8. (2025·栖霞区月考)如图,四边形$ABCD$内接于$\odot O,AE⊥ CB$交$CB$的延长线于点$E$,若$BA$平分$∠ DBE,AD = 6,CE = 4$,则$AE$的长为（）

A.2
B.3
C.$2\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{5}$

8.D

9. 如图，在$\odot O$的内接四边形$ABCD$中，$AB=AD$，$∠ C=110^{\circ }$.若点$E$在$\overset{\frown}{AD}$上，则$∠ E=\_\_\_\_\_\_°$.

9.125

10. 如图,$AB$,$CD$是$\odot O$的弦,$AB ⊥ CD$,$BE$是$\odot O$的直径.若$AC=3$,则$DE=$.

10.3

11. 如图,四边形 $ABCD$ 内接于$\odot O,∠ ABC=60°,$对角线 $DB$ 平分$∠ ADC.$
(1)求证:$△ ABC$ 是等边三角形;
(2)过点 $B$ 作 $BE// CD$ 交 $DA$ 的延长线于点 $E$,若 $AD=2,DC=3$,求$△ BDE$ 的周长.

11.(1)证明:
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵∠ABC=60°,
∴∠ADC=120°.
∵DB平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB=60°,
∴∠ACB=∠ADB=60°,∠BAC=∠CDB=60°,
∴∠ABC=∠BCA=∠BAC,
∴△ABC是等边三角形.
(2)解:
∵BE//CD,
∴∠EBD=∠BDC.
∵∠ADB=∠CDB=60°,
∴∠EBD=∠EDB=60°,
∴△BDE是等边三角形,
∴BE=BD.又
∵△ABC为等边三角形,
∴∠EBD=∠ABC=60°,AB=CB,
∴∠ABE=∠CBD.在△ABE和△CBD中,
$\begin{cases} BE=BD, \\ ∠ABE=∠CBD, \\ AB=CB, \end{cases}$
∴△ABE≌△CBD(SAS),
∴AE=CD=3,
∴DE=AE+AD=5,
∴△BDE的周长为15.

12. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90^{ \circ }$,过$B$,$C$两点的$\odot O$交$AC$于点$D$,交$AB$于点$E$,连接$EO$并延长交$\odot O$于点$F$,连接$BF$,$CF$,$ED$. 若$∠ EDC=135^{ \circ }$,$CF=2\sqrt{2}$,求$AE^{2}+BE^{2}$的值.

12.解:
∵四边形BCDE内接于⊙O,且∠EDC=135°,
∴∠EFC=∠ABC=180°−∠EDC=45°.
∵∠ACB=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴AC=BC.
又
∵EF是⊙O的直径,
∴∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°,
∴∠BCF=∠ACE.
∵四边形BECF是⊙O的内接四边形,
∴∠BEC+∠BFC=180°.
∵∠BEC+∠AEC=180°,
∴∠AEC=∠BFC,
∴△ACE≌△BCF(AAS),
∴AE=BF,EC=FC.
在Rt△ECF中,CF=2√2,
∴EF²=CE²+CF²=16,
则AE²+BE²=BF²+BE²=EF²=16.