登录
8 在一次会议上,每两个参加会议的人都互相握手1次,有人统计一共握了66次手,则这次参加会议的有
12
个人.答案
8. 12
解析
【分析】
这是一道典型的握手问题，解题思路是：明确每两人握手1次不重复，总握手次数等价于从参会人数中选2人的组合数；设参会人数为未知数，根据组合数公式结合总握手次数列一元二次方程，解方程后根据实际意义舍去不合理的负数解，即可得到答案。
【解析】
设这次参加会议的有$ x $个人。
因为每两人握手1次且不重复，所以总握手次数为从$ x $人中选2人的组合数，即$\frac{x(x-1)}{2}$。
根据题意列方程：
$\frac{x(x-1)}{2}=66$
整理得：
$x^2 - x - 132 = 0$
因式分解得：
$(x - 12)(x + 11) = 0$
解得$x_1=12$，$x_2=-11$（人数不能为负数，舍去）。
所以参加会议的人数为12人。
【答案】
12
【知识点】
一元二次方程的应用、握手问题
【点评】
本题是一元二次方程在实际生活中的典型应用，核心是理解握手问题的计数逻辑（避免重复计算），解题关键在于正确列出方程并根据实际意义取舍解，属于基础应用题。
【难度系数】
0.6
这是一道典型的握手问题，解题思路是：明确每两人握手1次不重复，总握手次数等价于从参会人数中选2人的组合数；设参会人数为未知数，根据组合数公式结合总握手次数列一元二次方程，解方程后根据实际意义舍去不合理的负数解，即可得到答案。
【解析】
设这次参加会议的有$ x $个人。
因为每两人握手1次且不重复，所以总握手次数为从$ x $人中选2人的组合数，即$\frac{x(x-1)}{2}$。
根据题意列方程：
$\frac{x(x-1)}{2}=66$
整理得：
$x^2 - x - 132 = 0$
因式分解得：
$(x - 12)(x + 11) = 0$
解得$x_1=12$，$x_2=-11$（人数不能为负数，舍去）。
所以参加会议的人数为12人。
【答案】
12
【知识点】
一元二次方程的应用、握手问题
【点评】
本题是一元二次方程在实际生活中的典型应用，核心是理解握手问题的计数逻辑（避免重复计算），解题关键在于正确列出方程并根据实际意义取舍解，属于基础应用题。
【难度系数】
0.6
9 同一平面内的$n$条直线两两相交,最多有28个交点,则$n$的值为
8
.答案
9. 8
解析
【分析】首先明确同一平面内n条直线两两相交时，最多交点的情况是任意两条直线都不经过同一点，此时每两条直线确定唯一交点，总交点数可通过等差数列求和推导：1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2。题目给出最多有28个交点，将交点数代入公式建立关于n的方程，求解正整数解即可得到n的值。
