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三、解答题
1. 如图，在方格纸中，只用没有刻度的直尺，按要求画图，保留作图痕迹.
(1)在图7-1中画出以点P为对称中心的$□ ABCD$.
(2)在图7-2中画出$△ ABC$的中线AD.
图7-1
图7-2
1. 如图，在方格纸中，只用没有刻度的直尺，按要求画图，保留作图痕迹.
(1)在图7-1中画出以点P为对称中心的$□ ABCD$.
(2)在图7-2中画出$△ ABC$的中线AD.
图7-1
图7-2
答案
解：
(1) 作图步骤：
① 连接AP，在AP的延长线上截取PC = AP，得到点A关于点P的对称点C；
② 连接BP，在BP的延长线上截取PD = BP，得到点B关于点P的对称点D；
③ 顺次连接AB、BC、CD、DA，所得四边形ABCD即为以点P为对称中心的平行四边形。
(2) 作图步骤：
① 利用方格格点构造以BC为对角线的格点平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质，该平行四边形另一条对角线的交点即为BC边的中点D；
② 连接点A和点D，所得线段AD即为△ABC的中线。
按上述方法作图，保留全部作图痕迹即可。
(1) 作图步骤：
① 连接AP，在AP的延长线上截取PC = AP，得到点A关于点P的对称点C；
② 连接BP，在BP的延长线上截取PD = BP，得到点B关于点P的对称点D；
③ 顺次连接AB、BC、CD、DA，所得四边形ABCD即为以点P为对称中心的平行四边形。
(2) 作图步骤：
① 利用方格格点构造以BC为对角线的格点平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质，该平行四边形另一条对角线的交点即为BC边的中点D；
② 连接点A和点D，所得线段AD即为△ABC的中线。
按上述方法作图，保留全部作图痕迹即可。
解析
【分析】
(1) 要作以点P为对称中心的平行四边形，依据中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点连线过对称中心且被对称中心平分，且平行四边形的对称中心恰好是对角线交点，因此只需作出点A、B关于点P的对称点C、D，顺次连接各点即可得到符合要求的平行四边形。
(2) 要作△ABC的中线AD，首先需要找到BC边的中点D，结合方格纸的格点特征，可利用平行四边形对角线互相平分的性质，构造以BC为对角线的格点平行四边形，两条对角线的交点就是BC的中点，连接点A和该中点即可得到中线AD。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 连接AP，在AP的延长线上截取PC = AP，得到点A关于点P的对称点C；
② 连接BP，在BP的延长线上截取PD = BP，得到点B关于点P的对称点D；
③ 顺次连接AB、BC、CD、DA，所得四边形ABCD即为以点P为对称中心的平行四边形。
(2) 作图步骤：
① 利用方格格点构造以BC为对角线的格点平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质，该平行四边形另一条对角线的交点即为BC边的中点D；
② 连接点A和点D，所得线段AD即为△ABC的中线。
作图时保留全部作图痕迹即可。
【答案】
按解析中所述步骤作图，保留全部作图痕迹即可。
【知识点】
中心对称的性质、平行四边形的性质、三角形中线的定义
【点评】
本题属于网格无刻度直尺作图类题目，需要灵活运用基础几何性质构造所求图形，既考查了对核心几何概念、性质的掌握程度，也锻炼了动手操作能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要作以点P为对称中心的平行四边形，依据中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点连线过对称中心且被对称中心平分，且平行四边形的对称中心恰好是对角线交点，因此只需作出点A、B关于点P的对称点C、D，顺次连接各点即可得到符合要求的平行四边形。
(2) 要作△ABC的中线AD，首先需要找到BC边的中点D，结合方格纸的格点特征，可利用平行四边形对角线互相平分的性质，构造以BC为对角线的格点平行四边形，两条对角线的交点就是BC的中点，连接点A和该中点即可得到中线AD。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 连接AP，在AP的延长线上截取PC = AP，得到点A关于点P的对称点C；
② 连接BP，在BP的延长线上截取PD = BP，得到点B关于点P的对称点D；
③ 顺次连接AB、BC、CD、DA，所得四边形ABCD即为以点P为对称中心的平行四边形。
(2) 作图步骤：
① 利用方格格点构造以BC为对角线的格点平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质，该平行四边形另一条对角线的交点即为BC边的中点D；
② 连接点A和点D，所得线段AD即为△ABC的中线。
作图时保留全部作图痕迹即可。
【答案】
按解析中所述步骤作图，保留全部作图痕迹即可。
【知识点】
中心对称的性质、平行四边形的性质、三角形中线的定义
【点评】
本题属于网格无刻度直尺作图类题目，需要灵活运用基础几何性质构造所求图形，既考查了对核心几何概念、性质的掌握程度，也锻炼了动手操作能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在7×7的方格纸中,每个小正方形的顶点称为格点,△ABC的顶点均在格点上,请按要求画图.
