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1. 根据每组前几个算式中的规律填一填。
(1)$999×2=1998$
$999×3=2997$
$999×4=3996$
$999×5=(\quad\quad)$
$999×6=(\quad\quad)$
(2)$67×67=4489$
$667×667=444889$
$6667×6667=44448889$
$66667×66667=(\quad\quad)$
$666667×666667=(\quad\quad)$
(3)$123456789×9=1111111101$
$123456789×18=2222222202$
$123456789×(\quad\quad)=3333333303$
$123456789×(\quad\quad)=6666666606$
$(\quad\quad)×(\quad\quad)=$
$19999999818$
再用计算器检验一下吧！
(1)$999×2=1998$
$999×3=2997$
$999×4=3996$
$999×5=(\quad\quad)$
$999×6=(\quad\quad)$
(2)$67×67=4489$
$667×667=444889$
$6667×6667=44448889$
$66667×66667=(\quad\quad)$
$666667×666667=(\quad\quad)$
(3)$123456789×9=1111111101$
$123456789×18=2222222202$
$123456789×(\quad\quad)=3333333303$
$123456789×(\quad\quad)=6666666606$
$(\quad\quad)×(\quad\quad)=$
$19999999818$
再用计算器检验一下吧！
答案
1. (1)4995 5994
(2)444488889 44444888889
(3)27 54 123456789 162
(2)444488889 44444888889
(3)27 54 123456789 162
解析
【分析】
我们做这类算式找规律的题目，核心思路是先对比每组给出的已知算式，分别观察两个乘数的特征、积的各个数位的数字特征，区分出积里固定不变的部分、随乘数变化的部分，找到变化部分和乘数的对应关系后，就可以直接推导后续算式的结果：
1. 第一组：先看999乘2到4的积，对比乘数和积的每一位，找数位的对应关系；
2. 第二组：观察两个相同乘数里6的个数，和积里4、8的个数的对应关系；
3. 第三组：发现第一个乘数固定为123456789，第二个乘数都是9的倍数，积也对应是第一个算式积的相同倍数，用积的变化规律推导即可。
【解析】
我们分三组逐一推导规律计算：
(1) 观察已知算式：$999×2=1998$，$999×3=2997$，$999×4=3996$，可得规律：999乘一位数$n$（$n≥2$）时，积的首位是$n-1$，末位是$9×n$的个位数字，中间两位固定是99。
所以$999×5$：首位是$5-1=4$，末位是$9×5=45$的个位5，中间两位是99，结果为4995；
$999×6$：首位是$6-1=5$，末位是$9×6=54$的个位4，中间两位是99，结果为5994。
(2) 观察已知算式：$67×67=4489$，$667×667=444889$，$6667×6667=44448889$，可得规律：两个相同的乘数，末尾是7，前面有$k$个6时，乘积的前半部分是$(k+1)$个连续的4，中间部分是$k$个连续的8，最后一位固定是9。
66667前面有4个6，所以乘积是5个4，4个8，末尾是9，即444488889；
666667前面有5个6，所以乘积是6个4，5个8，末尾是9，即44444888889。
(3) 观察已知算式：$123456789×9=1111111101$，$123456789×18=2222222202$，可得规律：第一个乘数固定为123456789，第二个乘数是9的$k$倍时，乘积就是1111111101的$k$倍。
要得到积3333333303，是1111111101的3倍，所以第二个乘数是$9×3=27$；
要得到积6666666606，是1111111101的6倍，所以第二个乘数是$9×6=54$；
要得到积19999999818，是1111111101的18倍，所以第二个乘数是$9×18=162$，第一个乘数还是123456789。
【答案】
(1)4995 5994
(2)444488889 44444888889
(3)27 54 123456789 162
