7.如图，在$△ ABC$中，$AB＝4$，$BC＝6$，$AD$，$CE$分别是$△ ABC$的高.
(1)若$AD＝3$，求$CE$的长.
(2)求$AD$，$CE$之间满足的数量关系.

7.(1)依题意,△ABC 的面积为$\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}AB· CE=9$,即$CE=4.5$.
(2)△ABC 的面积为$\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}AB· CE$,
即$6AD=4CE$,$AD=\frac{2}{3}CE$.

【分析】
本题利用三角形面积的等积法求解即可。同一三角形的面积可以用不同的底和对应边上的高计算，两种方式得到的面积相等。对于(1)，先根据底BC和对应高AD算出△ABC的面积，再将AB作为底，利用面积相等列方程即可求出CE的长度；对于(2)，同样利用两种面积表达式相等，代入AB和BC的边长化简，就能得到AD和CE的数量关系。
【解析】
(1)根据三角形面积公式，$△ ABC$的面积既可以表示为$\frac{1}{2} × BC × AD$，也可以表示为$\frac{1}{2} × AB × CE$。
将$BC=6$，$AD=3$代入第一个表达式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 6 × 3 = 9$
再代入第二个面积表达式：
$\frac{1}{2} × 4 × CE = 9$
解得$CE=4.5$。
(2)由三角形两种面积计算方式结果相等可得：
$\frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × AB × CE$
两边同时乘2消去系数，代入$BC=6$，$AB=4$得：
$6AD = 4CE$
化简得$AD=\frac{2}{3}CE$。
【答案】
(1)$CE=4.5$
(2)$AD=\frac{2}{3}CE$（或$3AD=2CE$）
【知识点】
三角形面积计算；等面积法应用
【点评】
本题是三角形面积相关的基础题型，核心是利用同一三角形面积的不同表示形式建立等量关系，掌握不同底与对应高的面积表达式是解题的关键，能很好地考查对三角形面积公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8

8.已知AD是$△ ABC$的高，$∠ BAD=50°$，$∠ CAD=20°$，则$∠ BAC$的度数为。

8.$70°$或$30°$

【分析】
本题未给出具体图形，已知AD是△ABC的高，需结合高的位置特点分类讨论：①当高AD落在△ABC内部时，∠BAC是∠BAD与∠CAD的和；②当高AD落在△ABC外部时，此时△ABC为钝角三角形，∠BAC是∠BAD与∠CAD的差，分别计算两种情况即可得到最终结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当高AD在△ABC内部时：
$∠ BAC = ∠ BAD + ∠ CAD = 50° + 20° = 70°$
② 当高AD在△ABC外部时：
$∠ BAC = ∠ BAD - ∠ CAD = 50° - 20° = 30°$
综上，$∠ BAC$的度数为$70°$或$30°$。
【答案】
$70°$或$30°$
【知识点】
三角形的高的定义；分类讨论思想；角度和差计算
【点评】
本题属于易错题，难点在于容易忽略高在三角形外部的情况导致漏解。解答无图几何题时，要注意结合题意分析所有可能的图形结构，全面考虑多种情况，避免思维定式。
【难度系数】
0.6

9.如图是由边长为1的小正方形组成的6×6的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，点A，B，C均在格点上，请按要求完成画图并回答下面的问题.
(1)分别画出△ABC的高AD，中线BE.
(2)直接写出△ABE的面积为，再在AB上画一点F，使△BCF的面积为1.5.

