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10. （★★）甲、乙、丙、丁、戊五名学生坐位体前屈成绩（单位：cm）如下：23，25，17，19， 22，根据组内离差平方和最小的原则，将这五名同学的成绩分成两组.
答案
10.将5个数据按从小到大排序:17, 19, 22, 23, 25.
把5个数据分成两组,共有4种情况.
第一种情况:第一组1个数据,第二组4个数据.
第一组数据:{17},组内离差平方和为0.
第二组数据:{19, 22, 23, 25},平均数为$\frac{1}{4}×(19+22+23+25)=22.25$,
组内离差平方和为$(19-22.25)^{2}+(22-22.25)^{2}+(23-22.25)^{2}+(25-22.25)^{2}=10.5625+0.0625+0.5625+7.5625=18.75$.
故第一种情况的组内离差平方和为0+18.75=18.75.
第二种情况:第一组2个数据,第二组3个数据.
第一组数据:{17,19},平均数为$\frac{1}{2}×(17+19)=18$,
组内离差平方和为$(17-18)^{2}+(19-18)^{2}=1+1=2$.
第二组数据:{22,23,25},平均数为$\frac{1}{3}×(22+23+25)=\frac{70}{3}$,
组内离差平方和为$(22-\frac{70}{3})^{2}+(23-\frac{70}{3})^{2}+(25-\frac{70}{3})^{2}=\frac{14}{3}$.
故第二种情况的组内离差平方和为$2+\frac{14}{3}=\frac{20}{3}$.
第三种情况:第一组3个数据,第二组2个数据.
第一组数据:{17,19,22},平均数为$\frac{1}{3}×(17+19+22)=\frac{58}{3}$,
组内离差平方和为$(17-\frac{58}{3})^{2}+(19-\frac{58}{3})^{2}+(22-\frac{58}{3})^{2}=\frac{38}{3}$.
第二组数据:{23,25},平均数为$\frac{1}{2}×(23+25)=24$,
组内离差平方和为$(23-24)^{2}+(25-24)^{2}=1+1=2$.
故第三种情况的组内离差平方和为$\frac{38}{3}+2=\frac{44}{3}$.
第四种情况:第一组4个数据,第二组1个数据.
第一组数据:{17,19,22,23},平均数为$\frac{1}{4}×(17+19+22+23)=20.25$,
组内离差平方和为$(17-20.25)^{2}+(19-20.25)^{2}+(22-20.25)^{2}+(23-20.25)^{2}=10.5625+1.5625+3.0625+7.5625=20.75$.
第二组数据:{25},组内离差平方和为0.
故第四种情况的组内离差平方和为22.75+0=22.75.
比较四种情况的组内离差平方和:$\frac{20}{3}＜\frac{44}{3}＜18.75＜22.75$.
因此第二种情况的组内离差平方和最小.
根据组内离差平方和最小原则,最优分组为
第一组:{17,19},
第二组:{22,23,25}.
把5个数据分成两组,共有4种情况.
第一种情况:第一组1个数据,第二组4个数据.
第一组数据:{17},组内离差平方和为0.
第二组数据:{19, 22, 23, 25},平均数为$\frac{1}{4}×(19+22+23+25)=22.25$,
组内离差平方和为$(19-22.25)^{2}+(22-22.25)^{2}+(23-22.25)^{2}+(25-22.25)^{2}=10.5625+0.0625+0.5625+7.5625=18.75$.
故第一种情况的组内离差平方和为0+18.75=18.75.
第二种情况:第一组2个数据,第二组3个数据.
第一组数据:{17,19},平均数为$\frac{1}{2}×(17+19)=18$,
组内离差平方和为$(17-18)^{2}+(19-18)^{2}=1+1=2$.
第二组数据:{22,23,25},平均数为$\frac{1}{3}×(22+23+25)=\frac{70}{3}$,
组内离差平方和为$(22-\frac{70}{3})^{2}+(23-\frac{70}{3})^{2}+(25-\frac{70}{3})^{2}=\frac{14}{3}$.
故第二种情况的组内离差平方和为$2+\frac{14}{3}=\frac{20}{3}$.
