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9.如图,在矩形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,CF平分∠ACD交AD于点F.
(1)求证:四边形AECF为平行四边形；
(2)当AB和BC满足什么数量关系时,四边形AECF为菱形?请直接写出结论.
(1)求证:四边形AECF为平行四边形；
(2)当AB和BC满足什么数量关系时,四边形AECF为菱形?请直接写出结论.
答案
9.(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AF//CE,∠BAC=∠DCA.
∵AE平分∠BAC,CF平分∠ACD,
∴∠EAC=∠FCA,
∴AE//CF.
∴四边形AECF为平行四边形.
(2)$BC=\sqrt{3}AB$.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AF//CE,∠BAC=∠DCA.
∵AE平分∠BAC,CF平分∠ACD,
∴∠EAC=∠FCA,
∴AE//CF.
∴四边形AECF为平行四边形.
(2)$BC=\sqrt{3}AB$.
10.称量五筐水果的质量,若每筐以50 kg为基准,超过基准部分的千克数记为正数,不足基准部分的千克数记为负数.甲组为实际称量读数,乙组为记录数据,并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图(单位:kg).
(1)补充完整乙组数据的折线统计图;
(2)①甲、乙两组数据的平均数分别为$\overline{x}_甲$,$\overline{x}_乙$,写出$\overline{x}_甲$与$\overline{x}_乙$之间的等量关系;
②甲、乙两组数据的方差分别为$s^2_甲$,$s^2_乙$,比较$s^2_甲$与$s^2_乙$的大小,并说明理由.
(1)补充完整乙组数据的折线统计图;
(2)①甲、乙两组数据的平均数分别为$\overline{x}_甲$,$\overline{x}_乙$,写出$\overline{x}_甲$与$\overline{x}_乙$之间的等量关系;
②甲、乙两组数据的方差分别为$s^2_甲$,$s^2_乙$,比较$s^2_甲$与$s^2_乙$的大小,并说明理由.
答案
10.解:(1)图略.
(2)①$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙+50$.
②$s^2_甲=s^2_乙$.理由如下:
∵$s^2_乙$
$=\frac{1}{5}[(-2-\overline{x}_乙)^2+(2-\overline{x}_乙)^2+(-3-\overline{x}_乙)^2+(-1-\overline{x}_乙)^2+(4-\overline{x}_乙)^2]=\frac{1}{5}[(48-50-\overline{x}_乙)^2+(52-50-\overline{x}_乙)^2+(47-50-\overline{x}_乙)^2+(49-50-\overline{x}_乙)^2+(54-50-\overline{x}_乙)^2]=\frac{1}{5}[(48-\overline{x}_甲)^2+(52-\overline{x}_甲)^2+(47-\overline{x}_甲)^2+(49-\overline{x}_甲)^2+(54-\overline{x}_甲)^2]=s^2_甲$,
∴$s^2_甲=s^2_乙$.
(2)①$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙+50$.
②$s^2_甲=s^2_乙$.理由如下:
∵$s^2_乙$
$=\frac{1}{5}[(-2-\overline{x}_乙)^2+(2-\overline{x}_乙)^2+(-3-\overline{x}_乙)^2+(-1-\overline{x}_乙)^2+(4-\overline{x}_乙)^2]=\frac{1}{5}[(48-50-\overline{x}_乙)^2+(52-50-\overline{x}_乙)^2+(47-50-\overline{x}_乙)^2+(49-50-\overline{x}_乙)^2+(54-50-\overline{x}_乙)^2]=\frac{1}{5}[(48-\overline{x}_甲)^2+(52-\overline{x}_甲)^2+(47-\overline{x}_甲)^2+(49-\overline{x}_甲)^2+(54-\overline{x}_甲)^2]=s^2_甲$,
∴$s^2_甲=s^2_乙$.
