1. (2025·河北中考)“这么近，那么美，周末到河北”.嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片(如图).回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7 cm和4 cm，笔的实际长度为14 cm，则该化石的实际长度为 ()

A.2 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.10 cm

1. C 解析:设该化石的实际长度为x cm,依题意得$\frac{7}{14}=\frac{4}{x}$,解得x=8.故选C.

2. 下列图形一定是相似形的是 （）

A.两个直角三角形
B.两个等腰三角形
C.两个矩形
D.两个等边三角形

2. D 解析:A. 两个直角三角形,只能得到两个三角形的直角对应相等,其他两角不能判断是否对应相等,所以不是相似形,不符合题意.B. 两个等腰三角形,不能判断对应角相等,也不能判断对应边的比相等,所以不是相似形,不符合题意.C. 两个矩形,能判断对应角相等,但不能判断对应边的比相等,所以不是相似形,不符合题意.D. 两个等边三角形,它们的内角都是60°,等边三角形的三边都相等,可以判断对应边的比相等,所以是相似形,符合题意.故选D.

3. 如图，$△ ABC$中，$DE // BC$，$DE$分别交$AB$，$AC$于$D$，$E$，$S_{△ ADE}=2S_{△ DCE}$，则$\dfrac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=$（）

A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{4}{9}$

3. D 解析:$△ ADE$与$△ DCE$共用点$D$到直线$AC$的高，$\because S_{△ ADE}=2S_{△ DCE},\therefore AE: EC=2: 1,\therefore AE: AC=2: 3.$ 又$\because DE// BC,\therefore △ ADE∽ △ ABC,\therefore \dfrac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{4}{9}.$故选 D.

4. (2024·绥化中考)如图,矩形OABC各顶点的坐标分别为$O(0,0),A(3,0),B(3,2),C(0,2)$,以原点O为位似中心,将这个矩形按相似比$\frac{1}{3}$缩小,则顶点B在第一象限对应点的坐标是（）

A.$(9,4)$
B.$(4,9)$
C.$(1,\frac{3}{2})$
D.$(1,\frac{2}{3})$

4. D 解析:以原点$O$为位似中心,按相似比$\dfrac{1}{3}$缩小,第一象限内对应点的坐标为原坐标的$\dfrac{1}{3}$,$\therefore$ 点$B(3,2)$的对应点为$(1,\dfrac{2}{3}).$故选 D.

5. (衡阳中考)如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AC=6,AB//CD,AC平分∠DAB.设AB=x,AD=y,则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为 ()

5. D 解析:$\because$ 在四边形$ABCD$中,$AB// CD,\therefore ∠ ACD = ∠ BAC.\because AC$ 平分$∠ DAB,\therefore ∠ BAC= ∠ CAD,\therefore ∠ ACD = ∠ CAD,\therefore CD=AD=y,\therefore △ ACD$ 为等腰三角形.过 $D$ 点作$DE⊥ AC$ 于点 $E$,则 $DE$ 垂直平分 $AC$,即 $AE=CE=\dfrac{1}{2}AC=3$,$∠ AED=90°.\because ∠ BAC = ∠ CAD,∠ B = ∠ AED=90°,\therefore △ ABC∽ △ AED,\therefore \dfrac{AC}{AD}=\dfrac{AB}{AE},\therefore \dfrac{6}{y}=\dfrac{x}{3},\therefore y=\dfrac{18}{x}.\because$ 在$△ ABC$ 中,$AB＜ AC,\therefore x＜6.$故选 D.

6.（无锡中考）如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=4$，$AC=x$，$∠ BAC=α$，$O$为$AB$中点，若点$D$为直线$BC$下方一点，且$△ BCD$与$△ ABC$相似，则下列结论：
①若$α=45°$，$BC$与$OD$相交于$E$，则点$E$不一定是$△ ABD$的重心；②若$α=60°$，则$AD$的最大值为$2\sqrt{7}$；③若$α=60°$，$△ ABC ∽ △ CBD$，则$OD$的长为$2\sqrt{3}$；④若$△ ABC ∽ △ BCD$，则当$x=2$时，$AC+CD$取得最大值。
其中正确的为（）

A.①④
B.②③
C.①②④
D.①③④

6. A 解析:①有3种情况,如图①,$BC$和$OD$都是中线,点$E$是$△ ABD$的重心;如图②,四边形$ABDC$是平行四边形,$F$是$AD$中点,点$E$是$△ ABD$的重心;如图③,点$F$不是$AD$中点,$\therefore$ 点$E$不是重心;故①正确. ②当$α=60°$时,如图④,$AD$取得最大值,$AB=4,\therefore AC=BE=2,BC=AE=2\sqrt{3},BD=\sqrt{3} BC=6,\therefore DE=8,\therefore AD=2\sqrt{19} ≠ 2\sqrt{7},\therefore$ ②错误. ③如图⑤,过点$O$作$OE⊥ AC$于点$E$,过点$D$作$DG⊥ OE$于点$G$,过点$D$作$DF⊥ AC$交$AC$延长线于点$F$.若$α=60°$,$△ ABC∽ △ CBD,\therefore ∠ BCD=60°,∠ CDB=90°,AB=4,AC=2,BC=2\sqrt{3},OE=\sqrt{3},CE=1,\therefore CD=\sqrt{3},GE=DF=\dfrac{\sqrt{3}}{2},CF=\dfrac{3}{2},\therefore EF=DG=\dfrac{5}{2},OG=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\therefore OD=\sqrt{7} ≠ 2\sqrt{3},\therefore$ ③错误. ④如图⑥,$\because △ ABC∽ △ BCD,\therefore \dfrac{CD}{BC}=\dfrac{BC}{AB}$,即$CD=\dfrac{1}{4}BC^2$.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$BC^2=16-x^2,\therefore CD=\dfrac{1}{4}(16-x^2)=-\dfrac{1}{4}x^2+4$,$\therefore AC+CD=x-\dfrac{1}{4}x^2+4=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+5$,当$x=2$时,$AC+CD$最大为5,故④正确.故选 A.

7. (2026·徐州期末)若$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$，则$\frac{a-b}{a+b}=$.

7. $-\dfrac{1}{5}$ 解析:由$\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}$,设$a=2k,b=3k(k ≠ 0),\therefore \dfrac{a-b}{a+b}=\dfrac{2k-3k}{2k+3k}=\dfrac{-k}{5k}=-\dfrac{1}{5}.$

8.（舟山中考）如图，直线$ l_1 // l_2 // l_3 $，直线AC交$ l_1,l_2,l_3 $于点A,B,C；直线DF交$ l_1,l_2,l_3 $于点D,E,F，已知$ \frac{AB}{AC} = \frac{1}{3} $，则$ \frac{EF}{DE} = $。

8. 2 解析:$\because \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{3},\therefore AB: BC = 1: 2.$ 又$\because l_1// l_2// l_3$,$\therefore DE: EF = AB: BC = 1: 2,\therefore \dfrac{EF}{DE}=2.$