一、选择题
1. 如图所示，在菱形 $ABCD$ 中，点 $E$，$F$，$G$，$H$ 分别是菱形四边的中点，$EG$ 与 $FH$ 交于点 $O$，则图中共有菱形().

A.$4$ 个
B.$5$ 个
C.$6$ 个
D.$7$ 个

1. B

【分析】
要解决这个问题，我们可以结合菱形的定义和性质，以及中点的特征来逐个识别图中的菱形：
1. 首先明确已知的菱形$ABCD$，这是第一个菱形；
2. 因为E、F、G、H是菱形四边的中点，根据菱形各边相等的性质，可证得连接中点后形成的四个小四边形$AEOH$、$BEOF$、$CFOG$、$DHOG$均满足“一组邻边相等的平行四边形是菱形”的判定条件；
3. 最后将所有符合条件的菱形数量相加，即可得到总数。
【解析】
我们逐步找出图中的菱形：
1. 基础菱形：已知四边形$ABCD$是菱形，这是第1个菱形；
2. 识别小菱形：
由于E、H分别是AB、AD的中点，菱形$ABCD$中$AB=AD$，故$AE=AH$，又$EO// AD$，$HO// AB$，因此四边形$AEOH$是平行四边形，且邻边相等，符合菱形的判定，是菱形；
同理，四边形$BEOF$、$CFOG$、$DHOG$均满足菱形的判定条件，这是4个菱形；
3. 计算总数：$1+4=5$，即图中共有5个菱形。
【答案】
B
【知识点】
菱形的判定与性质；三角形中位线定理
【点评】
本题核心考查菱形的判定与性质，解题关键是结合中点的特征，利用菱形的判定定理准确识别所有符合条件的菱形，注意不要遗漏原菱形或小菱形。
【难度系数】
0.6

2. 如图所示，有下列条件：① $AC = BD$；② $AC ⊥ BD$；③ $AB = BC$；④ $∠ BAC=∠ DAC$.其中不能使 $□ ABCD$ 是菱形的是().

A.①
B.②
C.③
D.④

2. A

证明：在平行四边形$ABCD$中，
若$AC ⊥ BD$，则$□ABCD$是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），故②不符合题意；
若$AB = BC$，则$□ABCD$是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），故③不符合题意；
若$∠ BAC = ∠ DAC$，又$AD // BC$，则$∠ DAC = ∠ BCA$，所以$∠ BAC = ∠ BCA$，即$AB = BC$，则$□ABCD$是菱形，故④不符合题意；
若$AC = BD$，则$□ABCD$是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），不一定是菱形，故①符合题意。
A

3. 如图所示，在 $□ ABCD$ 中，$AC$ 平分 $∠ DAB$，$∠ DAB = 60^{\circ}$，$AD = 4$，则 $AC$ 的长为().

A.$5$
B.$2\sqrt{3}$
C.$2$
D.$4\sqrt{3}$

3. D

证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AD // BC$，$AD = BC = 4$，$AB = CD$。
∵ $AC$ 平分 $∠ DAB$，$∠ DAB = 60°$，
∴ $∠ DAC = ∠ BAC = 30°$。
∵ $AD // BC$，
∴ $∠ DAC = ∠ BCA = 30°$（内错角相等），
∴ $∠ BAC = ∠ BCA = 30°$，
∴ $AB = BC = 4$（等角对等边）。
在 $△ ABC$ 中，过点 $B$ 作 $BE ⊥ AC$ 于点 $E$，
则 $AE = EC$（等腰三角形三线合一）。
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中，$∠ BAE = 30°$，$AB = 4$，
∴ $BE = \frac{1}{2}AB = 2$，
$AE = AB · \cos 30° = 4 · \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$，
∴ $AC = 2AE = 4\sqrt{3}$。
答案：D

二、填空题
4. 如图所示，聪聪作线段 $AB$ 的垂直平分线，分别以点 $A$，$B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}AB$ 长为半径画弧，两弧交于点 $C$，$D$，则直线 $CD$ 即为所求.根据他的作图方法，可知四边形 $ADBC$ 的形状一定是，其依据是.

4. 菱形 四边相等的四边形是菱形

【分析】
首先分析作图过程：分别以点$A$、$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$长为半径画弧，两弧交于$C$、$D$。根据圆的半径性质，可得出$AC=AD$、$BC=BD$，且由于作图时半径长度一致，所以$AC=BC$，进而得到$AC=AD=BC=BD$。再结合特殊四边形的判定定理，即可判断四边形$ADBC$的形状。
【解析】
由作图步骤可知：
分别以点$A$、$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$长为半径画弧，两弧交于$C$、$D$，
根据同圆的半径相等，可得$AC=AD$，$BC=BD$，且作图时选取的半径长度相同，因此$AC=BC$，
综上，$AC=AD=BC=BD$。
根据菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，
所以四边形$ADBC$的形状是菱形，依据是四边相等的四边形是菱形。
【答案】
菱形；四边相等的四边形是菱形
【知识点】
菱形的判定，线段垂直平分线作图
【点评】
本题结合线段垂直平分线的作图原理，考查菱形的判定，核心是理解作图过程中四条边相等的关系，熟练运用菱形的判定定理解决问题，需要掌握基本作图的性质与特殊四边形的判定方法。
【难度系数】
0.6

5. 如图所示，$AD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线，$DE // AC$ 交 $AB$ 于点 $E$，$DF // AB$ 交 $AC$ 于点 $F$，且 $AD$ 交 $EF$ 于点 $O$，则 $∠ AOF$ 的度数为.

5. $ 90^{\circ} $

证明：
∵ $DE // AC$，$DF // AB$，
∴ 四边形 $AEDF$ 是平行四边形。
∵ $AD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线，
∴ $∠ EAD = ∠ FAD$。
∵ $DE // AC$，
∴ $∠ EDA = ∠ FAD$，
∴ $∠ EAD = ∠ EDA$，
∴ $AE = DE$，
∴ 平行四边形 $AEDF$ 是菱形。
∵ 菱形的对角线互相垂直，
∴ $AD ⊥ EF$，
∴ $∠ AOF = 90°$。
$90°$

6. 如图所示，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，点 $E$，$F$，$G$，$H$ 分别是 $OA$，$OB$，$OC$，$OD$ 的中点，若要使四边形 $EFGH$ 成为菱形，则 $□ ABCD$ 应满足的条件是（写出一种即可）.

6. 答案不唯一，如 $ AB = AD $

$AB=AD$