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8 阅读下面的解题过程.
已知$\dfrac{x}{x^{2}+1}=\dfrac{1}{3}$,求$\dfrac{x^{2}}{x^{4}+1}$的值.
解:由$\dfrac{x}{x^{2}+1}=\dfrac{1}{3}$,知$x ≠ 0$,$\therefore \dfrac{x^{2}+1}{x}=3$,即$x+\dfrac{1}{x}=3$.$\therefore \dfrac{x^{4}+1}{x^{2}}=x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=(x+\dfrac{1}{x})^{2}-2x·\dfrac{1}{x}=$$3^{2}-2=7$.$\therefore \dfrac{x^{2}}{x^{4}+1}=\dfrac{1}{7}$.
说明:该题的解法叫作“倒数法”.
请你利用“倒数法”解决问题:
求:
(1) $x-\dfrac{3}{x}$的值；
的值.
已知$\dfrac{x}{x^{2}+1}=\dfrac{1}{3}$,求$\dfrac{x^{2}}{x^{4}+1}$的值.
解:由$\dfrac{x}{x^{2}+1}=\dfrac{1}{3}$,知$x ≠ 0$,$\therefore \dfrac{x^{2}+1}{x}=3$,即$x+\dfrac{1}{x}=3$.$\therefore \dfrac{x^{4}+1}{x^{2}}=x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=(x+\dfrac{1}{x})^{2}-2x·\dfrac{1}{x}=$$3^{2}-2=7$.$\therefore \dfrac{x^{2}}{x^{4}+1}=\dfrac{1}{7}$.
说明:该题的解法叫作“倒数法”.
请你利用“倒数法”解决问题:
求:(1) $x-\dfrac{3}{x}$的值；
的值.答案
(1) $\because \dfrac{x}{x^2-2x-3}=7,\therefore x≠0. \therefore \dfrac{x^2-2x-3}{x}=x-2-\dfrac{3}{x}=\dfrac{1}{7}. \therefore x-\dfrac{3}{x}=\dfrac{1}{7}+2=\dfrac{15}{7}$
(2) 对$\dfrac{x^2}{x^4-5x^2+9}$取倒数,得$\dfrac{x^4-5x^2+9}{x^2}=x^2+\dfrac{9}{x^2}-5$. 由(1),知$x-\dfrac{3}{x}=\dfrac{15}{7}$. $\because x^2+\dfrac{9}{x^2}=(x-\dfrac{3}{x})^2+2· x· \dfrac{3}{x}=(\dfrac{15}{7})^2+6=\dfrac{519}{49},\therefore x^2+\dfrac{9}{x^2}-5=\dfrac{519}{49}-5=\dfrac{274}{49}. \therefore \dfrac{x^2}{x^4-5x^2+9}=\dfrac{49}{274}$
(2) 对$\dfrac{x^2}{x^4-5x^2+9}$取倒数,得$\dfrac{x^4-5x^2+9}{x^2}=x^2+\dfrac{9}{x^2}-5$. 由(1),知$x-\dfrac{3}{x}=\dfrac{15}{7}$. $\because x^2+\dfrac{9}{x^2}=(x-\dfrac{3}{x})^2+2· x· \dfrac{3}{x}=(\dfrac{15}{7})^2+6=\dfrac{519}{49},\therefore x^2+\dfrac{9}{x^2}-5=\dfrac{519}{49}-5=\dfrac{274}{49}. \therefore \dfrac{x^2}{x^4-5x^2+9}=\dfrac{49}{274}$
解析
【分析】
本题运用“倒数法”求解分式的值，核心思路是对已知分式取倒数，将其转化为整式的和差形式，再结合完全平方公式变形计算。对于（1），先对已知等式取倒数，拆分后直接得到含$x-\frac{3}{x}$的式子，进而求出目标值；对于（2），先对所求分式取倒数，转化为含$x^2+\frac{9}{x^2}$的形式，再利用（1）的结果，通过完全平方公式变形计算，最后取倒数得到答案。
【解析】
（1）已知$\dfrac{x}{x^2 - 2x - 3}=7$，可知$x≠0$，对等式两边取倒数得：
$\dfrac{x^2 - 2x - 3}{x}=\dfrac{1}{7}$，
将左边拆分得：$x - 2 - \dfrac{3}{x}=\dfrac{1}{7}$，
移项计算：$x - \dfrac{3}{x}=\dfrac{1}{7} + 2=\dfrac{15}{7}$。
