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1.如图，点A,B,C,D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为()
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
D
解析
【分析】
解题首先要回忆确定圆的核心条件：不在同一直线上的三个点才能确定一个圆。首先排除无效组合：直线l上的A、B、C、D任意三点共线，无法确定圆，因此所有能确定圆的三点组合必须包含直线外的点P，只需计算从直线l上4个点中任选2个点的组合数，即可得到最多可画圆的个数。
【解析】
根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的性质：
1. 若选取的三个点均为直线l上的A、B、C、D中的点，三点共线，无法确定圆，此类组合无效。
2. 有效的三点组合必须包含点P，再从A、B、C、D中任选2个点：
从4个点中选2个的组合有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种，每组两个点与点P均不共线，每组都可确定1个唯一的圆。
因此最多可画出6个圆。
【答案】
D
【知识点】
确定圆的条件，组合计数
【点评】
本题重点考查对确定圆条件的应用，解题关键是先排除共线三点的无效组合，再通过枚举或组合计数得到有效组合数，避免漏算或重复计算组合。
【难度系数】
0.7
解题首先要回忆确定圆的核心条件：不在同一直线上的三个点才能确定一个圆。首先排除无效组合：直线l上的A、B、C、D任意三点共线，无法确定圆，因此所有能确定圆的三点组合必须包含直线外的点P，只需计算从直线l上4个点中任选2个点的组合数，即可得到最多可画圆的个数。
【解析】
根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的性质：
1. 若选取的三个点均为直线l上的A、B、C、D中的点，三点共线，无法确定圆，此类组合无效。
2. 有效的三点组合必须包含点P，再从A、B、C、D中任选2个点：
从4个点中选2个的组合有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种，每组两个点与点P均不共线，每组都可确定1个唯一的圆。
因此最多可画出6个圆。
【答案】
D
【知识点】
确定圆的条件，组合计数
【点评】
本题重点考查对确定圆条件的应用，解题关键是先排除共线三点的无效组合，再通过枚举或组合计数得到有效组合数，避免漏算或重复计算组合。
【难度系数】
0.7
2. 如图，已知点A，B和线段a，a＞$\frac{1}{2}$AB。用直尺和圆规作$\odot O$，使$\odot O$过点A，B，且半径为a，则这样的圆可以作（）
A.1个
B.2个
C.4个
D.无数个
A.1个
B.2个
C.4个
D.无数个
答案
B
解析
【分析】要作出过A、B且半径为a的圆，首先需确定圆心O的位置：圆心需同时满足两个条件，①到A、B两点的距离相等（因为圆过A、B，半径相等），根据线段垂直平分线的性质，满足该条件的点都在AB的垂直平分线上；②到点A的距离等于半径a，满足该条件的点在以A为圆心、a为半径的圆弧上。两个轨迹的交点就是圆心，结合已知a＞$\frac{1}{2}$AB，即可判断交点个数，对应得到可作圆的个数。
【解析】要作满足条件的$\odot O$，需先确定圆心O的位置：
1. 因为$\odot O$过A、B两点，所以OA=OB，根据线段垂直平分线的性质，可知点O在线段AB的垂直平分线上；
2. 又因为$\odot O$的半径为a，所以OA=a，即点O在以A为圆心、a为半径的圆弧上；
3. 已知$a＞\frac{1}{2}AB$，因此以A为圆心a为半径的弧，与AB的垂直平分线有2个不同的交点，即存在2个符合条件的圆心，因此可以作出2个满足要求的圆。
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线性质；圆的定义；尺规作图
【点评】本题解题核心是用“轨迹交点法”确定圆心位置，结合垂直平分线性质和圆的定义分析交点个数即可求解，掌握相关性质就能快速得出答案。
【难度系数】0.7
【解析】要作满足条件的$\odot O$，需先确定圆心O的位置：
1. 因为$\odot O$过A、B两点，所以OA=OB，根据线段垂直平分线的性质，可知点O在线段AB的垂直平分线上；
2. 又因为$\odot O$的半径为a，所以OA=a，即点O在以A为圆心、a为半径的圆弧上；
3. 已知$a＞\frac{1}{2}AB$，因此以A为圆心a为半径的弧，与AB的垂直平分线有2个不同的交点，即存在2个符合条件的圆心，因此可以作出2个满足要求的圆。
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线性质；圆的定义；尺规作图
【点评】本题解题核心是用“轨迹交点法”确定圆心位置，结合垂直平分线性质和圆的定义分析交点个数即可求解，掌握相关性质就能快速得出答案。
【难度系数】0.7
3.如图,在$5×5$的正方形网格中,点A,B,C,D,E,F,G都在小正方形的顶点上,则$△ ABC$的外心是()
