1 如图，$△ ACB$ 和 $△ DCE$ 均为等腰三角形，点 $A,D,E$ 在同一条直线上，连接 $BE$，$∠ CAB=∠ CBA=∠ CDE=∠ CED=50°$。
（1）求证：$AD=BE$；
（2）$∠ AEB$ 的度数为。

1. (1) $\because ∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°,∴ CA = CB,CD = CE,∠ACB = ∠DCE = 180° - 2 × 50° = 80°.$
$∴ ∠ACB - ∠DCB = ∠DCE - ∠DCB,即∠ACD = ∠BCE.$ 在$△ ACD$ 和$△ BCE$ 中,$\begin{cases} CA=CB, \\ ∠ACD=∠BCE, \\ CD=CE, \end{cases} ∴ △ ACD ≌ △ BCE.$
$∴ AD=BE$
(2) $80°$ 【解析】设AE与BC交于点O. $\because △ ACD ≌ △ BCE$,
$∴ ∠CAD = ∠CBE. ∵ ∠COA = ∠BOE, ∴ ∠ACO = ∠BEO=80°,即∠AEB=80°.$

【分析】
要解决本题，第（1）问需证明线段AD=BE，核心思路是通过证明包含AD、BE的三角形全等。已知△ACB和△DCE均为等腰三角形，可先得出对应边相等，再计算出两个等腰三角形的顶角相等，进而推导出一组相等的夹角，用SAS证明三角形全等，即可得到AD=BE。第（2）问利用全等三角形的对应角相等，结合对顶角相等的性质，转化角度关系，求出∠AEB的度数。
【解析】
（1）证明：
∵ ∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，
∴ △ACB和△DCE都是等腰三角形，可得CA=CB，CD=CE。
计算等腰三角形顶角：
∠ACB=180° - ∠CAB - ∠CBA=180° -50°-50°=80°，
同理∠DCE=180° - ∠CDE - ∠CED=80°，
∴ ∠ACB=∠DCE=80°，
则∠ACB - ∠DCB = ∠DCE - ∠DCB，即∠ACD=∠BCE。
在△ACD和△BCE中：
$\{\begin{array}{l} CA=CB \\ ∠ACD=∠BCE \\ CD=CE \end{array} $
∴ △ACD≌△BCE（SAS），
∴ AD=BE。
（2）解：
设AE与BC交于点O，
∵ △ACD≌△BCE，
∴ ∠CAD=∠CBE。
又
∵ ∠COA=∠BOE（对顶角相等），
在△COA和△BOE中，∠CAD + ∠ACB + ∠COA = 180°，∠CBE + ∠AEB + ∠BOE =180°，
∴ ∠ACB=∠AEB，
∵ ∠ACB=80°，
∴ ∠AEB=80°。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）80°
【知识点】
等腰三角形性质、全等三角形判定、角度计算
【点评】
本题综合考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与角度推导，解题关键是通过角的等量关系找到全等三角形，再利用全等性质转化角度，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.4

2 如图①,在$△ ABC$和$△ ADE$中,$AB=AC,AD=AE,∠ BAC=∠ DAE$,且点$B$,$A$,$D$在同一条直线上,连接$BE$,$CD$,$M$,$N$分别为$BE$,$CD$的中点,连接$AM$,$AN$,$MN$.
(1) 求证:① $BE=CD$;② $AM=AN$.
(2) 在图①的基础上,将$△ ADE$绕点$A$按顺时针方向旋转$180°$,其他条件不变,得到如图②所示的图形.请判断(1)中的两个结论是否仍然成立,并说明理由.

2. (1) ① $\because ∠BAC=∠DAE,∴ ∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE$, 即 $∠BAE = ∠CAD.$ 在 $△ BAE$ 和 $△ CAD$ 中，
$\begin{cases} BA=CA, \\ ∠BAE=∠CAD, \\ AE=AD, \end{cases} ∴ △ BAE ≌ △ CAD. ∴ BE = CD$
② $\because △ BAE ≌ △ CAD,∴ ∠ABE=∠ACD.$ 由①,知 $BE=CD$,又$\because M,N$ 分别为 $BE,CD$ 的中点, $\therefore BM = CN.$ 在$△ ABM$ 和 $△ ACN$ 中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ABM=∠ACN, \\ BM=CN, \end{cases} ∴ △ ABM ≌ △ ACN. ∴ AM=AN$
(2) (1)中的两个结论仍然成立 理由：
由题意,易得点A,D,B在同一条直线上. 在$△ BAE$ 和$△ CAD$中,$\begin{cases} BA=CA, \\ ∠BAE=∠CAD, \\ AE=AD, \end{cases} ∴ △ BAE ≌ △ CAD. ∴ ∠ABE = ∠ACD,BE=CD. ∵ M,N$ 分别为 $BE,CD$ 的中点,$∴ BM=CN.$ 在$△ ABM$ 和$△ ACN$ 中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ABM=∠ACN, \\ BM=CN, \end{cases} ∴ △ ABM ≌ △ ACN. ∴ AM=AN.$

