11.【阅读理解】
“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段(角)的数量关系问题.
(1) 如图 1，$△ ABC$ 是等边三角形，$D$ 是边$AC$ 右侧一点，$∠ ADC=120°$，则线段$BD,AD,CD$ 之间的数量关系为
.
【迁移应用】
(2) 如图 2，$△ ABC$ 为等边三角形，$D$ 在边$AC$ 上，$AE// BC$，且$∠ BDE=60°$. 试探究线段 $AB,AE,AD$ 之间的数量关系，并说明理由.
【能力提升】
(3) 如图 3，在四边形 $ABCD$ 中，$∠ BAD +$$∠ BCD=180°$，$AD=DC$. 若点 $E$ 在$BA$ 的延长线上，点 $F$ 在 $BC$ 的延长线上，满足 $EF=AE+CF$，则$∠ EDF$ 与$∠ ADC$ 的数量关系为.

11. 解:(1) $BD=AD+CD$ 提示:如图 1,延长 AD 到点 E,使$DE=CD$,连接 CE. 因为$△ABC$是等边三角形,所以$AB=BC$,$∠ACB=60°$. 因为$∠ADC=120°$,所以$∠EDC=180°-∠ADC=60°$. 所以$△CDE$是等边三角形. 所以$CD=CE$,$∠DCE=∠E=60°$. 所以$∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD$,即$∠BCD=∠ACE$. 在$△BCD$和$△ACE$中,$\begin{cases} BC=AC, \\ ∠BCD=∠ACE, \\ CD=CE, \end{cases}$所以$△BCD≌△ACE$(SAS). 所以$BD=AE$. 因为$AE=AD+DE$,所以$BD=AD+CD$.
(2) $AB=AD+AE$. 理由如下:
如图 2,在 BC 上取点 F,使$CF=CD$,连接 DF. 因为$△ABC$为等边三角形,所以$AB=BC=AC$,$∠BAC=∠ABC=∠C=60°$. 所以$△CDF$是等边三角形. 所以$CD=CF=DF$,$∠CDF=∠CFD=∠C=60°$. 所以$AD=BF$,$∠BFD=120°$. 因为$AE// BC$,所以$∠BAE=∠ABC=60°$. 所以$∠DAE=∠BAC+∠BAE=120°$. 所以$∠BFD=∠DAE$. 因为$∠BDE=60°$,所以$∠BDF+∠ADE=180°-∠BDE-∠CDF=60°$,因为$∠E+∠ADE=180°-∠DAE=60°$,所以$∠E=∠BDF$. 在$△ADE$和$△FBD$中,$\begin{cases} ∠E=∠BDF, \\ ∠EAD=∠DFB, \\ AD=FB, \end{cases}$所以$△ADE≌△FBD$(AAS). 所以$AE=DF$. 因为$AC=AD+CD$,所以$AB=AD+AE$.
(3) $2∠EDF+∠ADC=360°$. 提示:如图 3,在线段 AB 上取一点 G,使$AG=CF$,连接 DG. 因为$∠BAD+∠BCD=180°$,$∠BCD+∠DCF=180°$,所以$∠BAD=∠DCF$,又因为$AD=CD$,所以$△DAG≌△DCF$. 所以$DG=DF$,$∠ADG=∠CDF$. 因为$EF=AE+CF=AE+AG=GE$,$DE=DE$,所以$△DGE≌△DFE$. 所以$∠EDG=∠EDF$. 因为$∠EDF+∠GDE+∠GDF=360°$,所以$2∠EDF+∠GDF=360°$. 因为$∠GDF=∠CDF+∠CDG=∠ADG+∠CDG=∠ADC$,所以$2∠EDF+∠ADC=360°$.

12.（2025 盐城市期末）已知在等边三角形$ABC$中，点$E$在$AB$上，点$D$在$CB$的延长线上，且$ED=EC$。
（1）【感知】如图1，当$E$为$AB$的中点时，求证：$AE=BD$。
（2）【类比】如图2，当点$E$为边$AB$上任意一点时，则线段$AE$与$DB$的数量关系是，嘉琪想到过点$E$作$△ ABC$其中一边的平行线构造出一个等边三角形，再利用全等三角形知识解决问题，填空并帮嘉琪完成证明。
（3）【拓展】如图3，在等边三角形$ABC$中，点$E$在直线$AB$上，点$D$在线段$CB$的延长线上，且$ED=EC$，若$△ ABC$的边长为1，$AE=2$，求$CD$的长。

12. （1）证明:因为$△ABC$是等边三角形,所以$∠ACB=∠ABC=60°$. 因为 E 为 AB 的中点,所以$AE=BE$,$∠ECB=\frac{1}{2}∠ACB=30°$. 因为$ED=EC$,所以$∠EDC=∠ECD=30°$. 因为$∠CBE=∠D+∠DEB=60°$,所以$∠DEB=∠D=30°$. 所以$DB=BE$. 因为$AE=BE$,所以$AE=BD$.
（2）$AE=DB$ 证明:如图 1,过点 E 作$EF// BC$,交 AC 于点 F. 因为$△ABC$为等边三角形,所以$∠ABC=∠A=60°$,$AB=AC$. 因为$EF// BC$,所以$∠AEF=∠ABC=60°$. 所以$∠AFE=∠AEF=∠A=60°$. 所以$△AEF$为等边三角形,所以$AE=EF=AF$. 所以$AB-AE=AC-AF$,所以$BE=CF$. 因为$ED=EC$,所以$∠D=∠ECD$. 因为$∠DEB=60°-∠D$,$∠ECF=60°-∠ECD$,所以$∠DEB=∠ECF$. 在$△DBE$和$△EFC$中,$\begin{cases} DE=CE, \\ ∠DEB=∠ECF, \\ BE=FC, \end{cases}$所以$△DBE≌△EFC$(SAS). 所以$DB=EF$,所以$AE=DB$.
（3）解:如图 2,作$EF// BC$,交 AC 的延长线于点 F,则$∠DCE=∠CEF$. 同(2)可得,$△AEF$是等边三角形,所以$EF=AE=2$,$BE=CF$,$∠DBE=∠ABC=∠F=60°$,因为$ED=EC$,所以$∠D=∠DCE$. 因为$∠DEB=180°-60°-∠D$,$∠ECF=180°-60°-∠CEF$,所以$∠DEB=∠ECF$. 在$△DBE$和$△EFC$中,$\begin{cases} DE=CE, \\ ∠DEB=∠ECF, \\ BE=FC, \end{cases}$所以$△DBE≌△EFC$(SAS). 所以$DB=EF=2$. 因为$BC=1$,所以$CD=BC+DB=3$.