式乘单项式、幂的乘方、积的乘方
【点评】
本题是教材例题的变式题，主要考查整式乘法的基础运算，需熟练掌握幂的运算性质和单项式乘单项式法则，注意符号与指数的计算，属于巩固基础的常规题型。
【难度系数】
0.7

8 若$(mx^{4})·(4x^{k})=-12x^{12}$,则$m,k$的值分别是（）

A.3,8
B.$-3,8$
C.8,3
D.$-3,3$

8. B

【分析】
要解决这道题，需运用单项式乘单项式的运算法则：单项式相乘时，系数相乘作为积的系数，同底数幂相乘，底数不变、指数相加。题目给出等式两边的单项式乘积结果，因此可通过对应项的系数相等、同底数幂的指数相等，分别列方程求解m和k的值。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算法则，计算左边式子：
$(mx^{4})·(4x^{k}) = (m×4)·x^{4+k} = 4m x^{4+k}$
已知该式等于$-12x^{12}$，等式两边对应项的系数和指数分别相等：
1. 系数相等：$4m = -12$，解得$m = -12÷4 = -3$；
2. 同底数幂的指数相等：$4 + k = 12$，解得$k = 12 - 4 = 8$。
因此m=-3，k=8，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
单项式乘单项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题考查整式运算中单项式乘法法则的基础应用，核心是利用等式两边对应项的系数、指数分别相等建立方程，属于难度较低的基础题型，学生只要掌握单项式乘法法则即可解答。
【难度系数】
0.7