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13. 在平面直角坐标系中,已知点$A(2,2)$,$B(4,0)$. 若在坐标轴上取点C,使$\triangle ABC$为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是( )
A.5
B.6
C.7
D.8
A.5
B.6
C.7
D.8
答案
A
解析
1. 计算$AB$长度：$AB=\sqrt{(4-2)^2+(0-2)^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$。
2. 点$C$在$x$轴上：
设$C(x,0)$，$AC=AB$：$\sqrt{(x-2)^2+(0-2)^2}=2\sqrt{2}$，解得$x=0$或$x=4$（$x=4$与$B$重合，舍去），得$C(0,0)$。
$BC=AB$：$\sqrt{(x-4)^2}=2\sqrt{2}$，解得$x=4+2\sqrt{2}$或$x=4-2\sqrt{2}$，得$C(4+2\sqrt{2},0)$，$C(4-2\sqrt{2},0)$。
$AC=BC$：$\sqrt{(x-2)^2+4}=|x-4|$，解得$x=1$，得$C(1,0)$。
3. 点$C$在$y$轴上：
设$C(0,y)$，$AC=AB$：$\sqrt{4+(y-2)^2}=2\sqrt{2}$，解得$y=0$或$y=4$，得$C(0,0)$（与$x$轴重复），$C(0,4)$。
$BC=AB$：$\sqrt{16+y^2}=2\sqrt{2}$，方程无解。
$AC=BC$：$\sqrt{4+(y-2)^2}=\sqrt{16+y^2}$，解得$y=-1$，得$C(0,-1)$。
4. 满足条件的点$C$：$(0,0)$，$(4+2\sqrt{2},0)$，$(4-2\sqrt{2},0)$，$(1,0)$，$(0,4)$，$(0,-1)$，共6个。
B
2. 点$C$在$x$轴上：
设$C(x,0)$，$AC=AB$：$\sqrt{(x-2)^2+(0-2)^2}=2\sqrt{2}$，解得$x=0$或$x=4$（$x=4$与$B$重合，舍去），得$C(0,0)$。
$BC=AB$：$\sqrt{(x-4)^2}=2\sqrt{2}$，解得$x=4+2\sqrt{2}$或$x=4-2\sqrt{2}$，得$C(4+2\sqrt{2},0)$，$C(4-2\sqrt{2},0)$。
$AC=BC$：$\sqrt{(x-2)^2+4}=|x-4|$，解得$x=1$，得$C(1,0)$。
3. 点$C$在$y$轴上：
设$C(0,y)$，$AC=AB$：$\sqrt{4+(y-2)^2}=2\sqrt{2}$，解得$y=0$或$y=4$，得$C(0,0)$（与$x$轴重复），$C(0,4)$。
$BC=AB$：$\sqrt{16+y^2}=2\sqrt{2}$，方程无解。
$AC=BC$：$\sqrt{4+(y-2)^2}=\sqrt{16+y^2}$，解得$y=-1$，得$C(0,-1)$。
4. 满足条件的点$C$：$(0,0)$，$(4+2\sqrt{2},0)$，$(4-2\sqrt{2},0)$，$(1,0)$，$(0,4)$，$(0,-1)$，共6个。
B
14.(2023·金华)如图,两个灯笼的位置A,B的坐标分别是$(-3,3)$,$(1,2)$,将点B先向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到点$B'$,则关于点A,$B'$的位置描述正确的是( )
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于点B对称
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于点B对称
答案
B
解析
点B坐标为$(1,2)$，向右平移2个单位长度，横坐标变为$1+2=3$，再向上平移1个单位长度，纵坐标变为$2+1=3$，则点$B'$的坐标为$(3,3)$。
点A坐标为$(-3,3)$，点$B'$坐标为$(3,3)$，两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以点A与点$B'$关于y轴对称。
B
点A坐标为$(-3,3)$，点$B'$坐标为$(3,3)$，两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以点A与点$B'$关于y轴对称。
B
15.(新考法·阅读理解)在平面直角坐标系中,对于平面内任意一点$(a,b)$,规定下列三种变换：①$\triangle(a,b)= (-a,b)$；②$◯(a,b)= (-a,-b)$；③$\Omega(a,b)= (a,-b)$. 例如：$\triangle[◯(1,2)]= (1,-2)$,则$◯[\Omega(3,4)]= $______.
答案
(-3,4)
解析
先计算$\Omega(3,4)$，根据变换③$\Omega(a,b)=(a,-b)$，可得$\Omega(3,4)=(3,-4)$。
再计算$◯[\Omega(3,4)]=◯(3,-4)$，根据变换②$◯(a,b)=(-a,-b)$，可得$◯(3,-4)=(-3,4)$。
$(-3,4)$
再计算$◯[\Omega(3,4)]=◯(3,-4)$，根据变换②$◯(a,b)=(-a,-b)$，可得$◯(3,-4)=(-3,4)$。
$(-3,4)$
16.(新考法·新定义题)(2024·威海改编)在平面直角坐标系中有两点$M(a,b)$,$N(c,d)$,规定$(a,b)\oplus(c,d)= (a+c,b+d)$,则称$Q(a+c,b+d)$为点M,N的“和点”. 若以原点O与任意两点及它们们 “ 和点”为顶点能构成四边形,则称这个四边形为“和点四边形”. 现有点$A(2,5)$,$B(-1,3)$,如果以O,A,B,C为顶点的四边形是“和点四边形”,那么点C 的坐标是______.