A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确三角形外心的核心性质：外心是三角形三边垂直平分线的交点，且到三角形三个顶点的距离相等。解题时我们可以从这个性质出发，有两种思路：一是找到三角形两条边的垂直平分线，二者的交点就是外心；二是利用勾股定理，分别计算选项中四个点到A、B、C三点的距离，距离相等的点就是△ABC的外心，结合网格特征计算非常简便。
【解析】
根据三角形外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，我们设每个小正方形的边长为1，分别验证各选项：
1. 计算点D到A、B、C的距离：由勾股定理可得，$DA=DB=DC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，满足到三个顶点距离相等的要求；
2. 分别计算点E、F、G到A、B、C的距离，均不满足三个距离相等的条件。
因此点D是△ABC的外心。
【答案】
A
【知识点】
三角形外心的性质，勾股定理，垂直平分线的性质
【点评】
本题结合网格考查三角形外心的相关知识，解题关键是牢记外心到三角形三个顶点距离相等的特点，结合勾股定理简单计算即可判断，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确三角形外心的核心性质：外心是三角形三边垂直平分线的交点，且到三角形三个顶点的距离相等。解题时我们可以从这个性质出发，有两种思路：一是找到三角形两条边的垂直平分线，二者的交点就是外心；二是利用勾股定理，分别计算选项中四个点到A、B、C三点的距离，距离相等的点就是△ABC的外心，结合网格特征计算非常简便。
【解析】
根据三角形外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，我们设每个小正方形的边长为1，分别验证各选项：
1. 计算点D到A、B、C的距离：由勾股定理可得，$DA=DB=DC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，满足到三个顶点距离相等的要求；
2. 分别计算点E、F、G到A、B、C的距离，均不满足三个距离相等的条件。
因此点D是△ABC的外心。
【答案】
A
【知识点】
三角形外心的性质，勾股定理，垂直平分线的性质
【点评】
本题结合网格考查三角形外心的相关知识，解题关键是牢记外心到三角形三个顶点距离相等的特点，结合勾股定理简单计算即可判断，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
4.如图，△ABC的外接圆的圆心坐标是。
答案
解：△ABC外接圆的圆心是到A、B、C三点距离相等的点。
由题图可得三点坐标：$A(4,6)$，$B(2,4)$，$C(2,0)$。
设外接圆圆心坐标为$(x,y)$，根据外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等的性质，可得：
$\begin{cases}(x-2)^2+(y-0)^2=(x-2)^2+(y-4)^2\\(x-2)^2+(y-0)^2=(x-4)^2+(y-6)^2\end{cases}$
化简第一个方程：
$y^2 = y^2 -8y +16$，解得$y=2$。
将$y=2$代入第二个方程：
$(x-2)^2 + 2^2 = (x-4)^2 + (2-6)^2$
展开整理得：$4x=24$，解得$x=6$。
因此△ABC的外接圆的圆心坐标是$\boldsymbol{(6,2)}$。
由题图可得三点坐标：$A(4,6)$，$B(2,4)$，$C(2,0)$。
设外接圆圆心坐标为$(x,y)$，根据外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等的性质，可得：
$\begin{cases}(x-2)^2+(y-0)^2=(x-2)^2+(y-4)^2\\(x-2)^2+(y-0)^2=(x-4)^2+(y-6)^2\end{cases}$
化简第一个方程：
$y^2 = y^2 -8y +16$，解得$y=2$。
将$y=2$代入第二个方程：
$(x-2)^2 + 2^2 = (x-4)^2 + (2-6)^2$
展开整理得：$4x=24$，解得$x=6$。
因此△ABC的外接圆的圆心坐标是$\boldsymbol{(6,2)}$。
解析
【分析】
解题首先要明确三角形外接圆的圆心（外心）的核心性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，同时外心也是三角形三边垂直平分线的交点。第一步先从坐标系中读出A、B、C三点的坐标，再设外心坐标为$(x,y)$，根据外心到三个顶点距离相等的性质，结合两点间距离公式列方程组求解即可得到圆心坐标。
【解析】
首先根据平面直角坐标系读出三个顶点的坐标：$A(4,6)$，$B(2,4)$，$C(2,0)$。
三角形外接圆的圆心到三个顶点的距离相等，设圆心坐标为$(x,y)$，根据两点间距离公式列方程得：
