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二、填空题
11.截至2024年6月6日，中国信息通信研究院测算，5G(第五代移动通信技术)商用五年来，直接带动经济总产出约5.6万亿元。其中数据5.6万亿用科学记数法表示为。
11.截至2024年6月6日，中国信息通信研究院测算，5G(第五代移动通信技术)商用五年来，直接带动经济总产出约5.6万亿元。其中数据5.6万亿用科学记数法表示为。
答案
$\boldsymbol{5.6×10^{12}}$
解析
解：
5.6万亿 = 5600000000000 = $5.6×10^{12}$
5.6万亿 = 5600000000000 = $5.6×10^{12}$
12.若$x^2 - (m - 1)x + 16$是一个完全平方式，则$m$的值为。
答案
解：
∵ $x^2 - (m - 1)x + 16$ 是完全平方式，符合 $a^2\pm2ab+b^2$ 的结构，
其中 $a=x$，$b^2=16$，即 $b=4$，
∴ 一次项系数满足：$-(m-1)=\pm 2× x × 4 ÷ x = \pm8$。
分两种情况计算：
1. 当 $-(m-1)=8$ 时：
$-m+1=8$，解得 $m=-7$；
2. 当 $-(m-1)=-8$ 时：
$-m+1=-8$，解得 $m=9$。
综上，$m$ 的值为 $\boldsymbol{9}$ 或 $\boldsymbol{-7}$。
∵ $x^2 - (m - 1)x + 16$ 是完全平方式，符合 $a^2\pm2ab+b^2$ 的结构，
其中 $a=x$，$b^2=16$，即 $b=4$，
∴ 一次项系数满足：$-(m-1)=\pm 2× x × 4 ÷ x = \pm8$。
分两种情况计算：
1. 当 $-(m-1)=8$ 时：
$-m+1=8$，解得 $m=-7$；
2. 当 $-(m-1)=-8$ 时：
$-m+1=-8$，解得 $m=9$。
综上，$m$ 的值为 $\boldsymbol{9}$ 或 $\boldsymbol{-7}$。
13.若一个等腰三角形的两边长分别为5 cm和9 cm，则它的周长为 cm。
答案
解：分两种情况讨论：
① 当等腰三角形的腰长为5 cm时，三边长分别为5 cm，5 cm，9 cm。
由5+5＞9，满足三角形三边关系，此时周长为5+5+9=19 cm；
② 当等腰三角形的腰长为9 cm时，三边长分别为9 cm，9 cm，5 cm。
由5+9＞9，满足三角形三边关系，此时周长为9+9+5=23 cm。
综上，它的周长为19或23 cm。
① 当等腰三角形的腰长为5 cm时，三边长分别为5 cm，5 cm，9 cm。
由5+5＞9，满足三角形三边关系，此时周长为5+5+9=19 cm；
② 当等腰三角形的腰长为9 cm时，三边长分别为9 cm，9 cm，5 cm。
由5+9＞9，满足三角形三边关系，此时周长为9+9+5=23 cm。
综上，它的周长为19或23 cm。
14.若一个角的余角比这个角的补角的一半小$40°$，则这个角的度数为°。
答案
$\boldsymbol{80}$
解析
解：设这个角的度数为$ x° $，
则它的余角为$ (90 - x)° $，它的补角为$ (180 - x)° $。
根据题意列方程：
$\frac{1}{2}(180 - x) - (90 - x) = 40$
去括号得：
$90 - \frac{1}{2}x - 90 + x = 40$
合并同类项得：
$\frac{1}{2}x = 40$
解得：
$x = 80$
则它的余角为$ (90 - x)° $，它的补角为$ (180 - x)° $。
根据题意列方程：
$\frac{1}{2}(180 - x) - (90 - x) = 40$
去括号得：
$90 - \frac{1}{2}x - 90 + x = 40$
合并同类项得：
$\frac{1}{2}x = 40$
解得：
$x = 80$
15. 在$△ ABC$中，$AB=6$，$AC=a$，$BC$边上的中线$AD=4$，则$a$的取值范围是。
答案
解：
延长AD至点E，使DE=AD=4，连接BE。
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
在△ADC和△EDB中，
$\{\begin{array}{l}AD=ED \\∠ADC=∠EDB \\CD=BD\end{array} $
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE=AC=a。
∵AE=AD+DE=8，
在△ABE中，由三角形三边关系得：
$AE - AB ＜ BE ＜ AE + AB$
即$8 - 6 ＜ a ＜ 8 + 6$，
∴$2 ＜ a ＜ 14$。
延长AD至点E，使DE=AD=4，连接BE。
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
在△ADC和△EDB中，
$\{\begin{array}{l}AD=ED \\∠ADC=∠EDB \\CD=BD\end{array} $