第三种情况:第一组3个数据,第二组2个数据.
第一组数据:{17,19,22},平均数为$\frac{1}{3}×(17+19+22)=\frac{58}{3}$,
组内离差平方和为$(17-\frac{58}{3})^{2}+(19-\frac{58}{3})^{2}+(22-\frac{58}{3})^{2}=\frac{38}{3}$.
第二组数据:{23,25},平均数为$\frac{1}{2}×(23+25)=24$,
组内离差平方和为$(23-24)^{2}+(25-24)^{2}=1+1=2$.
故第三种情况的组内离差平方和为$\frac{38}{3}+2=\frac{44}{3}$.
第四种情况:第一组4个数据,第二组1个数据.
第一组数据:{17,19,22,23},平均数为$\frac{1}{4}×(17+19+22+23)=20.25$,
组内离差平方和为$(17-20.25)^{2}+(19-20.25)^{2}+(22-20.25)^{2}+(23-20.25)^{2}=10.5625+1.5625+3.0625+7.5625=20.75$.
第二组数据:{25},组内离差平方和为0.
故第四种情况的组内离差平方和为22.75+0=22.75.
比较四种情况的组内离差平方和:$\frac{20}{3}＜\frac{44}{3}＜18.75＜22.75$.
因此第二种情况的组内离差平方和最小.
根据组内离差平方和最小原则,最优分组为
第一组:{17,19},
第二组:{22,23,25}.
11. （★★★）如果把13，15，16，19，22分成三组，根据组内离差平方和最小原则，应该如何分？
答案
11.分组方案1:
组1:{13},组2:{15},组3:{16,19,22}.
组1:{13},组内离差平方和=0.
组2:{15},组内离差平方和=0.
组3:{16,19,22},平均数为$\frac{1}{3}×(16+19+22)=19$,
组内离差平方和=$(16-19)^{2}+(19-19)^{2}+(22-19)^{2}=9+0+9=18$.
总的组内离差平方和=0+0+18=18.
分组方案2:
组1:{13},组2:{15,16},组3:{19,22}.
组1:{13},组内离差平方和=0.
组2:{15,16},平均数为$\frac{1}{2}×(15+16)=15.5$,
组内离差平方和=$(15-15.5)^{2}+(16-15.5)^{2}=0.25+0.25=0.5$.
组3:{19,22},平均数为$\frac{1}{2}×(19+22)=20.5$,
组内离差平方和=$(19-20.5)^{2}+(22-20.5)^{2}=2.25+2.25=4.5$.
总的组内离差平方和=0+0.5+4.5=5.
分组方案3:
组1:{13},组2:{15,16,19},组3:{22}.
组1:{13},组内离差平方和=0.
组2:{15,16,19},平均数为$\frac{1}{3}×(15+16+19)=\frac{50}{3}$,
组内离差平方和=$(15-\frac{50}{3})^{2}+(16-\frac{50}{3})^{2}+(19-\frac{50}{3})^{2}=\frac{26}{3}$.
组3:{22},组内离差平方和=0.
总的组内离差平方和=0+$\frac{26}{3}$+0=$\frac{26}{3}$.
分组方案4:
组1:{13,15},组2:{16},组3:{19,22}.
组1:{13,15},平均数为$\frac{1}{2}×(13+15)=14$,
组内离差平方和=$(13-14)^{2}+(15-14)^{2}=1+1=2$.
组2:{16},组内离差平方和=0.
组3:{19,22},平均数为$\frac{1}{2}×(19+22)=20.5$,组内离差平方和=$(19-20.5)^{2}+(22-20.5)^{2}=2.25+2.25=4.5$.
总的组内离差平方和=2+0+4.5=6.5.
分组方案5:
组1:{13,15},组2:{16,19},组3:{22}.
组1:{13,15},平均数为14,组内离差平方和=2
组2:{16,19},平均数为$\frac{1}{2}×(16+19)=17.5$,
组内离差平方和=$(16-17.5)^{2}+(19-17.5)^{2}=2.25+2.25=4.5$.
