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8.画出下面三角形三条边上的高.
答案
解：
1. 作AB边上的高：将三角板的一条直角边与AB边所在直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边经过点C，从点C向AB边所在直线作垂线，点C与垂足间的线段即为AB边上的高，该钝角三角形的这条高的垂足落在AB边过点B的延长线上。
2. 作BC边上的高：将三角板的一条直角边与BC边所在直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边经过点A，从点A向BC边所在直线作垂线，点A与垂足间的线段即为BC边上的高，该钝角三角形的这条高的垂足落在BC边过点B的延长线上。
3. 作AC边上的高：将三角板的一条直角边与AC边所在直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边经过点B，从点B向AC边作垂线，点B与垂足间的线段即为AC边上的高，这条高的垂足落在AC边上。
最终得到的三条线段即为△ABC三条边上的高。
1. 作AB边上的高：将三角板的一条直角边与AB边所在直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边经过点C，从点C向AB边所在直线作垂线，点C与垂足间的线段即为AB边上的高，该钝角三角形的这条高的垂足落在AB边过点B的延长线上。
2. 作BC边上的高：将三角板的一条直角边与BC边所在直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边经过点A，从点A向BC边所在直线作垂线，点A与垂足间的线段即为BC边上的高，该钝角三角形的这条高的垂足落在BC边过点B的延长线上。
3. 作AC边上的高：将三角板的一条直角边与AC边所在直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边经过点B，从点B向AC边作垂线，点B与垂足间的线段即为AC边上的高，这条高的垂足落在AC边上。
最终得到的三条线段即为△ABC三条边上的高。
9. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $AD ⊥ BC, BE ⊥ AC$, $BC=12, AC=8, AD=6$, 则 $BE$ 的长为多少?
答案
9.$BE$ 的长为 9
我们在小学就已经知道,任意一个三角形的内角和等于$180°$.我们是通过度量或剪拼得出这一结论的.
通过度量或剪拼的方法,可以验证三角形的内角和等于$180°$.但是,由于测量常常有误差,这种“验证”不是“数学证明”,不能完全让人信服;又由于形状不同的三角形有无数个,我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于$180°$.所以需要通过推理的方法去证明:任意一个三角形的内角和一定等于$180°$.
知识点一:三角形的内角和定理及其应用
(1)三角形内角和定理:三角形中三个内角的和等于$180°$.数学语言:在$△ ABC$中,$∠ A+∠ B+∠ C=180°$.
(2)在一个三角形中,最多有三个锐角,最少有两个锐角,最多有一个钝角,最多有一个直角.
(3)等腰三角形的底角只能是锐角,不可能是直角或钝角.
例1:如图,在$△ ABC$中,$AD$平分$∠ BAC$,$AE$是高,若$∠ B=40°$,$∠ C=60°$,则$∠ EAD$的度数为 （）
A.$30°$
B.$10°$
C.$40°$
D.$20°$
分析:根据三角形内角和可求得$∠ BAC=80°$,又因为$AD$平分$∠ BAC$,所以可求得$∠ CAD=40°$,由$AE⊥ BC$,$∠ C=60°$,可求得$∠ CAE=30°$,从而求得$∠ EAD=10°$.
答案:B
例2:$△ ABC$的三个内角分别是$∠ A$,$∠ B$,$∠ C$,求分别满足下列条件的$∠ A$,$∠ B$,$∠ C$的度数:
(1)$∠ C=50°$,$∠ A=∠ B+10°$;
(2)$∠ A=∠ B=2∠ C$;
(3)$∠ A=2∠ B-10°$,$∠ B=∠ C+20°$.
分析:根据三角形内角和定理求解即可.
解:(1)$\because △ ABC$中,$∠ C=50°$,$\therefore ∠ A+∠ B=130°$,$\because ∠ A=∠ B+10°$,$\therefore 2∠ B+10°=130°$,解得$∠ B=60°$,$\therefore ∠ A=70°$.
(2)$\because ∠ A=∠ B=2∠ C$,$∠ A+∠ B+∠ C=180°$,$\therefore 2∠ C+2∠ C+∠ C=180°$,解得$∠ C=36°$,$\therefore ∠ A=∠ B=72°$.
(3)$\because ∠ A=2∠ B-10°$,$∠ B=∠ C+20°$,$\therefore ∠ A=2∠ C+30°$,在$△ ABC$中,$2∠ C+30°+∠ C+20°+∠ C=180°$,解得$∠ C=32.5°$,$\therefore ∠ A=2∠ C+30°=2×32.5°+30°=95°$,$∠ B=∠ C+20°=52.5°$.
通过度量或剪拼的方法,可以验证三角形的内角和等于$180°$.但是,由于测量常常有误差,这种“验证”不是“数学证明”,不能完全让人信服;又由于形状不同的三角形有无数个,我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于$180°$.所以需要通过推理的方法去证明:任意一个三角形的内角和一定等于$180°$.
知识点一:三角形的内角和定理及其应用
(1)三角形内角和定理:三角形中三个内角的和等于$180°$.数学语言:在$△ ABC$中,$∠ A+∠ B+∠ C=180°$.