$\begin{cases}(x-2)^2+(y-0)^2=(x-2)^2+(y-4)^2\\(x-2)^2+(y-0)^2=(x-4)^2+(y-6)^2\end{cases}$
化简第一个方程：
左右两边消去$(x-2)^2$，得$y^2 = y^2 -8y +16$，移项合并得$8y=16$，解得$y=2$。
将$y=2$代入第二个方程：
$(x-2)^2 + 2^2 = (x-4)^2 + (2-6)^2$
展开整理得：$x^2-4x+8 = x^2-8x+32$，消去$x^2$后移项合并得$4x=24$，解得$x=6$。
【答案】
$\boldsymbol{(6,2)}$
【知识点】
三角形外心的性质，两点间的距离，坐标与图形性质
【点评】
本题属于基础类题目，解题关键是熟记三角形外心的性质，结合坐标特征列方程计算即可，也可通过作两条边的垂直平分线找交点的方法验证结果。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确三角形外接圆的圆心（外心）的核心性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，同时外心也是三角形三边垂直平分线的交点。第一步先从坐标系中读出A、B、C三点的坐标，再设外心坐标为$(x,y)$，根据外心到三个顶点距离相等的性质，结合两点间距离公式列方程组求解即可得到圆心坐标。
【解析】
首先根据平面直角坐标系读出三个顶点的坐标：$A(4,6)$，$B(2,4)$，$C(2,0)$。
三角形外接圆的圆心到三个顶点的距离相等，设圆心坐标为$(x,y)$，根据两点间距离公式列方程得：
$\begin{cases}(x-2)^2+(y-0)^2=(x-2)^2+(y-4)^2\\(x-2)^2+(y-0)^2=(x-4)^2+(y-6)^2\end{cases}$
化简第一个方程：
左右两边消去$(x-2)^2$，得$y^2 = y^2 -8y +16$，移项合并得$8y=16$，解得$y=2$。
将$y=2$代入第二个方程：
$(x-2)^2 + 2^2 = (x-4)^2 + (2-6)^2$
展开整理得：$x^2-4x+8 = x^2-8x+32$，消去$x^2$后移项合并得$4x=24$，解得$x=6$。
【答案】
$\boldsymbol{(6,2)}$
【知识点】
三角形外心的性质，两点间的距离，坐标与图形性质
【点评】
本题属于基础类题目，解题关键是熟记三角形外心的性质，结合坐标特征列方程计算即可，也可通过作两条边的垂直平分线找交点的方法验证结果。
【难度系数】
0.7
5. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$。若$AB=10$，则$△ ABC$的外接圆的半径为。
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形外接圆的相关性质，明确直角三角形的外接圆有特殊规律：因为∠C=90°，根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，因此Rt△ABC的斜边AB就是它外接圆的直径，再根据半径是直径的一半即可求出结果。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，根据直角三角形外接圆的性质可知，直角所对的斜边为外接圆的直径。
已知斜边AB=10，即外接圆直径为10，
因此外接圆的半径为：$10÷2=5$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
1. 三角形外接圆
2. 直角三角形外接圆特征
【点评】
本题属于基础题，重点考查特殊三角形外接圆半径的计算，牢记直角三角形外接圆直径等于斜边长的结论即可快速求解，是三角形外接圆相关考点中的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形外接圆的相关性质，明确直角三角形的外接圆有特殊规律：因为∠C=90°，根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，因此Rt△ABC的斜边AB就是它外接圆的直径，再根据半径是直径的一半即可求出结果。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，根据直角三角形外接圆的性质可知，直角所对的斜边为外接圆的直径。
已知斜边AB=10，即外接圆直径为10，
因此外接圆的半径为：$10÷2=5$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
1. 三角形外接圆
2. 直角三角形外接圆特征
【点评】
本题属于基础题，重点考查特殊三角形外接圆半径的计算，牢记直角三角形外接圆直径等于斜边长的结论即可快速求解，是三角形外接圆相关考点中的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
6. 提升题 如图，在$5×5$的正方形网格中，一条圆弧经过$A,B,C$三点，那么$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角的度数是。