（2）求$\dfrac{x^2}{x^4 -5x^2 +9}$的值，对其取倒数得：
$\dfrac{x^4 -5x^2 +9}{x^2}=x^2 + \dfrac{9}{x^2} -5$，
由（1）知$x - \dfrac{3}{x}=\dfrac{15}{7}$，根据完全平方公式变形：
$x^2 + \dfrac{9}{x^2}=(x - \dfrac{3}{x})^2 + 2·x·\dfrac{3}{x}=(\dfrac{15}{7})^2 +6=\dfrac{519}{49}$，
代入得：$\dfrac{519}{49} -5=\dfrac{274}{49}$，
因此$\dfrac{x^2}{x^4 -5x^2 +9}=\dfrac{49}{274}$。
【答案】
(1) $\dfrac{15}{7}$；(2) $\dfrac{49}{274}$
【知识点】
分式的倒数法、完全平方公式的应用
【点评】
本题通过“倒数法”将复杂高次分式转化为易计算的整式形式，结合完全平方公式变形，体现了分式求值的转化思想，是分式运算的典型题型，需熟练掌握倒数法的使用技巧。
【难度系数】
0.5
本题运用“倒数法”求解分式的值，核心思路是对已知分式取倒数，将其转化为整式的和差形式，再结合完全平方公式变形计算。对于（1），先对已知等式取倒数，拆分后直接得到含$x-\frac{3}{x}$的式子，进而求出目标值；对于（2），先对所求分式取倒数，转化为含$x^2+\frac{9}{x^2}$的形式，再利用（1）的结果，通过完全平方公式变形计算，最后取倒数得到答案。
【解析】
（1）已知$\dfrac{x}{x^2 - 2x - 3}=7$，可知$x≠0$，对等式两边取倒数得：
$\dfrac{x^2 - 2x - 3}{x}=\dfrac{1}{7}$，
将左边拆分得：$x - 2 - \dfrac{3}{x}=\dfrac{1}{7}$，
移项计算：$x - \dfrac{3}{x}=\dfrac{1}{7} + 2=\dfrac{15}{7}$。
（2）求$\dfrac{x^2}{x^4 -5x^2 +9}$的值，对其取倒数得：
$\dfrac{x^4 -5x^2 +9}{x^2}=x^2 + \dfrac{9}{x^2} -5$，
由（1）知$x - \dfrac{3}{x}=\dfrac{15}{7}$，根据完全平方公式变形：
$x^2 + \dfrac{9}{x^2}=(x - \dfrac{3}{x})^2 + 2·x·\dfrac{3}{x}=(\dfrac{15}{7})^2 +6=\dfrac{519}{49}$，
代入得：$\dfrac{519}{49} -5=\dfrac{274}{49}$，
因此$\dfrac{x^2}{x^4 -5x^2 +9}=\dfrac{49}{274}$。
【答案】
(1) $\dfrac{15}{7}$；(2) $\dfrac{49}{274}$
【知识点】
分式的倒数法、完全平方公式的应用
【点评】
本题通过“倒数法”将复杂高次分式转化为易计算的整式形式，结合完全平方公式变形，体现了分式求值的转化思想，是分式运算的典型题型，需熟练掌握倒数法的使用技巧。
【难度系数】
0.5
9 通过小学的学习我们知道,分数可以分为真分数和假分数,而假分数都可化为带分数,如$\frac{8}{3}=\frac{6+2}{3}=$$2+\frac{2}{3}=2\frac{2}{3}$.我们定义:在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为假分式;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为真分式.如$\frac{x-1}{x+1}$,$\frac{x^2}{x-1}$这样的分式就是假分式;$\frac{3}{x+1}$,$\frac{x}{x^2+1}$这样的分式就是真分式.类似地,假分式也可以化为带分式,即整式与真分式的和的形式.如$\frac{x-1}{x+1}=\frac{(x+1)-2}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$;$\frac{x^2}{x-1}=\frac{x(x-1)+(x-1)+1}{x-1}=$$x+1+\frac{1}{x-1}$.
(1) 分式$\frac{2\ 025}{x+1}$是
(2) 将假分式$\frac{x-3}{x-2}$化为带分式;
(3) 若分式$\frac{x^2-4x+6}{x-2}$的值为整数,$x$为整数,求分式的值.
(1) 分式$\frac{2\ 025}{x+1}$是
真
分式(填“真”或“假”);(2) 将假分式$\frac{x-3}{x-2}$化为带分式;
(3) 若分式$\frac{x^2-4x+6}{x-2}$的值为整数,$x$为整数,求分式的值.
