一、选择题
1. △ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是()

A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形

1. B

【分析】
首先回忆三角形内角和为180°的性质，题目给出了三个内角的度数比，我们可以通过设未知数的方法，分别表示出三个内角的度数，再求和列方程求出最大角的度数，根据最大角的类型即可判断三角形的形状。
【解析】
设△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C的度数分别为$x$、$2x$、$3x$。
根据三角形内角和定理，三个内角的和为180°，可得：
$x + 2x + 3x = 180°$
合并同类项得：$6x = 180°$
解得：$x = 30°$
则最大角$∠ C = 3x = 3×30° = 90°$，有一个角是直角的三角形是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形判定
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是利用三角形内角和定理结合角度占比求出各角的度数，再根据最大角的类型判断三角形的类别，熟练掌握基础定理就能快速解题。
【难度系数】
0.9

2. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是()

A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形

2. C

【分析】
解题可从两个符合学段要求的角度切入：①相似三角形角度：三条边同时扩大同一倍数时，新三角形与原三角形三边对应成比例，因此两三角形相似，相似三角形对应角相等，原三角形为直角三角形，因此新三角形也存在直角，即为直角三角形；②勾股定理角度：先利用原直角三角形的勾股关系列式，再验证扩大边长后的三角形是否满足勾股定理逆定理，即可判断形状。
【解析】
方法一：利用勾股定理及逆定理求解
设原直角三角形的两条直角边长为$a$、$b$，斜边长为$c$，根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
设三条边同时扩大的正倍数为$k$，则扩大后的三边长分别为$ka$、$kb$、$kc$。
计算扩大后两条短边的平方和：
$(ka)^2 + (kb)^2 = k^2a^2 + k^2b^2 = k^2(a^2 + b^2) = k^2c^2 = (kc)^2$
根据勾股定理的逆定理，扩大后的三角形满足两边平方和等于第三边的平方，因此是直角三角形。
方法二：利用相似三角形性质求解
三条边长同时扩大同一倍数时，新三角形与原直角三角形的三组对应边比值相等，因此两个三角形相似。
相似三角形对应角相等，原三角形存在直角，因此新三角形也有一个内角为直角，属于直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理及逆定理、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础应用题，两种解题思路都是初中几何的核心基础内容，熟练掌握对应定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

3. 以下四组线段中,不能构成直角三角形的是()

A.3,4,5
B.5,12,13
C.4,5,6
D.8,15,17

3. C

【分析】
本题考查利用勾股定理的逆定理判定直角三角形，解题思路为：对每个选项的三条线段，先确定最长边，再计算两条较短边的平方和，与最长边的平方作比较，若二者相等则能构成直角三角形，反之则不能，据此逐一验证选项即可。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：若三角形三条边$a,b,c$（$c$为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形，逐个分析选项：
选项A：最长边为5，$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，能构成直角三角形；
选项B：最长边为13，$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，能构成直角三角形；
选项C：最长边为6，$4^2+5^2=16+25=41$，$6^2=36$，$41≠36$，不能构成直角三角形；
选项D：最长边为17，$8^2+15^2=64+225=289=17^2$，能构成直角三角形。
综上，符合题意的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股定理逆定理的实际应用，解题时需注意先确定最长边再进行平方和的比较，计算过程细心即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85

4. 如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,AD⊥BC于D,若AB=1,则AD的长为()


A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.2
D.$\sqrt{3}$

4. B

【分析】
解题时先利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半求出斜边BC的长度，再通过勾股定理计算出AC的长度，最后结合三角形面积的两种计算方式（分别以两条直角边为底和高、以斜边和斜边上的高为底和高）建立等式，即可求出AD的长度。也可以先推导∠B的度数，在Rt△ABD中利用直角三角形性质求解，两种方法都符合当前学段知识要求。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AB=1
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BC=2AB=2×1=2$
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
∵AD⊥BC，△ABC的面积可表示为两种形式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}BC·AD$
代入数值可得：
$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{1}{2}×2×AD$
化简得：$\sqrt{3}=2AD$
解得：$AD=\frac{\sqrt{3}}{2}$
【答案】
B
【知识点】
直角三角形30°角性质、勾股定理、三角形面积计算
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题型，利用面积法求解斜边上的高是常用解题技巧，熟练掌握直角三角形的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7

5. 如图2,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$D$为斜边$AC$的中点,$E$为$BD$上一点,$F$为$CE$中点. 若$AE=AD$,$DF=2$,则$BD$的长为()

A.$2\sqrt{2}$
B.$3$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4$

5. D

【分析】
解题时先从已知条件的特殊点入手：首先题干给出直角三角形及斜边中点，可优先考虑直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到BD与AD相等；再观察到D、F分别是AC、CE的中点，符合三角形中位线的判定条件，利用中位线定理可建立DF与AE的数量关系；最后结合已知AE=AD，通过等量代换即可求出BD的长。
【解析】
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，
∵D是斜边AC的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，可得$BD=AD=CD$。
2.
∵D为AC中点，F为CE中点，
∴DF是$△ACE$的中位线，根据三角形中位线定理，得$DF=\frac{1}{2}AE$。
3. 已知$DF=2$，代入得$AE=2DF=2×2=4$。
4. 又
∵$AE=AD$，且已证$BD=AD$，
∴$BD=AD=AE=4$。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、三角形中位线定理
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是结合中点条件灵活运用直角三角形性质和三角形中位线定理，找到各线段之间的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8

二、填空题
1. 直角三角形中一个锐角为$30°$,斜边和最小的边的和为12 cm,则斜边长为.