答案
$\boldsymbol{90°}$
解析
【分析】
要确定$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，首先需要找到圆弧所在圆的圆心。根据垂径定理，弦的垂直平分线经过圆心，因此我们可以先作弦AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心；再连接圆心与A、C两点得到圆心角，最后通过勾股定理逆定理判断该角的度数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，以网格左下角为原点建立平面直角坐标系，可得三点坐标：$A(1,3)$，$B(3,3)$，$C(4,2)$。
1. 确定圆心位置：
弦AB为水平线段，中点坐标为$(2,3)$，因此AB的垂直平分线为竖直线$x=2$；
弦BC的中点坐标为$(3.5,2.5)$，BC的斜率为$-1$，则其垂直平分线的斜率为1，可推出BC的垂直平分线方程为$y=x-1$；
联立$x=2$和$y=x-1$，解得圆心$O$的坐标为$(2,1)$。
2. 计算圆心角度数：
连接OA、OC，分别计算三条线段的平方：
$OA^2=(2-1)^2+(1-3)^2=1+4=5$，
$OC^2=(4-2)^2+(2-1)^2=4+1=5$，
$AC^2=(4-1)^2+(2-3)^2=9+1=10$。
由$OA^2+OC^2=AC^2$，根据勾股定理逆定理可得$∠ AOC=90°$，即$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角为$90°$。
【答案】
$\boldsymbol{90°}$
【知识点】
垂径定理，垂直平分线性质，勾股定理逆定理
【点评】
本题结合网格背景考查圆弧圆心的确定及圆心角的计算，解题的关键是利用垂径定理快速定位圆心，再通过勾股定理逆定理判断角度，解题过程中需要细心计算线段长度，避免出错。
【难度系数】
0.7
要确定$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，首先需要找到圆弧所在圆的圆心。根据垂径定理，弦的垂直平分线经过圆心，因此我们可以先作弦AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心；再连接圆心与A、C两点得到圆心角，最后通过勾股定理逆定理判断该角的度数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，以网格左下角为原点建立平面直角坐标系，可得三点坐标：$A(1,3)$，$B(3,3)$，$C(4,2)$。
1. 确定圆心位置：
弦AB为水平线段，中点坐标为$(2,3)$，因此AB的垂直平分线为竖直线$x=2$；
弦BC的中点坐标为$(3.5,2.5)$，BC的斜率为$-1$，则其垂直平分线的斜率为1，可推出BC的垂直平分线方程为$y=x-1$；
联立$x=2$和$y=x-1$，解得圆心$O$的坐标为$(2,1)$。
2. 计算圆心角度数：
连接OA、OC，分别计算三条线段的平方：
$OA^2=(2-1)^2+(1-3)^2=1+4=5$，
$OC^2=(4-2)^2+(2-1)^2=4+1=5$，
$AC^2=(4-1)^2+(2-3)^2=9+1=10$。
由$OA^2+OC^2=AC^2$，根据勾股定理逆定理可得$∠ AOC=90°$，即$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角为$90°$。
【答案】
$\boldsymbol{90°}$
【知识点】
垂径定理，垂直平分线性质，勾股定理逆定理
【点评】
本题结合网格背景考查圆弧圆心的确定及圆心角的计算，解题的关键是利用垂径定理快速定位圆心，再通过勾股定理逆定理判断角度，解题过程中需要细心计算线段长度，避免出错。
【难度系数】
0.7
7.如图，在正方形网格（网格中小正方形的边长均为1）中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A，B，C，O为坐标原点。
(1)该圆弧所在圆的圆心P的坐标为。
(2)$\odot P$的半径为（结果保留根号）。
(3)点$M(7,-1)$在$\odot P$（填“上”“内”或“外”）。
(1)该圆弧所在圆的圆心P的坐标为。
(2)$\odot P$的半径为（结果保留根号）。
(3)点$M(7,-1)$在$\odot P$（填“上”“内”或“外”）。
答案
解：
(1) 由格点坐标得$A(0,3)$，$B(4,3)$，$C(6,1)$，分别作弦$AB$、$BC$的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心$P$，可得圆心$P$的坐标为$\boldsymbol{(2,-1)}$。
(2) $\odot P$的半径为：
$PA=\sqrt{(2-0)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$
(3) 点$M(7,-1)$到圆心$P$的距离为：
$PM=\sqrt{(7-2)^2+(-1+1)^2}=5$
