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三、能力提升
22. 综合与实践
| 主题 | 关于如何扭转汽车客运线路亏损的问题 |
| ---- | ---- |
| 问题情境 | 随着轨道交通的便利、私家车的普及、网约车的流行，某汽车客运公司的乘客量比以往减少，近期有一条运营线路处于亏损状态. |
| 问题探究 | （1）公司做了大量的市场调研，将有关数据进行分析整理，发现收支差额$y$（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量$x$（万人）的关系可近似看作一次函数$y=kx+b$（图象如图①所示）. 求出$k$，$b$的值，并解释其实际意义.
（2）汽车客运公司在调研后邀请了一些乘客代表来研讨扭亏方案. 在讨论中，有乘客代表认为，市民出行选择方式增多，客运公司应该改变观念，改善管理方法，降低运营成本. 客运公司行政代表认为，运营成本难以下降，提高票价才能扭亏为盈.
你认为图②和图③两个图中，反映乘客代表意见的是__________，反映客运公司行政代表意见的是__________.
|
续表
问题解决
（3）汽车客运公司通过市场调研发现，该线路一周内每天的乘客数量如表所示。
| 星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
| ------ | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| x/万人 | 1.4 | 1.1 | 1.1 | 1.3 | 1.4 | 1.4 | 1.4 |
经过讨论，得到三种扭亏方案，具体如下.
方案1：票价不变，将运营成本降低到0.8万元.
方案2：运营成本不变，提高票价使人均票价为0.8元.
方案3：将运营成本降低到0.9万元，同时提高票价，使人均票价为0.75元.
你认为哪种方案更有利于汽车客运公司扭转亏损状态？请说明理由.
22. 综合与实践
| 主题 | 关于如何扭转汽车客运线路亏损的问题 |
| ---- | ---- |
| 问题情境 | 随着轨道交通的便利、私家车的普及、网约车的流行，某汽车客运公司的乘客量比以往减少，近期有一条运营线路处于亏损状态. |
| 问题探究 | （1）公司做了大量的市场调研，将有关数据进行分析整理，发现收支差额$y$（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量$x$（万人）的关系可近似看作一次函数$y=kx+b$（图象如图①所示）. 求出$k$，$b$的值，并解释其实际意义.
（2）汽车客运公司在调研后邀请了一些乘客代表来研讨扭亏方案. 在讨论中，有乘客代表认为，市民出行选择方式增多，客运公司应该改变观念，改善管理方法，降低运营成本. 客运公司行政代表认为，运营成本难以下降，提高票价才能扭亏为盈.
你认为图②和图③两个图中，反映乘客代表意见的是__________，反映客运公司行政代表意见的是__________.
|续表
问题解决
（3）汽车客运公司通过市场调研发现，该线路一周内每天的乘客数量如表所示。
| 星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
| ------ | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| x/万人 | 1.4 | 1.1 | 1.1 | 1.3 | 1.4 | 1.4 | 1.4 |
经过讨论，得到三种扭亏方案，具体如下.
方案1：票价不变，将运营成本降低到0.8万元.
方案2：运营成本不变，提高票价使人均票价为0.8元.
方案3：将运营成本降低到0.9万元，同时提高票价，使人均票价为0.75元.
你认为哪种方案更有利于汽车客运公司扭转亏损状态？请说明理由.