【解析】解：同一平面内n条直线两两相交，最多交点数为$\frac{n(n-1)}{2}$。根据题意得：
$\frac{n(n-1)}{2}=28$
整理得：$n^2 -n -56=0$
因式分解得：$(n-8)(n+7)=0$
解得$n=8$或$n=-7$（直线数量为正，舍去负根）
故n的值为8。
【答案】8
【知识点】平面内直线相交的交点规律、一元二次方程的应用
【点评】本题考查平面内直线相交的交点规律及一元二次方程的应用，核心是掌握n条直线两两相交最多交点数的推导公式，难度适中，属于基础题型。
【难度系数】0.5
【解析】解：同一平面内n条直线两两相交，最多交点数为$\frac{n(n-1)}{2}$。根据题意得：
$\frac{n(n-1)}{2}=28$
整理得：$n^2 -n -56=0$
因式分解得：$(n-8)(n+7)=0$
解得$n=8$或$n=-7$（直线数量为正，舍去负根）
故n的值为8。
【答案】8
【知识点】平面内直线相交的交点规律、一元二次方程的应用
【点评】本题考查平面内直线相交的交点规律及一元二次方程的应用，核心是掌握n条直线两两相交最多交点数的推导公式，难度适中，属于基础题型。
【难度系数】0.5
10 A 国和 B 国两个国家的代表团举行一次双边会谈,在会谈前双方成员分别与对方成员一一握手,共握手 88 次. 已知 A 国代表团成员比 B 国代表团成员少 3 人,则 A,B 两国代表团各有多少人?
答案
10. 设 A 国代表团有$x$人,则 B 国代表团有$(x+3)$人.由题意,得$x(x+3)=88$,解得$x_1=8$,$x_2=-11$(不合题意,舍去).$\therefore x+3=11$.$\therefore$ A 国代表团有 8 人,B 国代表团有 11 人
解析
【分析】首先明确：A国成员与B国成员一一握手，总握手次数等于A国人数乘以B国人数。已知A国比B国少3人，设A国人数为x，则B国人数为x+3，根据总握手次数88次，可列一元二次方程，解方程后舍去不符合实际意义的负数解，即可得到两国代表团人数。
【解析】设A国代表团有$x$人，则B国代表团有$(x+3)$人。根据题意，A国每人与B国每人握手1次，总握手次数为$x(x+3)$，因此列方程：
$x(x+3)=88$
整理得：$x^2 + 3x - 88 = 0$
因式分解得：$(x+11)(x-8)=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=-11$（人数不能为负数，舍去）
则B国代表团人数为$x+3=8+3=11$（人）
【答案】A国代表团有8人，B国代表团有11人
【知识点】一元二次方程的应用，握手问题
【点评】本题是一元二次方程在实际生活中的典型应用，核心是理解“一一握手”的总次数计算方式，即双方人数的乘积，解题时需注意舍去不符合实际意义的负根，整体难度不大，侧重基础应用能力的考查。
【难度系数】0.6
【解析】设A国代表团有$x$人，则B国代表团有$(x+3)$人。根据题意，A国每人与B国每人握手1次，总握手次数为$x(x+3)$，因此列方程：
$x(x+3)=88$
整理得：$x^2 + 3x - 88 = 0$
因式分解得：$(x+11)(x-8)=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=-11$（人数不能为负数，舍去）
则B国代表团人数为$x+3=8+3=11$（人）
【答案】A国代表团有8人，B国代表团有11人
【知识点】一元二次方程的应用，握手问题
【点评】本题是一元二次方程在实际生活中的典型应用，核心是理解“一一握手”的总次数计算方式，即双方人数的乘积，解题时需注意舍去不符合实际意义的负根，整体难度不大，侧重基础应用能力的考查。
【难度系数】0.6
11 在一次聚会上,规定每两个人见面必须握手,且只握手1次.
(1) 若参加聚会的人数为 3,则共握手
(2) 若参加聚会的人数为 $n$($n$ 为正整数),则共握手
(3) 若参加聚会的人共握手 45 次,求参加聚会的人数.
(4)【拓展应用】嘉嘉给琪琪出题:若在$∠ AOB$ 的内部由顶点 $O$ 引出 $m$ 条射线(不含 $OA$,$OB$边),角的总数为 20 个,求 $m$ 的值.琪琪的思考:在这个问题上,角的总数不可能为 20 个.琪琪的思考对吗?为什么?
(1) 若参加聚会的人数为 3,则共握手
3
次.(2) 若参加聚会的人数为 $n$($n$ 为正整数),则共握手
$\dfrac{1}{2}n(n-1)$
次.(3) 若参加聚会的人共握手 45 次,求参加聚会的人数.
(4)【拓展应用】嘉嘉给琪琪出题:若在$∠ AOB$ 的内部由顶点 $O$ 引出 $m$ 条射线(不含 $OA$,$OB$边),角的总数为 20 个,求 $m$ 的值.琪琪的思考:在这个问题上,角的总数不可能为 20 个.琪琪的思考对吗?为什么?
答案