【知识点】
算式规律探究，积的变化规律
【点评】
本题是小学阶段典型的乘法算式规律探究题，不需要复杂的竖式硬算，只需要通过观察数位的数字特征归纳出对应规律就能快速得到结果，能够有效锻炼学生的数感和归纳推理能力，最后用计算器验证的要求也能帮学生养成验算的好习惯。
【难度系数】
0.8
我们做这类算式找规律的题目，核心思路是先对比每组给出的已知算式，分别观察两个乘数的特征、积的各个数位的数字特征，区分出积里固定不变的部分、随乘数变化的部分，找到变化部分和乘数的对应关系后，就可以直接推导后续算式的结果：
1. 第一组：先看999乘2到4的积，对比乘数和积的每一位，找数位的对应关系；
2. 第二组：观察两个相同乘数里6的个数，和积里4、8的个数的对应关系；
3. 第三组：发现第一个乘数固定为123456789，第二个乘数都是9的倍数，积也对应是第一个算式积的相同倍数，用积的变化规律推导即可。
【解析】
我们分三组逐一推导规律计算：
(1) 观察已知算式：$999×2=1998$，$999×3=2997$，$999×4=3996$，可得规律：999乘一位数$n$（$n≥2$）时，积的首位是$n-1$，末位是$9×n$的个位数字，中间两位固定是99。
所以$999×5$：首位是$5-1=4$，末位是$9×5=45$的个位5，中间两位是99，结果为4995；
$999×6$：首位是$6-1=5$，末位是$9×6=54$的个位4，中间两位是99，结果为5994。
(2) 观察已知算式：$67×67=4489$，$667×667=444889$，$6667×6667=44448889$，可得规律：两个相同的乘数，末尾是7，前面有$k$个6时，乘积的前半部分是$(k+1)$个连续的4，中间部分是$k$个连续的8，最后一位固定是9。
66667前面有4个6，所以乘积是5个4，4个8，末尾是9，即444488889；
666667前面有5个6，所以乘积是6个4，5个8，末尾是9，即44444888889。
(3) 观察已知算式：$123456789×9=1111111101$，$123456789×18=2222222202$，可得规律：第一个乘数固定为123456789，第二个乘数是9的$k$倍时，乘积就是1111111101的$k$倍。
要得到积3333333303，是1111111101的3倍，所以第二个乘数是$9×3=27$；
要得到积6666666606，是1111111101的6倍，所以第二个乘数是$9×6=54$；
要得到积19999999818，是1111111101的18倍，所以第二个乘数是$9×18=162$，第一个乘数还是123456789。
【答案】
(1)4995 5994
(2)444488889 44444888889
(3)27 54 123456789 162
【知识点】
算式规律探究，积的变化规律
【点评】
本题是小学阶段典型的乘法算式规律探究题，不需要复杂的竖式硬算，只需要通过观察数位的数字特征归纳出对应规律就能快速得到结果，能够有效锻炼学生的数感和归纳推理能力，最后用计算器验证的要求也能帮学生养成验算的好习惯。
【难度系数】
0.8
2. 下面是一张购物发票,请你用计算器算一算,把发票中的“金额”补充完整。
××商场购物发票
××商场购物发票
答案
2.
解析
【分析】
这道题的核心是利用“总金额=数量×单价”的关系分别算出每类商品的总价，再求和得到所有商品的合计总金额，最后对应发票的金额数位、人民币大写栏填写内容。首先第一步逐个计算三类商品的单独总价，第二步把三个总价相加得到总金额，第三步将各个金额对应千、百、十、元、角、分的数位填入，最后按照人民币大写的规范写出总金额的大写形式即可。
【解析】
1. 计算冰箱的金额：
冰箱数量为1台，单价2179元，总金额 = 数量×单价 = 1×2179 = 2179元，对应金额栏：千位填2，百位填1，十位填7，元位填9，角位填0，分位填0。
2. 计算A4纸的金额：
A4纸数量为138包，单价23元，总金额 = 138×23 = 3174元，对应金额栏：千位填3，百位填1，十位填7，元位填4，角位填0，分位填0。
3. 计算笔记本的金额：
笔记本数量为256本，单价2元，总金额 = 256×2 = 512元，对应金额栏：千位填0，百位填5，十位填1，元位填2，角位填0，分位填0。
4. 计算合计总金额：
三类商品总价相加：2179 + 3174 + 512 = 5865元，对应合计金额栏：千位填5，百位填8，十位填6，元位填5，角位填0，分位填0，人民币大写填写为伍仟捌佰陆拾伍元零角零分。
【答案】
【知识点】
总价与单价数量关系，人民币大写规范，整数乘法运算
【点评】