(1)在图8-1中,找一点D,使四边形ABCD是中心对称图形;
(2)在图8-2中,在AC上找一点E,在BC上找一点F,使EF=$\frac{1}{2}$AB.
(1)在图8-1中,找一点D,使四边形ABCD是中心对称图形;
(2)在图8-2中,在AC上找一点E,在BC上找一点F,使EF=$\frac{1}{2}$AB.
答案
解：
(1) 取格点D，使四边形ABCD为平行四边形（答案不唯一），平行四边形是中心对称图形，连接AD、CD，所得点D即为符合要求的点。
(2) 分别取边AC的中点E、边BC的中点F，连接EF，由三角形中位线性质可知$EF=\frac{1}{2}AB$，所得点E、F即为符合要求的点。
(1) 取格点D，使四边形ABCD为平行四边形（答案不唯一），平行四边形是中心对称图形，连接AD、CD，所得点D即为符合要求的点。
(2) 分别取边AC的中点E、边BC的中点F，连接EF，由三角形中位线性质可知$EF=\frac{1}{2}AB$，所得点E、F即为符合要求的点。
解析
【分析】
(1) 要使四边形ABCD是中心对称图形，结合所学知识可知平行四边形是典型的中心对称图形，因此只需构造以A、B、C为其中三个顶点的平行四边形，即可找到符合要求的格点D，构造时可利用平移的方法确定D的位置，答案不唯一。
(2) 要使$EF=\frac{1}{2}AB$，可联想到三角形中位线定理：三角形的中位线长度等于第三边长度的$\frac{1}{2}$，因此只需作出$△ ABC$中平行于AB的中位线，即分别取AC、BC的中点E、F，即可满足要求。
【解析】
(1) 平行四边形属于中心对称图形，因此构造平行四边形ABCD即可：将线段AB沿BC方向平移，使点B与点C重合，平移后点A的对应点就是格点D，连接AD、CD，此时四边形ABCD是平行四边形，为中心对称图形，点D即为所求（答案不唯一）。
(2) 根据三角形中位线定理，三角形的中位线长度等于第三边长度的$\frac{1}{2}$：找到AC边的中点E（格点），BC边的中点F（格点），连接EF，EF是$△ ABC$的中位线，因此$EF=\frac{1}{2}AB$，点E、F即为所求。
【答案】
(1) 构造平行四边形ABCD，画出对应格点D即可（答案不唯一）；
(2) 取AC的中点E、BC的中点F，连接EF，E、F即为所求。
【知识点】
中心对称图形的概念；平行四边形的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题是网格类作图题，侧重考查基础几何性质的应用，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的特征和三角形中位线定理，结合网格的特点快速定位符合要求的点。
【难度系数】
0.75
(1) 要使四边形ABCD是中心对称图形，结合所学知识可知平行四边形是典型的中心对称图形，因此只需构造以A、B、C为其中三个顶点的平行四边形，即可找到符合要求的格点D，构造时可利用平移的方法确定D的位置，答案不唯一。
(2) 要使$EF=\frac{1}{2}AB$，可联想到三角形中位线定理：三角形的中位线长度等于第三边长度的$\frac{1}{2}$，因此只需作出$△ ABC$中平行于AB的中位线，即分别取AC、BC的中点E、F，即可满足要求。
【解析】
(1) 平行四边形属于中心对称图形，因此构造平行四边形ABCD即可：将线段AB沿BC方向平移，使点B与点C重合，平移后点A的对应点就是格点D，连接AD、CD，此时四边形ABCD是平行四边形，为中心对称图形，点D即为所求（答案不唯一）。
(2) 根据三角形中位线定理，三角形的中位线长度等于第三边长度的$\frac{1}{2}$：找到AC边的中点E（格点），BC边的中点F（格点），连接EF，EF是$△ ABC$的中位线，因此$EF=\frac{1}{2}AB$，点E、F即为所求。
【答案】
(1) 构造平行四边形ABCD，画出对应格点D即可（答案不唯一）；
(2) 取AC的中点E、BC的中点F，连接EF，E、F即为所求。
【知识点】
中心对称图形的概念；平行四边形的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题是网格类作图题，侧重考查基础几何性质的应用，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的特征和三角形中位线定理，结合网格的特点快速定位符合要求的点。
【难度系数】
0.75
3. 如图9,正方形ABCD与正方形$A_1B_1C_1D_1$关于某点成中心对称,已知$A,D_1,D$三点的坐标分别是$(0,4),(0,3),(0,2)$.