9.(1)(2)作图如下.
(2)3

【分析】
(1) 画高AD时，首先观察BC为竖直方向线段，根据三角形高的定义，过点A作BC的垂线，竖直方向的垂线为水平线，因此过A作水平线段交BC的延长线于D，即可得到高AD；画中线BE时，先找到AC的中点（网格中AC的中点刚好在格点上），连接B和该中点就得到AC边上的中线BE。
(2) 求△ABE的面积时，先计算△ABC的面积，BC长度为3，对应高AD长度为4，用三角形面积公式算出△ABC面积，再根据中线平分三角形面积的性质，就能得到△ABE的面积。画点F时，已知△BCF的底BC为3，根据面积反求高为1，在AB上找到到BC水平距离为1的点即可。
【解析】
(1) ①作高AD：过点A作水平线段AD，使AD⊥BC，交BC的延长线于点D，AD即为△ABC的高；
②作中线BE：找到AC的中点E（AC横向间隔4格、纵向间隔3格，中点为格点），连接点B和点E，BE即为△ABC的中线。
(2) 计算△ABE的面积：
首先计算△ABC的面积，底$BC=3$，对应高$AD=4$，
则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×3×4=6$，
因为BE是AC边上的中线，中线将三角形分成面积相等的两个三角形，
所以$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=3$。
画点F：设△BCF中BC边上的高为h，由$S_{△ BCF}=\frac{1}{2}×BC×h=1.5$，代入$BC=3$，解得$h=1$，即点F到BC所在直线的水平距离为1，在AB上找到满足该条件的点F即可。
【答案】
(1)(2)作图如下.
(2)3
【知识点】
三角形高的定义，三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合网格考查三角形的高、中线的画法以及面积计算，解题时要充分利用网格的特征确定线段的位置和长度，牢记中线平分三角形面积的性质可以快速计算相关三角形的面积。
【难度系数】
0.7

10.如图,在△ABC中,AB＞AC,AD为△ABC的中线.
(1)若AB=8,AC=6,直接写出BD的取值范围是.
(2)若AB=BC,△ABC的周长为16,△ABD的周长比△ADC的周长多2.
①求AB,AC的长.
②在△ABC中,边AB上的高为$h_1$,在△ADC中,边AC上的高为$h_2$,直接写出$\frac{h_2}{h_1}$的值为.

10.(1)$1＜BD＜7$
(2)①△ABD 的周长为$AB+AD+BD$,
△ADC 的周长为$AC+AD+CD$.
又$BD=CD$,依题意,$AB=BC=AC+2$,
即$AC+2+AC+2+AC=16$,$AC=4$,$AB=6$.
②$\frac{3}{4}$

【分析】
(1) 要求BD的取值范围，首先根据AD是中线可得BD=CD，即BC=2BD，再利用三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，代入AB、AC的长度求出BC的范围，再换算为BD的范围即可。
(2) ①先分别写出两个三角形的周长表达式，由于AD是公共边，BD=CD，因此两个三角形的周长差就是AB与AC的差，结合AB=BC和△ABC的周长，列方程即可求出AB、AC的长度；②先根据中线的性质得到△ADC的面积是△ABC面积的一半，再分别用底和高表示两个三角形的面积，代入AB、AC的长度即可求出$h_2$与$h_1$的比值。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，即BC=2BD。
在△ABC中，根据三角形三边关系：$AB-AC ＜ BC ＜ AB+AC$，
已知AB=8，AC=6，代入得$8-6 ＜ 2BD ＜ 8+6$，
即$2 ＜ 2BD ＜ 14$，不等式两边同时除以2，得$1 ＜ BD ＜7$。
(2) ① $△ ABD$的周长$=AB+AD+BD$，$△ ADC$的周长$=AC+AD+CD$，
∵AD是中线，
∴$BD=CD$，且AD为公共边，
∴$△ ABD$的周长 $- △ ADC$的周长 $= AB - AC = 2$，即$AC = AB - 2$，
又
∵$AB=BC$，$△ ABC$的周长为16，
∴$AB + BC + AC = AB + AB + (AB - 2) = 16$，
整理得$3AB - 2 =16$，解得$AB=6$，
∴$AC = AB - 2 = 6 - 2 =4$。
②
∵AD是△ABC的中线，$△ ABD$和$△ ADC$等底（$BD=CD$）同高（从A向BC作的高），
∴$S_{△ ADC} = \frac{1}{2} S_{△ ABC}$，
又
∵$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AB · h_1$，$S_{△ ADC} = \frac{1}{2} · AC · h_2$，
代入得：$\frac{1}{2} · AC · h_2 = \frac{1}{2} × (\frac{1}{2} · AB · h_1)$，
两边同乘2消去系数，得$AC· h_2 = \frac{1}{2} AB· h_1$，
将$AB=6$，$AC=4$代入，得$4h_2 = \frac{1}{2} ×6 × h_1$，即$4h_2=3h_1$，
∴$\frac{h_2}{h_1} = \frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $1＜BD＜7$
(2) ①$AB=6$，$AC=4$；②$\frac{3}{4}$
【知识点】
三角形三边关系；三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题围绕三角形中线的性质展开，结合了三边关系、周长计算、面积计算等知识点，解题的核心是利用中线得到等底关系，从而简化周长差和面积的推导过程，是三角形相关线段章节的典型习题，有助于巩固基础知识点。
【难度系数】
0.7