答案
解：
(1) 求$k,b$的值及实际意义
由图①可知，一次函数$y=kx+b$的图象过点$A(0,-1)$和$B(1.5,0)$：
将$(0,-1)$代入解析式，得$b=-1$；
将$(1.5,0)$和$b=-1$代入解析式，得$1.5k -1=0$，解得$k=\frac{2}{3}$。
$k=\frac{2}{3}$的实际意义：当乘客数量每增加1万人时，收支差额增加$\frac{2}{3}$万元，即每1万乘客对应的票价总收入为$\frac{2}{3}$万元，也就是人均票价为$\frac{2}{3}$元；
$b=-1$的实际意义：当乘客数量为0时，收支差额为$-1$万元，即该线路未搭载乘客时，运营成本为1万元。
(2) 填空答案
反映乘客代表意见的是$\boldsymbol{图③}$，反映客运公司行政代表意见的是$\boldsymbol{图②}$。
(3) 方案对比分析
首先计算该线路一周的总乘客数量：
$1.4+1.1+1.1+1.3+1.4+1.4+1.4=9.1$（万人）
分别计算三个方案下一周的总收支差额：
- 方案1：票价不变（人均票价$\frac{2}{3}$元），运营成本降低到0.8万元/天
日收支差额为$y_1=\frac{2}{3}x - 0.8$，一周总收支差额为：
$\frac{2}{3}×9.1 - 0.8×7=\frac{91}{15}-5.6\approx0.47$（万元）
- 方案2：运营成本不变（1万元/天），人均票价为0.8元
日收支差额为$y_2=0.8x -1$，一周总收支差额为：
$0.8×9.1 -1×7=7.28-7=0.28$（万元）
- 方案3：运营成本降低到0.9万元/天，人均票价为0.75元
日收支差额为$y_3=0.75x -0.9$，一周总收支差额为：
$0.75×9.1 -0.9×7=6.825-6.3=0.525$（万元）
对比三个方案的周总收支差额：$0.525＞0.47＞0.28$，方案3的总盈利最高，因此方案3更有利于汽车客运公司扭转亏损状态。
(1) 求$k,b$的值及实际意义
由图①可知，一次函数$y=kx+b$的图象过点$A(0,-1)$和$B(1.5,0)$：
将$(0,-1)$代入解析式，得$b=-1$；
将$(1.5,0)$和$b=-1$代入解析式，得$1.5k -1=0$，解得$k=\frac{2}{3}$。
$k=\frac{2}{3}$的实际意义：当乘客数量每增加1万人时，收支差额增加$\frac{2}{3}$万元，即每1万乘客对应的票价总收入为$\frac{2}{3}$万元，也就是人均票价为$\frac{2}{3}$元；
$b=-1$的实际意义：当乘客数量为0时，收支差额为$-1$万元，即该线路未搭载乘客时，运营成本为1万元。
(2) 填空答案
反映乘客代表意见的是$\boldsymbol{图③}$，反映客运公司行政代表意见的是$\boldsymbol{图②}$。
(3) 方案对比分析
首先计算该线路一周的总乘客数量：
$1.4+1.1+1.1+1.3+1.4+1.4+1.4=9.1$（万人）
分别计算三个方案下一周的总收支差额：
- 方案1：票价不变（人均票价$\frac{2}{3}$元），运营成本降低到0.8万元/天
日收支差额为$y_1=\frac{2}{3}x - 0.8$，一周总收支差额为：
$\frac{2}{3}×9.1 - 0.8×7=\frac{91}{15}-5.6\approx0.47$（万元）
- 方案2：运营成本不变（1万元/天），人均票价为0.8元
日收支差额为$y_2=0.8x -1$，一周总收支差额为：
$0.8×9.1 -1×7=7.28-7=0.28$（万元）
- 方案3：运营成本降低到0.9万元/天，人均票价为0.75元
日收支差额为$y_3=0.75x -0.9$，一周总收支差额为：
$0.75×9.1 -0.9×7=6.825-6.3=0.525$（万元）
对比三个方案的周总收支差额：$0.525＞0.47＞0.28$，方案3的总盈利最高，因此方案3更有利于汽车客运公司扭转亏损状态。
解析
【解析】