1. 8 cm

【分析】
解题时首先回忆直角三角形的相关性质：直角三角形中30°锐角所对的直角边等于斜边的一半；再结合三角形“大角对大边，小角对小边”的规律，可判断出30°角所对的直角边是该三角形的最小边；接下来设未知数，根据“斜边和最小的边的和为12cm”列方程求解即可得到斜边长。
【解析】
在直角三角形中，已知一个锐角为30°，根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半。
又因为三角形中“小角对小边”，30°是该三角形最小的内角，因此30°角所对的直角边就是三角形的最小边。
设最小的边长为$x$ cm，则斜边长为$2x$ cm，根据题意列方程：
$x + 2x = 12$
解得$x=4$
因此斜边长为$2x = 2×4 = 8$ cm。
【答案】
8 cm
【知识点】
直角三角形30°角的性质、三角形边角关系、一元一次方程的应用
【点评】
本题是基础应用题，核心考查直角三角形30°角相关性质的运用，解题的关键是准确判断出最小边与斜边的数量关系，结合已知条件列方程计算即可，只要熟练掌握相关性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8

2. 直角三角形两直角边长分别为6 cm和8 cm,则斜边上的中线长为.

2. 5 cm

【分析】
要解决这道题可分两步思考：第一步，已知直角三角形两条直角边的长度，首先用勾股定理求出斜边的长度；第二步，根据直角三角形“斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质，就能算出斜边上的中线长度。
【解析】
解：已知直角三角形两直角边长分别为6 cm和8 cm：
1. 先根据勾股定理计算斜边长度：
斜边 $=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$
2. 再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质计算中线长：
斜边上的中线长 $=\frac{1}{2}×$ 斜边 $=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$
【答案】
5 cm
【知识点】
勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础题，考查直角三角形相关性质的直接应用，熟练掌握对应性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.85

3. 等腰直角三角形斜边上的中线长为4 cm,则其面积为.

3. 16 cm²

【分析】
解题时先从已知条件“直角三角形斜边上的中线长为4cm”入手，首先回忆直角三角形的核心性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可先求出斜边的长度；再结合三角形是等腰直角三角形的特征，利用等腰三角形“三线合一”的性质，可知斜边上的中线同时也是斜边上的高，最后代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
解：
∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，且斜边上的中线长为4cm，
∴等腰直角三角形的斜边长为：$2×4=8\mathrm{cm}$，
又
∵等腰三角形底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一），
∴该等腰直角三角形斜边上的高等于斜边上的中线长，即为4cm，
根据三角形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×8×4=16\mathrm{cm}^2$
【答案】
16 cm²
【知识点】
1.直角三角形斜边中线性质
2.等腰三角形三线合一
3.三角形面积计算
【点评】
本题是基础类题型，重点考查直角三角形和等腰三角形性质的综合运用，解题的关键是明确等腰直角三角形斜边上的中线兼具“等于斜边一半”和“是斜边上的高”两个属性，熟练掌握相关性质即可快速得分。
【难度系数】
0.8

4. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长为。

4. 10 cm

【分析】
本题是直角三角形求边长的基础题型，解题核心是运用勾股定理建立等量关系。首先我们可以通过设未知数表示出斜边和存在长度关系的直角边的长度，再根据勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”列方程，最后解方程舍去不符合实际意义的根即可得到斜边长。
【解析】
解：设斜边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则比斜边短2cm的直角边长为$ (x-2) \, \mathrm{cm} $。
根据勾股定理可得：
$(x-2)^2 + 6^2 = x^2$
展开并整理方程：
$x^2 - 4x + 4 + 36 = x^2$
消去$ x^2 $后化简得：
$-4x + 40 = 0$
解得：$ x = 10 $
边长为正数，$ x=10 $符合实际意义。
【答案】
10 cm
【知识点】
1. 勾股定理
2. 列方程解几何问题
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，通过设未知数列方程的方法即可快速求解，需要熟练掌握勾股定理的公式，同时注意求解出的边长要符合正数的实际要求。
【难度系数】
0.9

5. 将一张长方形纸片ABCD如图3所示折叠，使顶点C落在C'点. 已知AB=2，∠DEC'=30°，则折痕DE的长为.

5. 4

【分析】
解题时先从长方形的性质入手，可得CD的长度与∠C为直角；再根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，可得出∠DEC=∠DEC'=30°；最后利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，即可求出折痕DE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，AB=2，
∴CD=AB=2，∠C=90°，
根据折叠的性质可知：∠DEC=∠DEC'=30°，
在Rt△DEC中，∠C=90°，∠DEC=30°，
由直角三角形的性质可得：$CD = \frac{1}{2}DE$，
∴$DE=2CD=2×2=4$。
【答案】
4
【知识点】
长方形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，将折叠变换和特殊直角三角形的性质结合考查，解题的关键是准确找到折叠前后相等的角和边，熟练运用直角三角形的特殊性质计算边长。
【难度系数】
0.8