11.在$△ ABC$中，$AC=2$，$BC=4$，$AD⊥ BC$，垂足为$D$.
(1)如图①，$BE⊥ AC$，垂足为$E$，求证$BE=2AD$.
(2)如图②，$P$为$AB$上一点(不与点$A$，$B$两点重合)，$PM⊥ BC$，垂足为$M$，$PN⊥ AC$，垂足为$N$.若$PN=2PM$，求$PN:AD$的值.

11.(1)由三角形面积公式得$\frac{1}{2}AC· BE=\frac{1}{2}BC· AD$,
因为$AC=2$,$BC=4$,所以$BE=2AD$.
(2)连接 PC,依题意,△BPC 的面积为$\frac{1}{2}BC· PM=2PM$,
△APC 的面积为$\frac{1}{2}AC· PN=PN$,
△ABC 的面积为$\frac{1}{2}BC· AD=2AD$,
即$2PM+PN=2AD$.
又$PN=2PM$,$\therefore PN:AD=1$.

【分析】
(1) 要证明BE与AD的数量关系，可利用同一个三角形面积可用不同底和对应的高计算，且面积相等的特点，建立两条高的等式，代入已知AC、BC的长度即可完成证明。
(2) 要求PN与AD的比值，观察可知PM是△BPC中BC边上的高，PN是△APC中AC边上的高，因此连接PC，将△ABC的面积拆分为△BPC和△APC的面积之和，分别表示出三个三角形的面积，再结合PN=2PM的条件消去PM，即可推出PN和AD的比值。
【解析】
(1) 证明：根据三角形面积公式可得 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BE=\frac{1}{2}BC· AD$，
两边同乘2消去$\frac{1}{2}$得：$AC· BE=BC· AD$，
将$AC=2$，$BC=4$代入上式得：$2BE=4AD$，
化简得$BE=2AD$，得证。
(2) 解：连接$PC$，
由三角形面积公式可得：
$S_{△ BPC}=\frac{1}{2}BC· PM=\frac{1}{2}×4· PM=2PM$，
$S_{△ APC}=\frac{1}{2}AC· PN=\frac{1}{2}×2· PN=PN$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×4· AD=2AD$，
∵ $S_{△ ABC}=S_{△ BPC}+S_{△ APC}$，
∴ $2PM+PN=2AD$，
又
∵ $PN=2PM$，将$2PM=PN$代入上式得：$PN+PN=2AD$，即$2PN=2AD$，
∴ $PN=AD$，因此$PN:AD=1$。
【答案】
(1) 证明成立，$BE=2AD$；
(2) $\boxed{1}$
【知识点】
三角形面积计算，等积法应用
【点评】
本题核心是利用三角形面积的不同表示形式建立线段等量关系，等积法是几何中求解线段关系、线段比值的常用方法，解题时可通过拆分或合并三角形面积构造等式，代入已知条件即可求解。
【难度系数】
0.8