【分析】
要解决这道题，需利用全等三角形的判定与性质推导线段关系，结合中点性质完成证明。具体思路：(1) ① 要证BE=CD，需通过SAS证明△BAE和△CAD全等，利用已知的边和角的等量关系推导；② 要证AM=AN，由①的全等得到角相等，结合中点得到线段相等，再用SAS证明△ABM和△ACN全等；(2) 旋转后核心的边、角等量关系未改变，仍可通过相同的全等推导得出结论。
【解析】
(1) ① 证明：
∵ ∠BAC=∠DAE，
∴ ∠BAC + ∠CAE = ∠DAE + ∠CAE，即∠BAE=∠CAD。
在△BAE和△CAD中，
$\{\begin{array}{l}BA=CA, \\∠BAE=∠CAD, \\AE=AD,\end{array} $
∴ △BAE ≌ △CAD（SAS），
∴ BE=CD。
② 证明：
由①知△BAE≌△CAD，
∴ ∠ABE=∠ACD。
∵ M、N分别为BE、CD的中点，且BE=CD，
∴ $BM=\frac{1}{2}BE$，$CN=\frac{1}{2}CD$，故BM=CN。
在△ABM和△ACN中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC, \\∠ABM=∠ACN, \\BM=CN,\end{array} $
∴ △ABM ≌ △ACN（SAS），
∴ AM=AN。
(2) (1)中的两个结论仍然成立，理由如下：
由旋转性质，结合已知AB=AC、AD=AE，且∠BAC=∠DAE，可得∠BAE=∠CAD（∠BAC + ∠CAE=∠DAE + ∠CAE，角度等量关系不变）。
在△BAE和△CAD中，
$\{\begin{array}{l}BA=CA, \\∠BAE=∠CAD, \\AE=AD,\end{array} $
∴ △BAE ≌ △CAD（SAS），
∴ BE=CD，∠ABE=∠ACD。
∵ M、N分别为BE、CD的中点，
∴ $BM=\frac{1}{2}BE$，$CN=\frac{1}{2}CD$，故BM=CN。
在△ABM和△ACN中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC, \\∠ABM=∠ACN, \\BM=CN,\end{array} $
∴ △ABM ≌ △ACN（SAS），
∴ AM=AN。
【答案】
(1) ① BE=CD，证明见解析；② AM=AN，证明见解析；(2) (1)中的两个结论仍然成立，理由见解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题通过两次全等三角形的判定推导线段相等，核心是利用已知边、角的等量关系，结合中点性质完成证明，考查几何逻辑推理能力，旋转后的图形仅改变位置，核心等量关系不变，是典型的全等应用题型。
【难度系数】
0.6

3 [2025 崇川期末]如图,在等边三角形$ABC$中,$AM$为边$BC$上的中线,点$D$在$AM$(点$D$不与点$A$,$M$重合)上,以$CD$为一边且在$CD$的下方作等边三角形$CDE$,连接$BE$.试判断$AD$与$BE$是否相等,并说明理由.

3. $AD=BE$ 理由: $\because △ ABC,△ CDE$ 都是等边三角形, $\therefore AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°. ∵ ∠ACD+∠BCD=∠ACB,∠BCE+∠BCD=∠DCE, ∴ ∠ACD=∠BCE.$ 在$△ ACD$ 和$△ BCE$ 中,$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACD=∠BCE, \\ CD=CE, \end{cases} ∴ △ ACD ≌ △ BCE.$
$∴ AD=BE.$

【分析】要判断AD与BE是否相等，可通过证明包含这两条线段的三角形全等。观察图形，AD在△ACD中，BE在△BCE中，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，能得到两组对应边相等，只需推导它们的夹角相等，即可用SAS判定△ACD与△BCE全等，进而得出AD=BE。
【解析】
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°。
又
∵∠ACD + ∠BCD = ∠ACB = 60°，∠BCE + ∠BCD = ∠DCE = 60°，
∴∠ACD = ∠BCE。
在△ACD和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}AC = BC, \\∠ACD = ∠BCE, \\CD = CE,\end{array} $
∴△ACD ≌ △BCE（SAS），
∴AD = BE。
【答案】AD=BE
【知识点】等边三角形的性质、全等三角形的判定（SAS）
【点评】本题是等边三角形背景下的线段相等证明题，核心是利用等边三角形的性质构造全等三角形，考查学生对全等三角形判定定理的应用能力，属于中等难度的几何基础题。
【难度系数】0.6