1 已知分式:$A=\dfrac{x}{x-2},B=\dfrac{1}{x-2},C=\dfrac{x^2+2x}{x^2-4}.$
（1）要使分式$A=\dfrac{x}{x-2}$有意义，则$x$的取值范围是；
（2）化简$(C+B)÷ A$，并从$1,3,0,2$中选取一个合适的数作为$x$的值代入求值.

(1) $x≠2$ (2) $(C+B)÷A=(\dfrac{x^2+2x}{x^2-4}+\dfrac{1}{x-2})÷ \dfrac{x}{x-2}=[\dfrac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}+\dfrac{1}{x-2}]· \dfrac{x-2}{x}=\dfrac{x+1}{x-2}· \dfrac{x-2}{x}=\dfrac{x+1}{x}.$ 由于分式A,B,C要有意义,则$x≠±2$. 又
∵分式A是除数,
∴分式A不能为0.
∴$x≠0$. 当$x=1$时,原式=2(x的值不唯一)

【分析】
1. 分式有意义的核心条件是分母不为0，据此确定第一问中x的取值范围；
2. 第二问需先利用因式分解化简分式C，再计算C与B的和，最后将除法转化为乘法，按分式混合运算规则化简；
3. 代入求值时，需保证所有涉及的分式（A、B、C）都有意义，且作为除数的A不能为0，据此筛选合适的x值。
【解析】
（1）要使分式$A=\dfrac{x}{x-2}$有意义，则分母$x-2≠0$，解得$x≠2$；
（2）先化简分式C：$C=\dfrac{x^2+2x}{x^2-4}=\dfrac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{x}{x-2}$（$x≠±2$）；
计算$C+B$：$C+B=\dfrac{x}{x-2}+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{x+1}{x-2}$；
计算除法：$(C+B)÷A=\dfrac{x+1}{x-2}÷\dfrac{x}{x-2}=\dfrac{x+1}{x-2}×\dfrac{x-2}{x}=\dfrac{x+1}{x}$；
确定x的取值：分式A、B、C有意义需$x≠±2$，且A为除数，故$A≠0$即$x≠0$，因此可选$x=1$或$x=3$；
当$x=1$时，原式$=\dfrac{1+1}{1}=2$（x取值不唯一）。
【答案】
（1）$x≠2$；（2）化简结果为$\dfrac{x+1}{x}$，当$x=1$时，原式的值为2（x取值不唯一）
【知识点】
分式有意义的条件，分式的混合运算
【点评】
本题考查分式的基础运算，需掌握分式有意义的条件、因式分解化简分式、分式混合运算的规则，代入求值时要注意筛选使所有分式都有意义的x值，避免出现分母或除数为0的错误，属于分式部分的常规基础题。
【难度系数】
0.6

2 若 $x,y$ 满足等式 $\dfrac{6}{x-y}+\dfrac{6}{x+y}=1$,且 $\dfrac{4}{x-y}+\dfrac{10}{x+y}=1$,求 $2x-3y$ 的值.

设$\dfrac{1}{x-y}=a,\dfrac{1}{x+y}=b$. 由题意,得$\begin{cases}6a+6b=1,\\4a+10b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\dfrac{1}{9},\\b=\dfrac{1}{18},\end{cases}$
$\therefore \begin{cases}x-y=9,\\x+y=18,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=13.5,\\y=4.5.\end{cases}$ $\therefore 2x-3y=2×13.5-3×4.5=13.5$

【分析】观察题目中的两个等式，发现分母均为$x-y$和$x+y$，属于相同的整体，因此可采用换元法简化计算：设$\frac{1}{x-y}=a$，$\frac{1}{x+y}=b$，将原分式方程组转化为关于$a$、$b$的二元一次方程组，先求解$a$、$b$，再反求$x$、$y$的值，最后代入计算$2x-3y$即可。
【解析】解：设$\dfrac{1}{x - y} = a$，$\dfrac{1}{x + y} = b$，则原方程组可化为：
$\begin{cases}6a + 6b = 1 \\4a + 10b = 1 \end{cases}$
化简第一个方程得：$a + b = \dfrac{1}{6}$ ③，
化简第二个方程得：$2a + 5b = \dfrac{1}{2}$ ④，
由③得$a = \dfrac{1}{6} - b$，代入④得：
$2(\dfrac{1}{6} - b) + 5b = \dfrac{1}{2}$，
解得$b = \dfrac{1}{18}$，
将$b = \dfrac{1}{18}$代入③得$a = \dfrac{1}{9}$，
因此$\dfrac{1}{x - y} = \dfrac{1}{9}$，$\dfrac{1}{x + y} = \dfrac{1}{18}$，即：
$\begin{cases}x - y = 9 \\x + y = 18 \end{cases}$，
解此方程组得$\begin{cases}x = 13.5 \\y = 4.5 \end{cases}$，
所以$2x - 3y = 2×13.5 - 3×4.5 = 13.5$。
【答案】13.5
【知识点】换元法，二元一次方程组，分式方程
【点评】本题通过换元法将分式方程组转化为常规二元一次方程组，体现了整体思想的应用，是代数解题中简化复杂问题的常用技巧，需熟练掌握换元法的适用场景。
【难度系数】0.6

