综合与实践 图形在生活中的应用
【问题情景】生活中,我们所见到的地面、墙面、服装面料等,上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的。像这样用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片,就是平面图形的镶嵌。
【问题发现】如图①,在$□ ABCD$中,$AB=2$,$AD=3$,$∠ BAD=60°$,图②右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线$AD$方向平移而成,其中,平移的距离是。同理,再进行一次切割平移,可得图③,即图④可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成。我们可以用若干个图④所示的图形平面镶嵌成图⑤的图形,则图⑤的面积是。

【问题解决】小明家浴室装修,在墙中央留下了如图⑥所示的空白,经测量,可以按图⑦所示全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌。小明调查后发现:一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜40元;用500元购买正三角形瓷砖与用2500元购买正六边形瓷砖的数量相等。
①请问:两种瓷砖每块各多少元?
②小明对比两种瓷砖的价格后发现:用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少。按小明的想法,将空白处全部镶嵌完,购买瓷砖最少需要元。

1. 问题发现：平移的距离是$\boldsymbol{3}$；图⑤的面积是$\boldsymbol{18\sqrt{3}}$
2. 问题解决：
①正三角形瓷砖每块的价格为10元，正六边形瓷砖每块的价格为50元。
②购买瓷砖最少需要$\boldsymbol{520}$元。