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1. 判断下列结论是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)：
(1) 经过3点一定可以作一个圆；（）
(2) 任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（）
(3) 任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（）
(4) 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三角形各顶点的距离都相等。（）
(1) 经过3点一定可以作一个圆；（）
(2) 任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（）
(3) 任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（）
(4) 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三角形各顶点的距离都相等。（）
答案
解：
(1) ×
(2) √
(3) ×
(4) √
(1) ×
(2) √
(3) ×
(4) √
解析
【分析】
解题时需结合确定圆的条件、三角形外接圆、外心的定义及性质逐一判断每个结论：①首先明确不在同一直线上的三点才能确定一个圆，据此判断结论(1)；②三角形的三个顶点必然不共线，结合确定圆的条件判断结论(2)；③圆上可任意选取三组不共线的点构成内接三角形，据此判断结论(3)；④根据外心的定义和垂直平分线的性质直接判断结论(4)即可。
【解析】
(1) 只有经过不在同一条直线上的三个点才可以确定一个圆，若三点共线则无法作出过这三点的圆，因此该结论错误；
(2) 三角形的三个顶点不在同一直线上，因此任意三角形都能确定唯一的外接圆，因此该结论正确；
(3) 任意一个圆上可以找到无数组互不共线的三个点，每组点都可以构成该圆的一个内接三角形，即圆有无数个内接三角形，因此该结论错误；
(4) 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，可知外心到三角形各顶点的距离都相等，因此该结论正确。
【答案】
(1)×；(2)√；(3)×；(4)√
【知识点】
确定圆的条件；三角形的外接圆与外心；圆的内接三角形
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查与圆相关的基本概念和性质，准确理解相关定义是避免出错的核心。
【难度系数】
0.8
解题时需结合确定圆的条件、三角形外接圆、外心的定义及性质逐一判断每个结论：①首先明确不在同一直线上的三点才能确定一个圆，据此判断结论(1)；②三角形的三个顶点必然不共线，结合确定圆的条件判断结论(2)；③圆上可任意选取三组不共线的点构成内接三角形，据此判断结论(3)；④根据外心的定义和垂直平分线的性质直接判断结论(4)即可。
【解析】
(1) 只有经过不在同一条直线上的三个点才可以确定一个圆，若三点共线则无法作出过这三点的圆，因此该结论错误；
(2) 三角形的三个顶点不在同一直线上，因此任意三角形都能确定唯一的外接圆，因此该结论正确；
(3) 任意一个圆上可以找到无数组互不共线的三个点，每组点都可以构成该圆的一个内接三角形，即圆有无数个内接三角形，因此该结论错误；
(4) 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，可知外心到三角形各顶点的距离都相等，因此该结论正确。
【答案】
(1)×；(2)√；(3)×；(4)√
【知识点】
确定圆的条件；三角形的外接圆与外心；圆的内接三角形
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查与圆相关的基本概念和性质，准确理解相关定义是避免出错的核心。
【难度系数】
0.8
2. 如图，点A,B,C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中三个点，可画出的圆一共有 （）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
（第2题） （第3题）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
（第2题） （第3题）
答案
C
解析
【分析】
解题核心是牢记“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”的定理。首先明确点的位置关系：A、B、C三点共线（都在直线l上），点P在直线l外，共线的三个点无法确定圆，因此只需枚举所有包含点P、另外两个点从A、B、C中选取的三点组合，判断每组是否共线，即可得到可画圆的个数。
【解析】
根据确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
已知A、B、C三点在同一直线l上，因此A、B、C三点无法确定圆；
枚举所有含点P的三点组合：
1. 选取点P、A、B：三点不共线，可确定1个圆；
2. 选取点P、A、C：三点不共线，可确定1个圆；
3. 选取点P、B、C：三点不共线，可确定1个圆；
综上，一共可以画出3个圆。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件
【点评】
本题重点考查对确定圆的条件的理解，解题关键是排除共线的三点组合，正确枚举所有符合条件的三点组合，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
解题核心是牢记“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”的定理。首先明确点的位置关系：A、B、C三点共线（都在直线l上），点P在直线l外，共线的三个点无法确定圆，因此只需枚举所有包含点P、另外两个点从A、B、C中选取的三点组合，判断每组是否共线，即可得到可画圆的个数。
【解析】
根据确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
已知A、B、C三点在同一直线l上，因此A、B、C三点无法确定圆；
枚举所有含点P的三点组合：
1. 选取点P、A、B：三点不共线，可确定1个圆；
2. 选取点P、A、C：三点不共线，可确定1个圆；
3. 选取点P、B、C：三点不共线，可确定1个圆；
综上，一共可以画出3个圆。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件
【点评】
本题重点考查对确定圆的条件的理解，解题关键是排除共线的三点组合，正确枚举所有符合条件的三点组合，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C的横、纵坐标都为整数,过这三个点作一条圆弧,则此圆弧所在圆的圆心坐标为,半径为.