3 已知$\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{2}$,则分式$\dfrac{x^{2}+4xy-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}$的值为（）

A.1
B.2
C.3
D.4

A

【分析】本题是已知两个变量的比值求分式的值，解题思路是根据比例关系用一个变量表示另一个变量（如由$\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$得$y=2x$），将其代入所求分式，把分式转化为单变量的式子，通过计算约分得到结果。
【解析】由$\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$（$y≠0$），可得$y=2x$（$x≠0$，否则分式无意义）。将$y=2x$代入分式$\frac{x^2+4xy-y^2}{x^2+y^2}$中：
分子：$x^2 +4x·2x - (2x)^2 = x^2 +8x^2 -4x^2 =5x^2$
分母：$x^2 + (2x)^2 =x^2 +4x^2=5x^2$
则分式的值为$\frac{5x^2}{5x^2}=1$。
【答案】A
【知识点】分式的化简求值、比例的性质
【点评】本题属于分式化简求值的基础题，核心是利用比例关系进行变量替换，计算时需注意变量的取值范围（分母不为0），整体难度较低，多数学生可掌握。
【难度系数】0.7

4 已知$\dfrac{3}{x}=\dfrac{4}{y}=\dfrac{5}{z}$，且$3x+y-2z≠0$，求$\dfrac{3x-y+2z}{3x+y-2z}$的值.

设$\dfrac{3}{x}=\dfrac{4}{y}=\dfrac{5}{z}=\dfrac{1}{k}$,则$x=3k,y=4k,z=5k$. $\because 3x+y-2z≠0,\therefore \dfrac{3x-y+2z}{3x+y-2z}=\dfrac{3×3k-4k+2×5k}{3×3k+4k-2×5k}=\dfrac{9k-4k+10k}{9k+4k-10k}=\dfrac{15k}{3k}=5$

【分析】
本题给出三个相等的连等比例式，对于此类问题，常用设参数法简化计算：设连等比例的比值为常数，将$x$、$y$、$z$用含同一参数的式子表示，再代入所求分式，结合题设条件约去参数即可得到结果。
【解析】
设$\dfrac{3}{x}=\dfrac{4}{y}=\dfrac{5}{z}=\dfrac{1}{k}$，则$x=3k$，$y=4k$，$z=5k$。
因为$3x+y-2z≠0$，将$x=3k$、$y=4k$、$z=5k$代入所求分式：
分子：$3x - y + 2z = 3×3k - 4k + 2×5k = 9k - 4k + 10k = 15k$
分母：$3x + y - 2z = 3×3k + 4k - 2×5k = 9k + 4k - 10k = 3k$
所以原式$=\dfrac{15k}{3k}=5$（$k≠0$，可约去）。
【答案】
5
【知识点】
比例的性质、代数式求值
【点评】
本题采用设参数法处理连等比例问题，将未知量转化为含同一参数的表达式，简化了分式运算，是比例类求值题的常用技巧，需注意参数取值需满足题设条件。
【难度系数】
0.6

5 已知 $a+b=5,ab=3$,则 $\dfrac{b}{a+1}+\dfrac{a}{b+1}$ 的值为（）

A.2
B.$\dfrac{8}{3}$
C.4
D.$\dfrac{34}{9}$

B

【分析】
这是一道分式化简求值题，已知两数的和与积，求分式的值。解题思路：先对所求分式通分化简，将其转化为含$a+b$和$ab$的式子，再代入已知条件整体计算，避免单独求$a$、$b$的值，简化运算过程。
【解析】
解：对原式通分：
$\begin{aligned}\frac{b}{a+1}+\frac{a}{b+1}&=\frac{b(b+1)+a(a+1)}{(a+1)(b+1)}\\&=\frac{b^2 + b + a^2 + a}{ab + a + b + 1}\\&=\frac{(a^2 + b^2)+(a + b)}{ab + (a + b) + 1}\end{aligned}$
根据完全平方公式变形：$a^2 + b^2=(a+b)^2 - 2ab$，代入已知$a+b=5$，$ab=3$：
分子：$(5^2 - 2×3) +5=(25 -6)+5=24$
分母：$3 +5 +1=9$
因此原式$=\frac{24}{9}=\frac{8}{3}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
分式化简求值、完全平方公式、整体代入思想
【点评】
本题通过通分将异分母分式合并，利用完全平方公式对分子变形后整体代入已知条件，考查了分式运算和公式变形的基础应用，解题过程简洁，注重整体思想的运用。
【难度系数】
0.6