11. (1) 3 (2) $\dfrac{1}{2}n(n-1)$ (3) 设参加聚会的人数为$x$.由(2),得$\dfrac{1}{2}x(x-1)=45$,解得$x_1=10$,$x_2=-9$(不合题意,舍去).$\therefore$参加聚会的人数为 10 (4) 琪琪的思考是对的 若在$∠ AOB$的内部由顶点$O$引出1条射线,角的总数为$\dfrac{1}{2}×(1+2)×(1+2-1)=3$(个);若在$∠ AOB$的内部由顶点$O$引出2条射线,角的总数为$\dfrac{1}{2}×(2+2)×(2+2-1)=6$(个);若在$∠ AOB$的内部由顶点$O$引出3条射线,角的总数为$\dfrac{1}{2}×(3+2)×(3+2-1)=10$(个)……归纳类推,得若在$∠ AOB$的内部由顶点$O$引出$m$条射线,角的总数为$\dfrac{1}{2}(m+2)(m+2-1)$个.令$\dfrac{1}{2}(m+2)(m+2-1)=20$,即$m^2+3m-38=0$,解得$m_1=\dfrac{-3+\sqrt{161}}{2}$,$m_2=\dfrac{-3-\sqrt{161}}{2}$(均不是正整数,不符合题意,均舍去).$\therefore$在这个问题上,角的总数不可能为 20 个,琪琪的思考是对的
解析
【分析】
本题围绕握手问题和角的计数问题展开，核心是利用组合计数规律（每两人握手1次、每两条射线组成1个角，无重复），结合一元二次方程求解。解题思路：①先通过具体人数推导握手次数公式，再代入计算；②握手次数为45次时，列一元二次方程求解并舍去不符合实际的负数解；③拓展的角问题，先推导引出m条射线后的角总数公式，再令其等于20，判断方程解是否为正整数，确定琪琪的思考是否正确。
【解析】
(1) 当参加聚会人数为3时，握手次数为从3人中选2人的组合数：$\frac{1}{2}×3×(3-1)=3$（次）；
(2) 参加聚会人数为n时，总握手次数为从n人中选2人的组合数，即$\frac{1}{2}n(n-1)$次；
(3) 设参加聚会的人数为$x$，由(2)的结论得：$\frac{1}{2}x(x-1)=45$，整理为一元二次方程：$x^2 -x -90=0$，解得$x_1=10$，$x_2=-9$。因人数不能为负数，舍去$x=-9$，故参加聚会的人数为10；
(4) 琪琪的思考是对的，理由：在∠AOB内部引出m条射线后，总射线数为$(m+2)$条（含OA、OB），角的总数为从$(m+2)$条射线中选2条的组合数，即$\frac{1}{2}(m+2)(m+1)$个。令$\frac{1}{2}(m+2)(m+1)=20$，整理得$m^2+3m-38=0$，计算判别式$\Delta=3^2-4×1×(-38)=161$，解得$m=\frac{-3±\sqrt{161}}{2}$，均不是正整数，不符合射线数量为正整数的实际意义，因此角的总数不可能为20个。
【答案】
(1) 3；(2) $\frac{1}{2}n(n-1)$；(3) 10；(4) 琪琪的思考是对的，理由：若在∠AOB内部引出m条射线，角的总数为$\frac{1}{2}(m+2)(m+1)$，令其等于20，解得的m值均不是正整数，不符合题意，故角的总数不可能为20个。
【知识点】
一元二次方程的应用、组合计数规律
【点评】
本题是规律探究与一元二次方程应用的综合题，握手问题和角的计数均为组合计数的典型场景，要求学生能从具体实例归纳一般规律，解方程时需结合实际意义舍去不合理的解，拓展部分需推导角总数公式并判断解的合理性，考查逻辑推理与应用能力。
【难度系数】
0.5
本题围绕握手问题和角的计数问题展开，核心是利用组合计数规律（每两人握手1次、每两条射线组成1个角，无重复），结合一元二次方程求解。解题思路：①先通过具体人数推导握手次数公式，再代入计算；②握手次数为45次时，列一元二次方程求解并舍去不符合实际的负数解；③拓展的角问题，先推导引出m条射线后的角总数公式，再令其等于20，判断方程解是否为正整数，确定琪琪的思考是否正确。
【解析】
(1) 当参加聚会人数为3时，握手次数为从3人中选2人的组合数：$\frac{1}{2}×3×(3-1)=3$（次）；
(2) 参加聚会人数为n时，总握手次数为从n人中选2人的组合数，即$\frac{1}{2}n(n-1)$次；
(3) 设参加聚会的人数为$x$，由(2)的结论得：$\frac{1}{2}x(x-1)=45$，整理为一元二次方程：$x^2 -x -90=0$，解得$x_1=10$，$x_2=-9$。因人数不能为负数，舍去$x=-9$，故参加聚会的人数为10；
(4) 琪琪的思考是对的，理由：在∠AOB内部引出m条射线后，总射线数为$(m+2)$条（含OA、OB），角的总数为从$(m+2)$条射线中选2条的组合数，即$\frac{1}{2}(m+2)(m+1)$个。令$\frac{1}{2}(m+2)(m+1)=20$，整理得$m^2+3m-38=0$，计算判别式$\Delta=3^2-4×1×(-38)=161$，解得$m=\frac{-3±\sqrt{161}}{2}$，均不是正整数，不符合射线数量为正整数的实际意义，因此角的总数不可能为20个。
【答案】
(1) 3；(2) $\frac{1}{2}n(n-1)$；(3) 10；(4) 琪琪的思考是对的，理由：若在∠AOB内部引出m条射线，角的总数为$\frac{1}{2}(m+2)(m+1)$，令其等于20，解得的m值均不是正整数，不符合题意，故角的总数不可能为20个。
【知识点】
一元二次方程的应用、组合计数规律
【点评】
本题是规律探究与一元二次方程应用的综合题，握手问题和角的计数均为组合计数的典型场景，要求学生能从具体实例归纳一般规律，解方程时需结合实际意义舍去不合理的解，拓展部分需推导角总数公式并判断解的合理性，考查逻辑推理与应用能力。
【难度系数】
0.5