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE=AC=a。
∵AE=AD+DE=8，
在△ABE中，由三角形三边关系得：
$AE - AB ＜ BE ＜ AE + AB$
即$8 - 6 ＜ a ＜ 8 + 6$，
∴$2 ＜ a ＜ 14$。
16.如图,三角形纸片中,AB=12 cm,AC=9 cm,BC=16 cm。沿过点C的直线折叠这个三角形,使点A落在BC边上的点E处,折痕为CD,则△DBE的周长是 cm。
答案
$\boldsymbol{19}$
解析
解：
由折叠的性质可得：$AD=DE$，$AC=CE$。
$\because AC=9\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CE=9\ \mathrm{cm}$。
$\because BC=16\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BE=BC-CE=16-9=7\ \mathrm{cm}$。
$△ DBE$的周长$=BD+DE+BE=BD+AD+BE=AB+BE$。
$\because AB=12\ \mathrm{cm}$，
$\therefore △ DBE$的周长$=12+7=19\ \mathrm{cm}$。
由折叠的性质可得：$AD=DE$，$AC=CE$。
$\because AC=9\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CE=9\ \mathrm{cm}$。
$\because BC=16\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BE=BC-CE=16-9=7\ \mathrm{cm}$。
$△ DBE$的周长$=BD+DE+BE=BD+AD+BE=AB+BE$。
$\because AB=12\ \mathrm{cm}$，
$\therefore △ DBE$的周长$=12+7=19\ \mathrm{cm}$。
17.如图,在四边形$ABCD$中,$AB// CD$,$E$是$BD$中点,$AC⊥ CD$,$∠ BAE=135°$。若$CD=10$,$AB=4$,则$△ ACD$的面积为。
答案
$\boldsymbol{30}$
解析
解：延长AE交CD于点F。
∵ AB//CD，
∴ ∠ABE = ∠FDE，
∵ E是BD中点，
∴ BE = DE，
在△ABE和△FDE中：
$\{\begin{array}{l}∠ABE = ∠FDE \\BE = DE \\∠AEB = ∠FED\end{array} $
∴ △ABE ≅ △FDE (ASA)，
∴ AB = DF = 4，
∵ CD = 10，
∴ CF = CD - DF = 10 - 4 = 6，
∵ AB//CD，
∴ ∠BAE + ∠AFC = 180°，
∵ ∠BAE = 135°，
∴ ∠AFC = 180° - 135° = 45°，
又∵ AC⊥CD，即∠ACF = 90°，
∴ △ACF是等腰直角三角形，AC = CF = 6，
∴ $S_{△ ACD} = \frac{1}{2} × CD × AC = \frac{1}{2} × 10 × 6 = 30$。
∵ AB//CD，
∴ ∠ABE = ∠FDE，
∵ E是BD中点，
∴ BE = DE，
在△ABE和△FDE中：
$\{\begin{array}{l}∠ABE = ∠FDE \\BE = DE \\∠AEB = ∠FED\end{array} $
∴ △ABE ≅ △FDE (ASA)，
∴ AB = DF = 4，
∵ CD = 10，
∴ CF = CD - DF = 10 - 4 = 6，
∵ AB//CD，
∴ ∠BAE + ∠AFC = 180°，
∵ ∠BAE = 135°，
∴ ∠AFC = 180° - 135° = 45°，
又∵ AC⊥CD，即∠ACF = 90°，
∴ △ACF是等腰直角三角形，AC = CF = 6，
∴ $S_{△ ACD} = \frac{1}{2} × CD × AC = \frac{1}{2} × 10 × 6 = 30$。
18. 如图，$AG// DF$，将一副直角三角板按如图所示摆放，$∠ EDF=30°$，$∠ BAC=45°$，下列四个结论：①$AB// EF$；②$∠ AED=60°$；③$∠ CAE=∠ AEF - 135°$；④若$∠ AED=\dfrac{5}{3}∠ GAE$，则$∠ BAE=15°$。其中正确的是________。
答案
解：
1. 证明①：过点E作$EH// AG$，
因为$AG// DF$，所以$EH// AG// DF$，
所以$∠ HEF + ∠ DFE=180°$，
已知$∠ DFE=60°$，得$∠ HEF=120°$，
又$∠ DEF=90°$，所以$∠ HED=∠ HEF - ∠ DEF=30°$。
由$AG// EH$得$∠ GAE=∠ AEH$，
又$∠ BAC=45°$，$∠ GAF=∠ AFD=60°$，可得$∠ BAE + ∠ AEF=180°$，根据同旁内角互补，两直线平行，得$AB// EF$，①正确。