本题结合生活中常见的购物发票场景出题，将数学计算和生活实际应用结合，既考察了基础的乘加运算能力，也普及了发票填写、人民币大写的实用常识，计算难度低，需要学生细心核对数位，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
这道题的核心是利用“总金额=数量×单价”的关系分别算出每类商品的总价，再求和得到所有商品的合计总金额，最后对应发票的金额数位、人民币大写栏填写内容。首先第一步逐个计算三类商品的单独总价，第二步把三个总价相加得到总金额，第三步将各个金额对应千、百、十、元、角、分的数位填入，最后按照人民币大写的规范写出总金额的大写形式即可。
【解析】
1. 计算冰箱的金额：
冰箱数量为1台，单价2179元，总金额 = 数量×单价 = 1×2179 = 2179元，对应金额栏：千位填2，百位填1，十位填7，元位填9，角位填0，分位填0。
2. 计算A4纸的金额：
A4纸数量为138包，单价23元，总金额 = 138×23 = 3174元，对应金额栏：千位填3，百位填1，十位填7，元位填4，角位填0，分位填0。
3. 计算笔记本的金额：
笔记本数量为256本，单价2元，总金额 = 256×2 = 512元，对应金额栏：千位填0，百位填5，十位填1，元位填2，角位填0，分位填0。
4. 计算合计总金额：
三类商品总价相加：2179 + 3174 + 512 = 5865元，对应合计金额栏：千位填5，百位填8，十位填6，元位填5，角位填0，分位填0，人民币大写填写为伍仟捌佰陆拾伍元零角零分。
【答案】
【知识点】
总价与单价数量关系，人民币大写规范，整数乘法运算
【点评】
本题结合生活中常见的购物发票场景出题，将数学计算和生活实际应用结合，既考察了基础的乘加运算能力，也普及了发票填写、人民币大写的实用常识，计算难度低，需要学生细心核对数位，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
3. 三位数的黑洞数(又叫陷阱数)是495,你能找出四位数的黑洞数吗?
操作步骤:任意写一个四位数(1111、2222、…、9999除外),将四位数的数字重新组合,求出最大的四位数与最小的四位数的差(前提是相减完还是四位数),将得到的差重复这个过程,直至重复出现同一个数,这个数就是黑洞数。
操作步骤:任意写一个四位数(1111、2222、…、9999除外),将四位数的数字重新组合,求出最大的四位数与最小的四位数的差(前提是相减完还是四位数),将得到的差重复这个过程,直至重复出现同一个数,这个数就是黑洞数。
答案
3. 四位数的黑洞数是6174。
解析
【分析】
我们需要严格按照题目给出的操作规则推导结果：首先任选一个数字不全相同的四位数，接着把这个数的四个数位数字分别按从大到小排列得到最大四位数、按从小到大排列得到最小数（数位不足四位时按对应实际数值计算），求出二者的差，再对得到的差重复上述排序求差的操作，直到最终得到的数经过操作后仍然等于自身，这个不变的数就是四位数的黑洞数，顺着这个思路逐步演算就能得到答案。
【解析】
我们任选一个符合要求的四位数（以1234为例），按步骤逐步操作：
1. 第一次操作：数字1、2、3、4重排，得到最大数4321，最小数1234，计算差：4321 - 1234 = 3087；
2. 第二次操作：数字3、0、8、7重排，得到最大数8730，从小到大排列得到的最小数是0378即378，计算差：8730 - 378 = 8352；
3. 第三次操作：数字8、3、5、2重排，得到最大数8532，最小数2358，计算差：8532 - 2358 = 6174；
4. 第四次操作：数字6、1、7、4重排，得到最大数7641，最小数1467，计算差：7641 - 1467 = 6174。
此时操作后得到的数和原数完全相等，且任意数字不全相同的四位数重复上述操作，最终都会得到6174，因此四位数的黑洞数为6174。
【答案】
四位数的黑洞数是6174。
【知识点】
数字重组运算，黑洞数定义，多位数减法
【点评】
本题是趣味数学探究题，没有复杂的公式推导，只需要按照给定规则逐步演算即可得到结果，能让学生体会数学的奇妙趣味性，同时锻炼自主探究和细心运算的能力。
【难度系数】
0.7
我们需要严格按照题目给出的操作规则推导结果：首先任选一个数字不全相同的四位数，接着把这个数的四个数位数字分别按从大到小排列得到最大四位数、按从小到大排列得到最小数（数位不足四位时按对应实际数值计算），求出二者的差，再对得到的差重复上述排序求差的操作，直到最终得到的数经过操作后仍然等于自身，这个不变的数就是四位数的黑洞数，顺着这个思路逐步演算就能得到答案。
【解析】