(1)写出对称中心的坐标;
(2)写出顶点$B,C,B_1,C_1$的坐标.
(1)写出对称中心的坐标;
(2)写出顶点$B,C,B_1,C_1$的坐标.
答案
(1)$(0,\dfrac{5}{2})$ (2)$B(-2,4),C(-2,2),B_1(2,1),C_1(2,3)$
解析
【分析】
(1) 求对称中心可依据中心对称的性质：对称中心是任意一组对应点所连线段的中点，已知D和D₁是一组对应点，直接计算两点连线的中点坐标即可。
(2) 先根据A、D的坐标算出正方形的边长，结合图形中正方形边与坐标轴平行的位置特征写出B、C的坐标；再利用中心对称对应点连线的中点为对称中心的性质，通过中点坐标公式推导得出B₁、C₁的坐标。
【解析】
解：(1) 根据中心对称的性质，对称中心是对应点连线的中点，D(0,2)和D₁(0,3)为一组对应点，设对称中心坐标为$(x,y)$，则：
$x=\frac{0+0}{2}=0$，$y=\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2}$
即对称中心坐标为$(0,\frac{5}{2})$。
(2) 计算正方形边长：A(0,4)、D(0,2)均在y轴上，因此边长$AD=4-2=2$。
由图可知AB水平向左，BC竖直向下，因此：
B点横坐标为$0-2=-2$，纵坐标和A点相同为4，即$B(-2,4)$；
C点横坐标和B点相同为-2，纵坐标和D点相同为2，即$C(-2,2)$。
根据中心对称性质，若点$(x,y)$的对应点为$(x',y')$，则$\frac{x+x'}{2}=0$，$\frac{y+y'}{2}=\frac{5}{2}$，推导得$x'=-x$，$y'=5-y$。
因此B(-2,4)的对应点$B_1$坐标为$(2,5-4)=(2,1)$；
C(-2,2)的对应点$C_1$坐标为$(2,5-2)=(2,3)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(0,\dfrac{5}{2})}$
(2) $\boldsymbol{B(-2,4),C(-2,2),B_1(2,1),C_1(2,3)}$
【知识点】
中心对称的性质，中点坐标公式，正方形的性质
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查中心对称性质在平面直角坐标系中的应用，只要掌握对称中心和对应点的坐标关系，结合图形特征就能顺利解题。
【难度系数】
0.75
(1) 求对称中心可依据中心对称的性质：对称中心是任意一组对应点所连线段的中点，已知D和D₁是一组对应点，直接计算两点连线的中点坐标即可。
(2) 先根据A、D的坐标算出正方形的边长，结合图形中正方形边与坐标轴平行的位置特征写出B、C的坐标；再利用中心对称对应点连线的中点为对称中心的性质，通过中点坐标公式推导得出B₁、C₁的坐标。
【解析】
解：(1) 根据中心对称的性质，对称中心是对应点连线的中点，D(0,2)和D₁(0,3)为一组对应点，设对称中心坐标为$(x,y)$，则：
$x=\frac{0+0}{2}=0$，$y=\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2}$
即对称中心坐标为$(0,\frac{5}{2})$。
(2) 计算正方形边长：A(0,4)、D(0,2)均在y轴上，因此边长$AD=4-2=2$。
由图可知AB水平向左，BC竖直向下，因此：
B点横坐标为$0-2=-2$，纵坐标和A点相同为4，即$B(-2,4)$；
C点横坐标和B点相同为-2，纵坐标和D点相同为2，即$C(-2,2)$。
根据中心对称性质，若点$(x,y)$的对应点为$(x',y')$，则$\frac{x+x'}{2}=0$，$\frac{y+y'}{2}=\frac{5}{2}$，推导得$x'=-x$，$y'=5-y$。
因此B(-2,4)的对应点$B_1$坐标为$(2,5-4)=(2,1)$；
C(-2,2)的对应点$C_1$坐标为$(2,5-2)=(2,3)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(0,\dfrac{5}{2})}$
(2) $\boldsymbol{B(-2,4),C(-2,2),B_1(2,1),C_1(2,3)}$
【知识点】
中心对称的性质，中点坐标公式，正方形的性质
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查中心对称性质在平面直角坐标系中的应用，只要掌握对称中心和对应点的坐标关系，结合图形特征就能顺利解题。
【难度系数】
0.75