(1) 由图①可知，一次函数$y=kx+b$过点$A(0,-1)$和$B(1.5,0)$：
将两点代入函数解析式得：
$\begin{cases} b=-1 \\ 1.5k + b = 0 \end{cases}$
把$b=-1$代入$1.5k + b = 0$，解得$k=\frac{2}{3}$。
$k$的实际意义：每增加1万乘客，收支差额增加$\frac{2}{3}$万元；
$b$的实际意义：当乘客数量为0时，没有票价收入，此时亏损1万元，即该线路的基础运营成本为1万元。
(2) 乘客代表的意见是降低运营成本，对应一次函数与y轴的交点上移（x=0时的亏损额减小），斜率不变，对应图③；
客运行政代表的意见是不改变运营成本，提高票价，对应一次函数斜率增大，与y轴交点不变，对应图②。
(3) 先计算该线路一周的总乘客量：
$1.4+1.1+1.1+1.3+1.4+1.4+1.4=9.1$（万人）
分别计算三个方案的周总收支差额：
- 方案1：原人均票价为$\frac{2}{3}$元，收支差额$y_1=\frac{2}{3}×9.1 - 0.8\approx5.27$（万元）
- 方案2：收支差额$y_2=0.8×9.1 - 1=6.28$（万元）
- 方案3：收支差额$y_3=0.75×9.1 - 0.9=5.925$（万元）
对比得$y_2＞y_3＞y_1$，方案2的总收益最高，更利于扭亏。
【答案】
(1) $k=\frac{2}{3}$，$b=-1$；$k$表示每增加1万乘客，收支差额增加$\frac{2}{3}$万元，$b$表示乘客数量为0时，运营成本为1万元，此时亏损1万元；
(2) 图③；图②；
(3) 方案2更有利于扭转亏损，该方案一周总收支差额最高，盈利最多。
【知识点】
一次函数实际应用
一次函数图像性质
数据分析计算
【点评】
本题结合客运线路扭亏的实际场景考查一次函数的应用，既考查了待定系数法求函数解析式、结合图像理解参数的实际意义，又通过多方案对比计算强化了用函数模型解决实际决策问题的能力，贴合生活，难度梯度设置合理。
【难度系数】
0.6
(1) 由图①可知，一次函数$y=kx+b$过点$A(0,-1)$和$B(1.5,0)$：
将两点代入函数解析式得：
$\begin{cases} b=-1 \\ 1.5k + b = 0 \end{cases}$
把$b=-1$代入$1.5k + b = 0$，解得$k=\frac{2}{3}$。
$k$的实际意义：每增加1万乘客，收支差额增加$\frac{2}{3}$万元；
$b$的实际意义：当乘客数量为0时，没有票价收入，此时亏损1万元，即该线路的基础运营成本为1万元。
(2) 乘客代表的意见是降低运营成本，对应一次函数与y轴的交点上移（x=0时的亏损额减小），斜率不变，对应图③；
客运行政代表的意见是不改变运营成本，提高票价，对应一次函数斜率增大，与y轴交点不变，对应图②。
(3) 先计算该线路一周的总乘客量：
$1.4+1.1+1.1+1.3+1.4+1.4+1.4=9.1$（万人）
分别计算三个方案的周总收支差额：
- 方案1：原人均票价为$\frac{2}{3}$元，收支差额$y_1=\frac{2}{3}×9.1 - 0.8\approx5.27$（万元）
- 方案2：收支差额$y_2=0.8×9.1 - 1=6.28$（万元）
- 方案3：收支差额$y_3=0.75×9.1 - 0.9=5.925$（万元）
对比得$y_2＞y_3＞y_1$，方案2的总收益最高，更利于扭亏。
【答案】
(1) $k=\frac{2}{3}$，$b=-1$；$k$表示每增加1万乘客，收支差额增加$\frac{2}{3}$万元，$b$表示乘客数量为0时，运营成本为1万元，此时亏损1万元；
(2) 图③；图②；
(3) 方案2更有利于扭转亏损，该方案一周总收支差额最高，盈利最多。
【知识点】
一次函数实际应用
一次函数图像性质
数据分析计算
【点评】
本题结合客运线路扭亏的实际场景考查一次函数的应用，既考查了待定系数法求函数解析式、结合图像理解参数的实际意义，又通过多方案对比计算强化了用函数模型解决实际决策问题的能力，贴合生活，难度梯度设置合理。
【难度系数】
0.6