我们任选一个符合要求的四位数（以1234为例），按步骤逐步操作：
1. 第一次操作：数字1、2、3、4重排，得到最大数4321，最小数1234，计算差：4321 - 1234 = 3087；
2. 第二次操作：数字3、0、8、7重排，得到最大数8730，从小到大排列得到的最小数是0378即378，计算差：8730 - 378 = 8352；
3. 第三次操作：数字8、3、5、2重排，得到最大数8532，最小数2358，计算差：8532 - 2358 = 6174；
4. 第四次操作：数字6、1、7、4重排，得到最大数7641，最小数1467，计算差：7641 - 1467 = 6174。
此时操作后得到的数和原数完全相等，且任意数字不全相同的四位数重复上述操作，最终都会得到6174，因此四位数的黑洞数为6174。
【答案】
四位数的黑洞数是6174。
【知识点】
数字重组运算，黑洞数定义，多位数减法
【点评】
本题是趣味数学探究题，没有复杂的公式推导，只需要按照给定规则逐步演算即可得到结果，能让学生体会数学的奇妙趣味性，同时锻炼自主探究和细心运算的能力。
【难度系数】
0.7
4. 当当的计算器上数字键“4”坏了。你能用这个计算器算出下面两题的得数吗?(请用算式说明)
(1)$490×16$ (2)$8865÷45$
(1)$490×16$ (2)$8865÷45$
答案
4. 答案不唯一,如:(1)$70×7×16=7840$
(2)$8865÷9÷5=197$
(2)$8865÷9÷5=197$
解析
【分析】
这道题的核心限制是计算器数字键“4”损坏，因此所有输入的数字都不能包含“4”，无法直接输入原式里的490和45。解题思路是利用乘除法的运算性质，把原式中带数字“4”的数，等价改写为多个完全不含数字“4”的数的乘除组合，保证运算结果和原式完全相等，全程不需要用到数字键“4”就能算出结果：第一题的490可以拆成两个不含4的数相乘，第二题的除数45可以拆成两个不含4的数的乘积，再利用除法性质转化为连除即可。
【解析】
(1) 原式中的乘数490包含数字4，无法直接输入，将490等价变形为不含数字4的乘积：490=70×7，代入原式计算：
$70×7×16$
$=490×16$
$=7840$
全程输入的数字70、7、16都不含4，不需要按数字键4即可得到正确结果。
(2) 原式中的除数45包含数字4，无法直接输入，根据除法的运算性质：一个数除以两个数的积，等于这个数连续除以这两个数，将45等价拆分为不含数字4的乘积：45=9×5，代入原式计算：
$8865÷9÷5$
$=985÷5$
$=197$
全程输入的数字8865、9、5都不含4，不需要按数字键4即可得到正确结果。
【答案】
本题答案不唯一，示例：(1)$70×7×16=7840$ (2)$8865÷9÷5=197$
【知识点】
乘除法运算性质，数的等价拆分
【点评】
本题属于趣味运算类题目，跳出了直接输入算式计算的固化思维，重点考察学生对乘除法运算性质的灵活掌握，只要拆分后的运算全程不涉及数字4、结果和原式相等，都是正确的，解法非常多样。
【难度系数】
0.7
这道题的核心限制是计算器数字键“4”损坏，因此所有输入的数字都不能包含“4”，无法直接输入原式里的490和45。解题思路是利用乘除法的运算性质，把原式中带数字“4”的数，等价改写为多个完全不含数字“4”的数的乘除组合，保证运算结果和原式完全相等，全程不需要用到数字键“4”就能算出结果：第一题的490可以拆成两个不含4的数相乘，第二题的除数45可以拆成两个不含4的数的乘积，再利用除法性质转化为连除即可。
【解析】
(1) 原式中的乘数490包含数字4，无法直接输入，将490等价变形为不含数字4的乘积：490=70×7，代入原式计算：
$70×7×16$
$=490×16$
$=7840$
全程输入的数字70、7、16都不含4，不需要按数字键4即可得到正确结果。
(2) 原式中的除数45包含数字4，无法直接输入，根据除法的运算性质：一个数除以两个数的积，等于这个数连续除以这两个数，将45等价拆分为不含数字4的乘积：45=9×5，代入原式计算：
$8865÷9÷5$
$=985÷5$
$=197$
全程输入的数字8865、9、5都不含4，不需要按数字键4即可得到正确结果。
【答案】
本题答案不唯一，示例：(1)$70×7×16=7840$ (2)$8865÷9÷5=197$
【知识点】
乘除法运算性质，数的等价拆分
【点评】
本题属于趣味运算类题目，跳出了直接输入算式计算的固化思维，重点考察学生对乘除法运算性质的灵活掌握，只要拆分后的运算全程不涉及数字4、结果和原式相等，都是正确的，解法非常多样。
【难度系数】
0.7
