典例2 如图，AB是$\odot O$的弦，半径$OD ⊥ AB$，垂足为H，$BC ⊥ AB$，交AD的延长线于点C.
(1)求证:D是AC的中点;
(2)若$AB=6$，$AC=2\sqrt{13}$，求$\odot O$的半径.

典例2
(1)证明 如图，连接BD.
∵AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，
∴D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD.
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴∠BAD + ∠C = 90°，∠ABD + ∠DBC=90°，
∴∠C=∠DBC，
∴BD=CD，
∴AD=CD，即D为AC的中点.
(2)解 如图，连接OA.
∵半径OD⊥AB，垂足为H，AB=6，
∴AH=$\frac{1}{2}AB=3$.
∵D是AC的中点，AC=2√13，
∴AD=√13，
∴DH=√(AD² - AH²)=2.
设OD=OA=r，则OH=r−2.
在Rt△OAH中，OH² + AH²=OA²，
∴(r−2)² + 3²=r²，解得r=$\frac{13}{4}$，
即⊙O的半径为$\frac{13}{4}$.

典例3 如图,AB为$\odot O$的直径,AC为$\odot O$的弦,$∠ ACB$的平分线交$\odot O$于点D.
(1)若$∠ ADC=35°$,求$∠ CAB$的度数；
(2)若$AB=6$,求$△ ABD$的面积.

典例3
解 (1)
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∵∠ADC=35°，
∴∠ABC=∠ADC=35°，
∴∠CAB=90°−∠ABC=90°−35°=55°.
(2)
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=$\frac{1}{2}∠ACB=45°$.
∴AD=BD.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形.
∵AD² + BD²=AB²=36，
∴AD=BD=3√2，
∴$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AD·BD=9$，
即△ABD的面积为9.

典例4 如图，$AO ⊥ OB$，以点$O$为圆心、$OB$为半径作扇形$OAB$，以点$A$为圆心、$AB$为半径作扇形$ABC$，$AC // OB$，$AO=1$，求阴影部分的面积.

典例4
解
∵AO⊥OB，AO=OB=1，
∴AB=√(OA² + OB²)=√(1²+1²)=√2，∠OAB=∠OBA=45°.
∵AC//OB，
∴∠OAC=∠O=90°，
∴∠BAC=90°−45°=45°，
∴$S_{阴影}=S_{△AOB} + S_{扇形BAC} - S_{扇形AOB}=\frac{1}{2}×1×1 + \frac{45π×2}{360} - \frac{90π×1²}{360}=\frac{1}{2}$.