2. 证明②：由$EH// DF$得$∠ HED=∠ EDF=30°$，
$∠ AEH=∠ GAE=30°$，
所以$∠ AED=∠ AEH + ∠ HED=30°+30°=60°$，②正确。
3. 证明③：由$AB// EF$得$∠ BAE + ∠ AEF=180°$，
又$∠ BAE=∠ BAC + ∠ CAE=45°+∠ CAE$，
代入得$45°+∠ CAE + ∠ AEF=180°$，
整理得$∠ CAE=∠ AEF - 135°$，③正确。
4. 证明④：已知$∠ AED=\frac{5}{3}∠ GAE$，且由$EH// AG// DF$得$∠ AED=∠ GAE + 30°$，
代入得$\frac{5}{3}∠ GAE=∠ GAE + 30°$，
解得$∠ GAE=45°$，
又$∠ AEF=∠ AEH + ∠ HEF=∠ GAE + 120°=165°$，
由$AB// EF$得$∠ BAE=180°-∠ AEF=15°$，④正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{①②③④}$。
1. 证明①：过点E作$EH// AG$，
因为$AG// DF$，所以$EH// AG// DF$，
所以$∠ HEF + ∠ DFE=180°$，
已知$∠ DFE=60°$，得$∠ HEF=120°$，
又$∠ DEF=90°$，所以$∠ HED=∠ HEF - ∠ DEF=30°$。
由$AG// EH$得$∠ GAE=∠ AEH$，
又$∠ BAC=45°$，$∠ GAF=∠ AFD=60°$，可得$∠ BAE + ∠ AEF=180°$，根据同旁内角互补，两直线平行，得$AB// EF$，①正确。
2. 证明②：由$EH// DF$得$∠ HED=∠ EDF=30°$，
$∠ AEH=∠ GAE=30°$，
所以$∠ AED=∠ AEH + ∠ HED=30°+30°=60°$，②正确。
3. 证明③：由$AB// EF$得$∠ BAE + ∠ AEF=180°$，
又$∠ BAE=∠ BAC + ∠ CAE=45°+∠ CAE$，
代入得$45°+∠ CAE + ∠ AEF=180°$，
整理得$∠ CAE=∠ AEF - 135°$，③正确。
4. 证明④：已知$∠ AED=\frac{5}{3}∠ GAE$，且由$EH// AG// DF$得$∠ AED=∠ GAE + 30°$，
代入得$\frac{5}{3}∠ GAE=∠ GAE + 30°$，
解得$∠ GAE=45°$，
又$∠ AEF=∠ AEH + ∠ HEF=∠ GAE + 120°=165°$，
由$AB// EF$得$∠ BAE=180°-∠ AEF=15°$，④正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{①②③④}$。
19.如图为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，已知$△ ABC$的三个顶点均在格点上。按要求画图：
(1)画出$△ ABC$的边BC上的高线AD和中线AE；
(2)若AB的长为13，点M在$△ ABC$的边AB上，直接写出线段CM的最小值。
(1)画出$△ ABC$的边BC上的高线AD和中线AE；
(2)若AB的长为13，点M在$△ ABC$的边AB上，直接写出线段CM的最小值。
答案
解：
(1) ① 取格点连线得到BC的中点E，连接AE，AE即为△ABC边BC上的中线；
② 过点A作AD垂直于直线BC，垂足为D，AD即为△ABC边BC上的高线。
（作图符合网格特征即可）
(2) 根据垂线段最短的性质，当$CM⊥ AB$时，线段CM取得最小值。
由网格可得$BC=7$，BC边上的高为5，
因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC × 5=\frac{1}{2}×7×5=\frac{35}{2}$。
又$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × CM$，且$AB=13$，代入得：
$\frac{1}{2}×13× CM=\frac{35}{2}$
解得$CM=\frac{35}{13}$。
线段CM的最小值为$\frac{35}{13}$。
(1) ① 取格点连线得到BC的中点E，连接AE，AE即为△ABC边BC上的中线；
② 过点A作AD垂直于直线BC，垂足为D，AD即为△ABC边BC上的高线。
（作图符合网格特征即可）
(2) 根据垂线段最短的性质，当$CM⊥ AB$时，线段CM取得最小值。
由网格可得$BC=7$，BC边上的高为5，
因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC × 5=\frac{1}{2}×7×5=\frac{35}{2}$。
又$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × CM$，且$AB=13$，代入得：
$\frac{1}{2}×13× CM=\frac{35}{2}$
解得$CM=\frac{35}{13}$。
线段CM的最小值为$\frac{35}{13}$。