答案
$(2,1)$；$\sqrt{5}$
解析
【分析】
要确定圆弧所在圆的圆心，依据垂径定理可知：圆心到圆上任意点距离相等，是任意两条弦的垂直平分线的交点。首先从图中提取A、B、C三点坐标，先计算易求的弦BC的垂直平分线，BC为水平线段，它的垂直平分线是竖直直线，可直接得到横坐标范围；再计算另一条弦（如AB）的垂直平分线方程，两条垂直平分线的交点即为圆心；最后用两点间距离公式计算半径即可。
【解析】
由图可得三点坐标：$A(0,2)$，$B(1,3)$，$C(3,3)$。
1. 求弦$BC$的垂直平分线：
$B$、$C$纵坐标均为3，故$BC$为水平线段，其中点坐标为$(\frac{1+3}{2},\frac{3+3}{2})=(2,3)$，$BC$的垂直平分线垂直于水平线段，为竖直直线$\boldsymbol{x=2}$，即圆心横坐标为2。
2. 求弦$AB$的垂直平分线：
$AB$的中点坐标为$(\frac{0+1}{2},\frac{2+3}{2})=(0.5,2.5)$，$AB$的斜率$k_{AB}=\frac{3-2}{1-0}=1$，因此$AB$垂直平分线的斜率为$-1$。
设$AB$垂直平分线解析式为$y=-x+b$，代入中点$(0.5,2.5)$得：$2.5=-0.5+b$，解得$b=3$，即$AB$的垂直平分线为$\boldsymbol{y=-x+3}$。
3. 求圆心坐标：
联立$\begin{cases}x=2\\y=-x+3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$，即圆心坐标为$(2,1)$。
4. 计算半径：
半径为圆心到点$A$的距离：$r=\sqrt{(2-0)^2+(1-2)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$。
【答案】
$(2,1)$；$\sqrt{5}$
【知识点】
确定圆的条件，垂直平分线的性质，两点间距离计算
【点评】
本题是圆的基础题型，解题核心是理解圆心与弦的垂直平分线的关系，计算过程简单，掌握垂径定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要确定圆弧所在圆的圆心，依据垂径定理可知：圆心到圆上任意点距离相等，是任意两条弦的垂直平分线的交点。首先从图中提取A、B、C三点坐标，先计算易求的弦BC的垂直平分线，BC为水平线段，它的垂直平分线是竖直直线，可直接得到横坐标范围；再计算另一条弦（如AB）的垂直平分线方程，两条垂直平分线的交点即为圆心；最后用两点间距离公式计算半径即可。
【解析】
由图可得三点坐标：$A(0,2)$，$B(1,3)$，$C(3,3)$。
1. 求弦$BC$的垂直平分线：
$B$、$C$纵坐标均为3，故$BC$为水平线段，其中点坐标为$(\frac{1+3}{2},\frac{3+3}{2})=(2,3)$，$BC$的垂直平分线垂直于水平线段，为竖直直线$\boldsymbol{x=2}$，即圆心横坐标为2。
2. 求弦$AB$的垂直平分线：
$AB$的中点坐标为$(\frac{0+1}{2},\frac{2+3}{2})=(0.5,2.5)$，$AB$的斜率$k_{AB}=\frac{3-2}{1-0}=1$，因此$AB$垂直平分线的斜率为$-1$。
设$AB$垂直平分线解析式为$y=-x+b$，代入中点$(0.5,2.5)$得：$2.5=-0.5+b$，解得$b=3$，即$AB$的垂直平分线为$\boldsymbol{y=-x+3}$。
3. 求圆心坐标：
联立$\begin{cases}x=2\\y=-x+3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$，即圆心坐标为$(2,1)$。
4. 计算半径：
半径为圆心到点$A$的距离：$r=\sqrt{(2-0)^2+(1-2)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$。
【答案】
$(2,1)$；$\sqrt{5}$
【知识点】
确定圆的条件，垂直平分线的性质，两点间距离计算
【点评】
本题是圆的基础题型，解题核心是理解圆心与弦的垂直平分线的关系，计算过程简单，掌握垂径定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，若两直角边长为6，8，则它的外接圆的半径为。
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形外接圆的相关性质：三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点（即外心），对于直角三角形而言，外心恰好落在斜边的中点上，因此直角三角形的外接圆直径长度等于斜边的长度。所以解题步骤可分为两步：第一步利用勾股定理求出直角三角形的斜边长度，第二步将斜边长度除以2即可得到外接圆的半径。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知两直角边长分别为6和8，根据勾股定理可得斜边长为：
$\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
因为直角三角形的外接圆直径等于斜边的长度，所以外接圆的半径为斜边长度的一半，即：
$r=\frac{10}{2}=5$
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
勾股定理；直角三角形外接圆性质
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查直角三角形外接圆半径的计算规律，牢记“直角三角形外接圆半径为斜边的一半”这一结论可快速求解，也可结合圆周角定理中“90°的圆周角所对的弦是直径”来理解该结论。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形外接圆的相关性质：三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点（即外心），对于直角三角形而言，外心恰好落在斜边的中点上，因此直角三角形的外接圆直径长度等于斜边的长度。所以解题步骤可分为两步：第一步利用勾股定理求出直角三角形的斜边长度，第二步将斜边长度除以2即可得到外接圆的半径。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知两直角边长分别为6和8，根据勾股定理可得斜边长为：
$\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
因为直角三角形的外接圆直径等于斜边的长度，所以外接圆的半径为斜边长度的一半，即：
$r=\frac{10}{2}=5$
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
勾股定理；直角三角形外接圆性质
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查直角三角形外接圆半径的计算规律，牢记“直角三角形外接圆半径为斜边的一半”这一结论可快速求解，也可结合圆周角定理中“90°的圆周角所对的弦是直径”来理解该结论。
【难度系数】
0.8
