【变式3】(1)已知函数 $y=a^x(a＞0,且a≠1)$ 与函数 $y=(\dfrac{1}{b})^x(b＞0,且b≠1)$ 的图象如图所示，则（）

A.$a＞b＞1$
B.$a＞1＞b＞0$
C.$b＞1＞a＞0$
D.$b＞a＞1$
(2)设函数 $f(x)=4^x -ax -1,a$ 为实数，则 $y=f(x)$ 的图象所过定点的坐标为.

(1)A (2)(0,0) (1)由函数的图象,知 $a＞1$,$0＜\dfrac{1}{b}＜1$,所以 $b＞1$.
因为函数 $y=(\dfrac{1}{b})^x$ 的图象与函数 $y=b^x$ 的图象关于 $y$ 轴对称,所以 $y=b^x$ 的图象如图所示.
由图象,知 $a^1＞b^1$,则 $a＞b＞1$.
(2)令 $x=0$ 可得,$f(0)=0$,
所以 $y=f(x)$ 的图象所过定点的坐标为$(0,0)$.

【典例4】已知$a=3^{0.6},b=2^{-0.3},c=9^{0.4}$，则（）

A.$b＜c＜a$
B.$c＜a＜b$
C.$a＜b＜c$
D.$b＜a＜c$
解题指导 将$a,c$转化为同底数幂比较大小，并借助中间量“1”与$b$比较大小。
解析 根据指数函数的单调性，得$a=3^{0.6}＞3^0=1,b=2^{-0.3}＜2^0=1,c=9^{0.4}=3^{0.8}＞3^{0.6}$，所以$b＜a＜c$。
答案 D

D

先将c转化为以3为底的同底数幂：$c=9^{0.4}=(3^2)^{0.4}=3^{0.8}$。
根据指数函数$y=3^x$在R上单调递增，由$0.8＞0.6＞0$，可得$3^{0.8}＞3^{0.6}＞3^0=1$，即$c＞a＞1$。
再根据指数函数$y=2^x$在R上单调递增，由$-0.3＜0$，可得$b=2^{-0.3}＜2^0=1$，即$b＜1$。
综上可得$b＜a＜c$。

【变式4】（多选）下列不等式成立的是 （）

A.$(\dfrac{1}{2})^{-2.1} ＞ (\dfrac{1}{2})^{-1.3}$
B.$(\sqrt{2})^{3} ＞ (\sqrt{2})^{2\sqrt{2}}$
C.$2^{-\frac{1}{3}} ＜ 3^{-\frac{1}{3}}$
D.$(-1.2)^{3} ＜ (-0.8)^{3}$

ABD 因为 $y=(\dfrac{1}{2})^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上是减函数,且 $-2.1＜-1.3$,所以 $(\dfrac{1}{2})^{-2.1}＞(\dfrac{1}{2})^{-1.3}$,故 A 正确；
因为 $y=(\sqrt{2})^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上是增函数,且 $3＞2\sqrt{2}$,所以 $(\sqrt{2})^3＞(\sqrt{2})^{2\sqrt{2}}$,故 B 正确；
因为 $y=x^{-\frac{1}{3}}$ 在 $(0,+∞)$ 上是减函数,且 $2＜3$,所以 $2^{-\frac{1}{3}}＞3^{-\frac{1}{3}}$,故 C 错误;(或画出图象: 进行判断)
因为 $y=x^3$ 在 $\mathbf{R}$ 上是增函数,且 $-1.2＜-0.8$,所以 $(-1.2)^3＜(-0.8)^3$,故 D 正确.

【典例5】(1)解不等式$3^{3x-1}≤9$；
(2)已知$a^{x^2-3x+1}＜a^{x+6}(a＞0,且a≠1)$，求$x$的取值范围.
解题指导 (1)原不等式可以转化为$3^{3x-1}≤3^2$，再结合函数$y=3^x$的单调性求解.
(2)分$0＜a＜1$和$a＞1$两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解.
答案 解:(1)因为$9=3^2$，所以原不等式可以转化为$3^{3x-1}≤3^2$.
因为$y=3^x$是定义在$\mathbb{R}$上的增函数，
所以$3x-1≤2$，
解得$x≤1$，
故原不等式的解集是$\{x|x≤1\}$.
(2)分情况讨论:
①当$0＜a＜1$时，函数$f(x)=a^x$是定义在$\mathbb{R}$上的减函数，所以$x^2-3x+1＞x+6$，
即$x^2-4x-5＞0$，解得$x＜-1$或$x＞5$，
所以原不等式的解集是$\{x|x＜-1或x＞5\}$.
②当$a＞1$时，函数$f(x)=a^x$是定义在$\mathbb{R}$上的增函数，
所以$x^2-3x+1＜x+6$，
即$x^2-4x-5＜0$，解得$-1＜x＜5$，
所以原不等式的解集是$\{x|-1＜x＜5\}$.
综上所述，当$0＜a＜1$时，不等式的解集是$\{x|x＜-1或x＞5\}$；
当$a＞1$时，不等式的解集是$\{x|-1＜x＜5\}$.

解：
(1) 因为$9=3^2$，所以原不等式可转化为$3^{3x-1}≤ 3^2$。
因为函数$y=3^x$是定义在$\mathbb{R}$上的增函数，
所以$3x-1≤ 2$，
解得$x≤ 1$，
故原不等式的解集是$\{x∣ x≤ 1\}$。
(2) 分情况讨论：
① 当$0＜a＜1$时，函数$f(x)=a^x$是定义在$\mathbb{R}$上的减函数，
因此原不等式等价于$x^2-3x+1＞x+6$，
整理得$x^2-4x-5＞0$，解得$x＜-1$或$x＞5$，
此时不等式的解集为$\{x∣ x＜-1或x＞5\}$。
② 当$a＞1$时，函数$f(x)=a^x$是定义在$\mathbb{R}$上的增函数，
因此原不等式等价于$x^2-3x+1＜x+6$，
整理得$x^2-4x-5＜0$，解得$-1＜x＜5$，
此时不等式的解集为$\{x∣ -1＜x＜5\}$。
综上所述，当$0＜a＜1$时，$x$的取值范围是$\{x∣ x＜-1或x＞5\}$；当$a＞1$时，$x$的取值范围是$\{x∣ -1＜x＜5\}$。