(2)在一个三角形中,最多有三个锐角,最少有两个锐角,最多有一个钝角,最多有一个直角.
(3)等腰三角形的底角只能是锐角,不可能是直角或钝角.
例1:如图,在$△ ABC$中,$AD$平分$∠ BAC$,$AE$是高,若$∠ B=40°$,$∠ C=60°$,则$∠ EAD$的度数为 （）
A.$30°$
B.$10°$
C.$40°$
D.$20°$
分析:根据三角形内角和可求得$∠ BAC=80°$,又因为$AD$平分$∠ BAC$,所以可求得$∠ CAD=40°$,由$AE⊥ BC$,$∠ C=60°$,可求得$∠ CAE=30°$,从而求得$∠ EAD=10°$.
答案:B
例2:$△ ABC$的三个内角分别是$∠ A$,$∠ B$,$∠ C$,求分别满足下列条件的$∠ A$,$∠ B$,$∠ C$的度数:
(1)$∠ C=50°$,$∠ A=∠ B+10°$;
(2)$∠ A=∠ B=2∠ C$;
(3)$∠ A=2∠ B-10°$,$∠ B=∠ C+20°$.
分析:根据三角形内角和定理求解即可.
解:(1)$\because △ ABC$中,$∠ C=50°$,$\therefore ∠ A+∠ B=130°$,$\because ∠ A=∠ B+10°$,$\therefore 2∠ B+10°=130°$,解得$∠ B=60°$,$\therefore ∠ A=70°$.
(2)$\because ∠ A=∠ B=2∠ C$,$∠ A+∠ B+∠ C=180°$,$\therefore 2∠ C+2∠ C+∠ C=180°$,解得$∠ C=36°$,$\therefore ∠ A=∠ B=72°$.
(3)$\because ∠ A=2∠ B-10°$,$∠ B=∠ C+20°$,$\therefore ∠ A=2∠ C+30°$,在$△ ABC$中,$2∠ C+30°+∠ C+20°+∠ C=180°$,解得$∠ C=32.5°$,$\therefore ∠ A=2∠ C+30°=2×32.5°+30°=95°$,$∠ B=∠ C+20°=52.5°$.
答案
解：
例1
在△ABC中，
∵ ∠B=40°，∠C=60°，∠A+∠B+∠C=180°，
∴ ∠BAC=180°-40°-60°=80°，
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=40°，
∵ AE是高，
∴ ∠AEC=90°，
在△AEC中，∠CAE=180°-90°-∠C=90°-60°=30°，
∴ ∠EAD=∠CAD-∠CAE=40°-30°=10°，
故选B。
---
例2
(1) 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
∵ ∠C=50°，
∴ ∠A+∠B=180°-50°=130°，
∵ ∠A=∠B+10°，
∴ ∠B+10°+∠B=130°，
解得∠B=60°，
∴ ∠A=60°+10°=70°，
即∠A=70°，∠B=60°，∠C=50°。
(2) ∵ ∠A=∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴ 2∠C+2∠C+∠C=180°，
解得∠C=36°，
∴ ∠A=∠B=2×36°=72°，
即∠A=72°，∠B=72°，∠C=36°。
(3) ∵ ∠A=2∠B-10°，∠B=∠C+20°，
∴ ∠A=2(∠C+20°)-10°=2∠C+30°，
代入∠A+∠B+∠C=180°得：
2∠C+30°+∠C+20°+∠C=180°，
解得∠C=32.5°，
∴ ∠B=32.5°+20°=52.5°，
∠A=2×32.5°+30°=95°，
即∠A=95°，∠B=52.5°，∠C=32.5°。
例1
在△ABC中，
∵ ∠B=40°，∠C=60°，∠A+∠B+∠C=180°，
∴ ∠BAC=180°-40°-60°=80°，
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=40°，
∵ AE是高，
∴ ∠AEC=90°，
在△AEC中，∠CAE=180°-90°-∠C=90°-60°=30°，
∴ ∠EAD=∠CAD-∠CAE=40°-30°=10°，
故选B。
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例2
(1) 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
∵ ∠C=50°，
∴ ∠A+∠B=180°-50°=130°，
∵ ∠A=∠B+10°，
∴ ∠B+10°+∠B=130°，
解得∠B=60°，
∴ ∠A=60°+10°=70°，
即∠A=70°，∠B=60°，∠C=50°。
(2) ∵ ∠A=∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴ 2∠C+2∠C+∠C=180°，
解得∠C=36°，
∴ ∠A=∠B=2×36°=72°，
即∠A=72°，∠B=72°，∠C=36°。
(3) ∵ ∠A=2∠B-10°，∠B=∠C+20°，
∴ ∠A=2(∠C+20°)-10°=2∠C+30°，
代入∠A+∠B+∠C=180°得：
2∠C+30°+∠C+20°+∠C=180°，
解得∠C=32.5°，
∴ ∠B=32.5°+20°=52.5°，
∠A=2×32.5°+30°=95°，
即∠A=95°，∠B=52.5°，∠C=32.5°。