因为$5^2=25$，$(2\sqrt{5})^2=20$，$25＞20$，即点$M$到圆心的距离大于半径，所以点$M$在$\odot P$外。
(1) 由格点坐标得$A(0,3)$，$B(4,3)$，$C(6,1)$，分别作弦$AB$、$BC$的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心$P$，可得圆心$P$的坐标为$\boldsymbol{(2,-1)}$。
(2) $\odot P$的半径为：
$PA=\sqrt{(2-0)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$
(3) 点$M(7,-1)$到圆心$P$的距离为：
$PM=\sqrt{(7-2)^2+(-1+1)^2}=5$
因为$5^2=25$，$(2\sqrt{5})^2=20$，$25＞20$，即点$M$到圆心的距离大于半径，所以点$M$在$\odot P$外。
解析
【分析】
解题思路如下：(1)根据圆的性质，圆心到圆上各点距离相等，因此圆心是任意两条弦的垂直平分线的交点。首先确定格点A、B、C的坐标，分别作出弦AB、BC的垂直平分线，两条线的交点即为圆心P。(2)求半径即计算圆心P到圆上任意一点（如A点）的距离，使用两点间距离公式计算即可。(3)判断点M与圆的位置关系，只需计算点M到圆心P的距离，再与半径比较大小：若距离大于半径则点在圆外，等于半径则在圆上，小于半径则在圆内。
【解析】
(1) 首先根据网格得三个点坐标：$A(0,3)$，$B(4,3)$，$C(6,1)$。
弦AB为水平线段，中点坐标为$(2,3)$，AB的垂直平分线为直线$x=2$；
求弦BC的垂直平分线：BC中点为$(5,2)$，BC的斜率为$\frac{1-3}{6-4}=-1$，故其垂直平分线的斜率为1，可得垂直平分线解析式为$y-2=x-5$，即$y=x-3$。
联立$x=2$和$y=x-3$，解得$x=2,y=-1$，即圆心P的坐标为$(2,-1)$。
(2) 根据两点间距离公式，$\odot P$的半径$PA=\sqrt{(2-0)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
(3) 计算点$M(7,-1)$到圆心P的距离：$PM=\sqrt{(7-2)^2+(-1+1)^2}=\sqrt{25}=5$。
半径的平方为$(2\sqrt{5})^2=20$，$5^2=25＞20$，即$PM＞r$，因此点M在$\odot P$外。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,-1)}$；(2) $\boldsymbol{2\sqrt{5}}$；(3) $\boldsymbol{外}$
【知识点】
垂径定理；两点间的距离公式；点与圆的位置关系
【点评】
本题结合网格考查圆的基本性质与点和圆的位置关系，解题的核心是掌握圆心在弦的垂直平分线上这一性质，同时熟练运用两点间距离公式进行计算，侧重对基础知识点的综合应用考查。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：(1)根据圆的性质，圆心到圆上各点距离相等，因此圆心是任意两条弦的垂直平分线的交点。首先确定格点A、B、C的坐标，分别作出弦AB、BC的垂直平分线，两条线的交点即为圆心P。(2)求半径即计算圆心P到圆上任意一点（如A点）的距离，使用两点间距离公式计算即可。(3)判断点M与圆的位置关系，只需计算点M到圆心P的距离，再与半径比较大小：若距离大于半径则点在圆外，等于半径则在圆上，小于半径则在圆内。
【解析】
(1) 首先根据网格得三个点坐标：$A(0,3)$，$B(4,3)$，$C(6,1)$。
弦AB为水平线段，中点坐标为$(2,3)$，AB的垂直平分线为直线$x=2$；
求弦BC的垂直平分线：BC中点为$(5,2)$，BC的斜率为$\frac{1-3}{6-4}=-1$，故其垂直平分线的斜率为1，可得垂直平分线解析式为$y-2=x-5$，即$y=x-3$。
联立$x=2$和$y=x-3$，解得$x=2,y=-1$，即圆心P的坐标为$(2,-1)$。
(2) 根据两点间距离公式，$\odot P$的半径$PA=\sqrt{(2-0)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
(3) 计算点$M(7,-1)$到圆心P的距离：$PM=\sqrt{(7-2)^2+(-1+1)^2}=\sqrt{25}=5$。
半径的平方为$(2\sqrt{5})^2=20$，$5^2=25＞20$，即$PM＞r$，因此点M在$\odot P$外。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,-1)}$；(2) $\boldsymbol{2\sqrt{5}}$；(3) $\boldsymbol{外}$
【知识点】
垂径定理；两点间的距离公式；点与圆的位置关系
【点评】
本题结合网格考查圆的基本性质与点和圆的位置关系，解题的核心是掌握圆心在弦的垂直平分线上这一性质，同时熟练运用两点间距离公式进行计算，侧重对基础知识点的综合应用考查。
【难度系数】
0.7