组3:{22},组内离差平方和=0.
总的组内离差平方和=2+4.5+0=6.5.
分组方案6:
组1:{13,15,16},组2:{19},组3:{22}.
组1:{13,15,16},平均数为$\frac{1}{3}×(13+15+16)=\frac{44}{3}$,
组内离差平方和=$(13-\frac{44}{3})^{2}+(15-\frac{44}{3})^{2}+(16-\frac{44}{3})^{2}=\frac{14}{3}$.
组2:{19},组内离差平方和=0.
组3:{22},组内离差平方和=0.
总的组内离差平方和=$\frac{14}{3}$+0+0=$\frac{14}{3}$.
比较总的组内离差平方和,方案6的总的组内离差平方和最小,为$\frac{14}{3}$.
故最优分组为{13,15,16},{19},{22}.
组1:{13},组2:{15},组3:{16,19,22}.
组1:{13},组内离差平方和=0.
组2:{15},组内离差平方和=0.
组3:{16,19,22},平均数为$\frac{1}{3}×(16+19+22)=19$,
组内离差平方和=$(16-19)^{2}+(19-19)^{2}+(22-19)^{2}=9+0+9=18$.
总的组内离差平方和=0+0+18=18.
分组方案2:
组1:{13},组2:{15,16},组3:{19,22}.
组1:{13},组内离差平方和=0.
组2:{15,16},平均数为$\frac{1}{2}×(15+16)=15.5$,
组内离差平方和=$(15-15.5)^{2}+(16-15.5)^{2}=0.25+0.25=0.5$.
组3:{19,22},平均数为$\frac{1}{2}×(19+22)=20.5$,
组内离差平方和=$(19-20.5)^{2}+(22-20.5)^{2}=2.25+2.25=4.5$.
总的组内离差平方和=0+0.5+4.5=5.
分组方案3:
组1:{13},组2:{15,16,19},组3:{22}.
组1:{13},组内离差平方和=0.
组2:{15,16,19},平均数为$\frac{1}{3}×(15+16+19)=\frac{50}{3}$,
组内离差平方和=$(15-\frac{50}{3})^{2}+(16-\frac{50}{3})^{2}+(19-\frac{50}{3})^{2}=\frac{26}{3}$.
组3:{22},组内离差平方和=0.
总的组内离差平方和=0+$\frac{26}{3}$+0=$\frac{26}{3}$.
分组方案4:
组1:{13,15},组2:{16},组3:{19,22}.
组1:{13,15},平均数为$\frac{1}{2}×(13+15)=14$,
组内离差平方和=$(13-14)^{2}+(15-14)^{2}=1+1=2$.
组2:{16},组内离差平方和=0.
组3:{19,22},平均数为$\frac{1}{2}×(19+22)=20.5$,组内离差平方和=$(19-20.5)^{2}+(22-20.5)^{2}=2.25+2.25=4.5$.
总的组内离差平方和=2+0+4.5=6.5.
分组方案5:
组1:{13,15},组2:{16,19},组3:{22}.
组1:{13,15},平均数为14,组内离差平方和=2
组2:{16,19},平均数为$\frac{1}{2}×(16+19)=17.5$,
组内离差平方和=$(16-17.5)^{2}+(19-17.5)^{2}=2.25+2.25=4.5$.
组3:{22},组内离差平方和=0.
总的组内离差平方和=2+4.5+0=6.5.
分组方案6:
组1:{13,15,16},组2:{19},组3:{22}.
组1:{13,15,16},平均数为$\frac{1}{3}×(13+15+16)=\frac{44}{3}$,
组内离差平方和=$(13-\frac{44}{3})^{2}+(15-\frac{44}{3})^{2}+(16-\frac{44}{3})^{2}=\frac{14}{3}$.
组2:{19},组内离差平方和=0.
组3:{22},组内离差平方和=0.
总的组内离差平方和=$\frac{14}{3}$+0+0=$\frac{14}{3}$.
比较总的组内离差平方和,方案6的总的组内离差平方和最小,为$\frac{14}{3}$.
故最优分组为{13,15,16},{19},{22}.