答案
(1) 真 (2) 原式$=\dfrac{x-2-1}{x-2}=1-\dfrac{1}{x-2}$ (3) $\dfrac{x^2-4x+6}{x-2}=\dfrac{x^2-4x+4+2}{x-2}=\dfrac{(x-2)^2+2}{x-2}=x-2+\dfrac{2}{x-2}. \because$ 分式$\dfrac{x^2-4x+6}{x-2}$的值为整数,$x$为整数,$\therefore x-2=±1$或$±2$. 当$x-2=1$时,原式$=1+\dfrac{2}{1}=3$;当$x-2=2$时,原式$=2+\dfrac{2}{2}=3$;当$x-2=-1$时,原式$=-1+\dfrac{2}{-1}=-3$;当$x-2=-2$时,原式$=-2+\dfrac{2}{-2}=-3$. 综上所述,分式的值是$±3$
解析
【分析】
首先明确题目给出的真分式、假分式的定义：对于只含一个字母的分式，分子次数小于分母次数的是真分式，分子次数≥分母次数的是假分式；假分式可化为整式与真分式的和（带分式）。
第(1)题：通过比较分子和分母的次数判断分式类型；
第(2)题：将假分式的分子拆分为含分母的整式形式，再拆分得到带分式；
第(3)题：先对分子配方变形，分离出整式和真分式，再根据分式值为整数的条件，确定分母的约数，进而求出分式的值。
【解析】
(1) 分式$\frac{2025}{x+1}$中，分子是常数2025，次数为0；分母是$x+1$，次数为1。因为分子次数小于分母次数，所以该分式是真分式。
(2) 对假分式$\frac{x-3}{x-2}$变形：
$\frac{x-3}{x-2} = \frac{(x-2)-1}{x-2} = \frac{x-2}{x-2} - \frac{1}{x-2} = 1 - \frac{1}{x-2}$。
(3) 先对分式$\frac{x^2-4x+6}{x-2}$的分子配方：
$x^2-4x+6=(x^2-4x+4)+2=(x-2)^2+2$，
则$\frac{x^2-4x+6}{x-2}=\frac{(x-2)^2+2}{x-2}=x-2+\frac{2}{x-2}$。
因为分式的值为整数，且$x$为整数，所以$\frac{2}{x-2}$必须是整数，即$x-2$是2的整数约数，因此$x-2=±1$或$±2$。
分情况计算：
① 当$x-2=1$时，原式$=1+\frac{2}{1}=3$；
② 当$x-2=2$时，原式$=2+\frac{2}{2}=3$；
③ 当$x-2=-1$时，原式$=-1+\frac{2}{-1}=-3$；
④ 当$x-2=-2$时，原式$=-2+\frac{2}{-2}=-3$。
综上，分式的值为±3。
【答案】
(1) 真；(2) $1-\frac{1}{x-2}$；(3) ±3
【知识点】
分式的分类；假分式化为带分式；分式的值为整数的条件
【点评】
本题是新定义类题型，需准确理解真、假分式的定义，掌握假分式化为带分式的变形技巧，结合整数性质分析分式值为整数的条件，考查代数变形与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
首先明确题目给出的真分式、假分式的定义：对于只含一个字母的分式，分子次数小于分母次数的是真分式，分子次数≥分母次数的是假分式；假分式可化为整式与真分式的和（带分式）。
第(1)题：通过比较分子和分母的次数判断分式类型；
第(2)题：将假分式的分子拆分为含分母的整式形式，再拆分得到带分式；
第(3)题：先对分子配方变形，分离出整式和真分式，再根据分式值为整数的条件，确定分母的约数，进而求出分式的值。
【解析】
(1) 分式$\frac{2025}{x+1}$中，分子是常数2025，次数为0；分母是$x+1$，次数为1。因为分子次数小于分母次数，所以该分式是真分式。
(2) 对假分式$\frac{x-3}{x-2}$变形：
$\frac{x-3}{x-2} = \frac{(x-2)-1}{x-2} = \frac{x-2}{x-2} - \frac{1}{x-2} = 1 - \frac{1}{x-2}$。
(3) 先对分式$\frac{x^2-4x+6}{x-2}$的分子配方：
$x^2-4x+6=(x^2-4x+4)+2=(x-2)^2+2$，
则$\frac{x^2-4x+6}{x-2}=\frac{(x-2)^2+2}{x-2}=x-2+\frac{2}{x-2}$。
因为分式的值为整数，且$x$为整数，所以$\frac{2}{x-2}$必须是整数，即$x-2$是2的整数约数，因此$x-2=±1$或$±2$。
分情况计算：
① 当$x-2=1$时，原式$=1+\frac{2}{1}=3$；
② 当$x-2=2$时，原式$=2+\frac{2}{2}=3$；
③ 当$x-2=-1$时，原式$=-1+\frac{2}{-1}=-3$；
④ 当$x-2=-2$时，原式$=-2+\frac{2}{-2}=-3$。
综上，分式的值为±3。
【答案】
(1) 真；(2) $1-\frac{1}{x-2}$；(3) ±3
【知识点】
分式的分类；假分式化为带分式；分式的值为整数的条件
【点评】
本题是新定义类题型，需准确理解真、假分式的定义，掌握假分式化为带分式的变形技巧，结合整数性质分析分式值为整数的条件，考查代数变形与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