答案
(1,8)或(-3,-2)或(3,2)
解析
分三种情况：
1. 当点C为点A和点B的“和点”时，$C=(2+(-1),5+3)=(1,8)$；
2. 当点B为点A和点C的“和点”时，设$C=(x,y)$，则$\begin{cases}-1=2+x\\3=5+y\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-3\\y=-2\end{cases}$，即$C=(-3,-2)$；
3. 当点A为点B和点C的“和点”时，设$C=(x,y)$，则$\begin{cases}2=-1+x\\5=3+y\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}$，即$C=(3,2)$。
综上，点C的坐标是$(1,8)$或$(-3,-2)$或$(3,2)$。
1. 当点C为点A和点B的“和点”时，$C=(2+(-1),5+3)=(1,8)$；
2. 当点B为点A和点C的“和点”时，设$C=(x,y)$，则$\begin{cases}-1=2+x\\3=5+y\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-3\\y=-2\end{cases}$，即$C=(-3,-2)$；
3. 当点A为点B和点C的“和点”时，设$C=(x,y)$，则$\begin{cases}2=-1+x\\5=3+y\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}$，即$C=(3,2)$。
综上，点C的坐标是$(1,8)$或$(-3,-2)$或$(3,2)$。
17. 如图,在平面直角坐标系中,$\triangle ABC各顶点的坐标分别为A(-2,-2)$,$B(-4,-1)$,$C(-4,-4)$.
(1) 作出$\triangle ABC$关于原点O对称的$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$;
(2) 作出点A关于x轴的对称点$A'$,若把点$A'$向右平移a个单位长度后落在$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$的内部(不包括顶点和边界),则a的取值范围是______.
(1) 作出$\triangle ABC$关于原点O对称的$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$;
(2) 作出点A关于x轴的对称点$A'$,若把点$A'$向右平移a个单位长度后落在$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$的内部(不包括顶点和边界),则a的取值范围是______.
答案
（1）如图，△A₁B₁C₁ 即为所求 （2）如图，点 A'即为所求 4＜a＜6
18. 如图,在平面直角坐标系中,点$A(1,m+1)$,$B(a,m+1)$,$C(3,m+3)$,$D(1,m+a)$,$m＞0$,$1＜ a＜3$,$P(n-m,n)$是四边形ABCD内的一点,且$\triangle PAD与\triangle PBC$的面积相等,求$n-m$的值.
答案
设 n-m=t.
∵A(1,m+1)，B(a,m+1)，1＜a＜3，
∴AB=a-1，AB//x 轴.
∵A(1,m+1)，D(1,m+a)，
∴AD=(m+a)-(m+1)=a-1，AD//y 轴. 如图，分别过点 P,C 作 PE⊥AB，CF⊥AB，分别交 AB，AB 的延长线于点 E,F.
∵P(n-m,n)，C(3,m+3)，
∴点 P 到 AD 的距离为 n-m-1=t-1，PE=n-(m+1)=t-1，CF=(m+3)-(m+1)=2，BE=a-(n-m)=a-t，BF=3-a，EF=3-(n-m)=3-t，
∴S△PAD=1/2(a-1)(t-1)，S△PBC=S梯形PEFC-S△PBE-S△BFC=1/2(t-1+2)(3-t)-1/2(a-t)(t-1)-1/2(3-a)×2.
∵S△PAD=S△PBC，
∴1/2(a-1)(t-1)=1/2(t-1+2)(3-t)-1/2(a-t)(t-1)-1/2(3-a)×2. 化简，得 at-2a-t+2=0. 整理，可得一个关于 t 的方程(a-1)t-2a+2=0. 又
∵1＜a＜3，
∴a-1≠0，
∴解得 t=2，
∴n-m=2
∵A(1,m+1)，B(a,m+1)，1＜a＜3，
∴AB=a-1，AB//x 轴.
∵A(1,m+1)，D(1,m+a)，
∴AD=(m+a)-(m+1)=a-1，AD//y 轴. 如图，分别过点 P,C 作 PE⊥AB，CF⊥AB，分别交 AB，AB 的延长线于点 E,F.
∵P(n-m,n)，C(3,m+3)，
∴点 P 到 AD 的距离为 n-m-1=t-1，PE=n-(m+1)=t-1，CF=(m+3)-(m+1)=2，BE=a-(n-m)=a-t，BF=3-a，EF=3-(n-m)=3-t，
∴S△PAD=1/2(a-1)(t-1)，S△PBC=S梯形PEFC-S△PBE-S△BFC=1/2(t-1+2)(3-t)-1/2(a-t)(t-1)-1/2(3-a)×2.
∵S△PAD=S△PBC，
∴1/2(a-1)(t-1)=1/2(t-1+2)(3-t)-1/2(a-t)(t-1)-1/2(3-a)×2. 化简，得 at-2a-t+2=0. 整理，可得一个关于 t 的方程(a-1)t-2a+2=0. 又
∵1＜a＜3，
∴a-1≠0，
∴解得 t=2，
∴n-m=2