6 已知 $x^{2}-3xy=y^{2}$, 则 $\dfrac{x^{2}-xy-y^{2}}{2x^{2}+xy-2y^{2}}$ 的值为.

$\dfrac{2}{7}$

【分析】本题是已知两变量的二次等式，求同次分式的值，核心思路是利用已知等式进行代数式的代换，将分式中的二次项转化为含相同项的表达式，进而消去变量求出结果。具体步骤为：先从已知等式变形得到$x^2 - y^2$的表达式，再将其代入所求分式的分子和分母，化简后约去公共因式即可得到结果。
【解析】由已知$x^2 - 3xy = y^2$，移项可得$x^2 - y^2 = 3xy$。
对所求分式的分子、分母分别变形：
分子：$x^2 - xy - y^2 = (x^2 - y^2) - xy$，将$x^2 - y^2 = 3xy$代入，得$3xy - xy = 2xy$；
分母：$2x^2 + xy - 2y^2 = 2(x^2 - y^2) + xy$，将$x^2 - y^2 = 3xy$代入，得$2×3xy + xy = 6xy + xy = 7xy$；
因为分式有意义，故$xy≠0$，分子分母同除以$xy$，得$\frac{2xy}{7xy} = \frac{2}{7}$。
【答案】$\dfrac{2}{7}$
【知识点】代数式化简求值、等式的变形
【点评】本题考查代数式的化简求值，关键在于利用已知等式对所求分式的二次项进行代换，简化计算过程，需注意分式有意义的条件（$xy≠0$），避免约分化简时出错，整体难度适中，属于中等难度的代数式求值题。
【难度系数】0.5

7 若 $x+\dfrac{1}{x}=3$,则 $\dfrac{x^2}{x^4+x^2+1}$ 的值是（）

A.$\dfrac{1}{8}$
B.$\dfrac{1}{10}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{1}{4}$

A 【解析】$\because x+\dfrac{1}{x}=3,\therefore (x+\dfrac{1}{x})^2=x^2+\dfrac{1}{x^2}+2=9.$
$\therefore x^2+\dfrac{1}{x^2}=7.$ $\because \dfrac{x^4+x^2+1}{x^2}=x^2+\dfrac{1}{x^2}+1=8,$
$\therefore \dfrac{x^2}{x^4+x^2+1}=\dfrac{1}{8}.$

【分析】
要计算分式$\dfrac{x^2}{x^4+x^2+1}$的值，直接求解$x$的过程复杂，因此利用已知条件$x+\dfrac{1}{x}=3$，通过完全平方公式求出$x^2+\dfrac{1}{x^2}$的值，再对所求分式变形，分子分母同除以$x^2$，将其转化为含$x^2+\dfrac{1}{x^2}$的式子，整体代入计算即可。
【解析】
已知$x+\dfrac{1}{x}=3$，对等式两边平方，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$：
$(x+\dfrac{1}{x})^2=x^2 + 2· x·\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}=x^2 + \dfrac{1}{x^2} + 2$
代入$x+\dfrac{1}{x}=3$，得$9=x^2 + \dfrac{1}{x^2} + 2$，解得$x^2 + \dfrac{1}{x^2}=7$。
对所求分式$\dfrac{x^2}{x^4+x^2+1}$，因为$x≠0$，分子分母同除以$x^2$：
$\dfrac{x^2}{x^4+x^2+1}=\dfrac{\dfrac{x^2}{x^2}}{\dfrac{x^4}{x^2}+\dfrac{x^2}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}}=\dfrac{1}{x^2 + \dfrac{1}{x^2} + 1}$
将$x^2 + \dfrac{1}{x^2}=7$代入上式，得：
$\dfrac{1}{7 + 1}=\dfrac{1}{8}$
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式、分式化简求值
【点评】
本题运用整体代入思想，通过变形简化计算，避免求解$x$的繁琐步骤，考查对完全平方公式和分式基本性质的掌握，是分式求值类题目的典型解法。
【难度系数】
0.5