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1. 下列关于物体重心的说法错误的是
（
A.重心一定在物体上
B.质地均匀且形状规则的物体的重心是它的几何中心
C.重心可以不在物体上
D.人的重心可能随着人的姿势的改变而改变
（
A
）A.重心一定在物体上
B.质地均匀且形状规则的物体的重心是它的几何中心
C.重心可以不在物体上
D.人的重心可能随着人的姿势的改变而改变
答案
1. A
解析
【分析】
这道题要求选出关于重心说法错误的选项，解题时需结合重心的相关性质，逐个判断每个选项的正误即可。首先要明确核心规律：匀质且形状规则的物体重心与几何中心重合，重心的位置和物体形状有关，既可以在物体上，也可以不在物体上。
【解析】
结合重心的相关性质逐个分析选项：
A选项：重心不一定在物体上，例如均匀的空心圆环，它的重心在圆环的圆心位置，并不在圆环自身上，因此该说法错误，符合题目选错误项的要求；
B选项：质地均匀、形状规则的物体，它的重心与几何中心重合，该说法正确，不符合题意；
C选项：由上述空心圆环的例子可知，重心是可以不在物体上的，该说法正确，不符合题意；
D选项：人的姿势改变时，身体的形状发生变化，重心位置也会随之改变，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
重心的概念、重心的位置规律
【点评】
本题考查对重心基础概念的掌握，属于基础题型，解题时牢记重心的位置特点，结合常见的实例辅助判断即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
这道题要求选出关于重心说法错误的选项，解题时需结合重心的相关性质，逐个判断每个选项的正误即可。首先要明确核心规律：匀质且形状规则的物体重心与几何中心重合，重心的位置和物体形状有关，既可以在物体上，也可以不在物体上。
【解析】
结合重心的相关性质逐个分析选项：
A选项：重心不一定在物体上，例如均匀的空心圆环，它的重心在圆环的圆心位置，并不在圆环自身上，因此该说法错误，符合题目选错误项的要求；
B选项：质地均匀、形状规则的物体，它的重心与几何中心重合，该说法正确，不符合题意；
C选项：由上述空心圆环的例子可知，重心是可以不在物体上的，该说法正确，不符合题意；
D选项：人的姿势改变时，身体的形状发生变化，重心位置也会随之改变，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
重心的概念、重心的位置规律
【点评】
本题考查对重心基础概念的掌握，属于基础题型，解题时牢记重心的位置特点，结合常见的实例辅助判断即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
2. 如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的 （
A.三边中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边高的交点
D.以上结论都不正确
A
）A.三边中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边高的交点
D.以上结论都不正确
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先明确：质地均匀的三角形卡片能被支起保持平衡，说明支撑点是三角形的重心，均匀平面图形的重心就是使其保持平衡的支撑点。接下来回忆三角形各特殊交点的定义：三角形三边中线的交点是重心，三条角平分线交点是内心（到三边距离相等），三边高的交点是垂心，只有重心符合要求，据此即可选出正确选项。
【解析】
解：
∵质地均匀的三角形卡片的支撑平衡点就是该三角形的重心，
又
∵三角形的重心是三角形三条边的中线的交点，
∴支起卡片的点是三边中线的交点，对应A选项。
对其余选项判断如下：
B选项：三条角平分线的交点是三角形的内心，是三角形内切圆的圆心，特征为到三角形三边距离相等，不是重心，故B错误；
C选项：三边高的交点是三角形的垂心，不是重心，故C错误；
D选项：显然A正确，故D错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形重心；三角形特殊交点性质
【点评】
本题结合生活场景考查三角形特殊点的应用，核心是理解均匀几何体的平衡点为其重心，掌握三角形各特殊交点的定义和性质即可快速解题，侧重基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确：质地均匀的三角形卡片能被支起保持平衡，说明支撑点是三角形的重心，均匀平面图形的重心就是使其保持平衡的支撑点。接下来回忆三角形各特殊交点的定义：三角形三边中线的交点是重心，三条角平分线交点是内心（到三边距离相等），三边高的交点是垂心，只有重心符合要求，据此即可选出正确选项。
【解析】
解：
∵质地均匀的三角形卡片的支撑平衡点就是该三角形的重心，
又
∵三角形的重心是三角形三条边的中线的交点，
∴支起卡片的点是三边中线的交点，对应A选项。
对其余选项判断如下：
B选项：三条角平分线的交点是三角形的内心，是三角形内切圆的圆心，特征为到三角形三边距离相等，不是重心，故B错误；
C选项：三边高的交点是三角形的垂心，不是重心，故C错误；
D选项：显然A正确，故D错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形重心；三角形特殊交点性质
【点评】
本题结合生活场景考查三角形特殊点的应用，核心是理解均匀几何体的平衡点为其重心，掌握三角形各特殊交点的定义和性质即可快速解题，侧重基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
3. 下列说法：①三角形中至少有一个内角不小于$60°$；②三角形的重心是三角形三条中线的交点；③周长相等的两个圆面积相等. 其中正确说法的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.0
C
）A.1
B.2
C.3
D.0
答案
3. C
解析
【分析】
本题需要逐一判断3个说法的正确性，进而确定正确说法的个数。解题思路如下：首先利用三角形内角和定理判断①的正误；再根据三角形重心的定义判断②的正误；最后结合圆的周长、面积公式判断③的正误，汇总正确说法的个数即可选出答案。
【解析】
我们对三个说法逐一验证：
1. 验证说法①：假设三角形的三个内角都小于60°，则三个内角的和小于$3×60°=180°$，这与“三角形内角和为$180°$”的定理矛盾，因此三角形中至少有一个内角不小于$60°$，①正确。
2. 验证说法②：根据三角形重心的定义，三角形的重心就是三角形三条中线的交点，②正确。
3. 验证说法③：圆的周长公式为$C=2π r$，若两个圆周长相等，则二者半径$r$相等；圆的面积公式为$S=π r^2$，半径相等的两个圆面积必然相等，因此周长相等的两个圆面积相等，③正确。
综上，3个说法均正确，正确说法的个数是3。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；三角形重心的定义；圆的周长与面积
【点评】
本题属于基础概念辨析题，综合考查了三角形和圆的基础几何知识，侧重对基础定义、定理的识记和简单逻辑推理能力的考查，只要熟练掌握相关基础知识点就能快速作答。
【难度系数】
0.9
本题需要逐一判断3个说法的正确性，进而确定正确说法的个数。解题思路如下：首先利用三角形内角和定理判断①的正误；再根据三角形重心的定义判断②的正误；最后结合圆的周长、面积公式判断③的正误，汇总正确说法的个数即可选出答案。
【解析】
我们对三个说法逐一验证：
1. 验证说法①：假设三角形的三个内角都小于60°，则三个内角的和小于$3×60°=180°$，这与“三角形内角和为$180°$”的定理矛盾，因此三角形中至少有一个内角不小于$60°$，①正确。
2. 验证说法②：根据三角形重心的定义，三角形的重心就是三角形三条中线的交点，②正确。
3. 验证说法③：圆的周长公式为$C=2π r$，若两个圆周长相等，则二者半径$r$相等；圆的面积公式为$S=π r^2$，半径相等的两个圆面积必然相等，因此周长相等的两个圆面积相等，③正确。
综上，3个说法均正确，正确说法的个数是3。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；三角形重心的定义；圆的周长与面积
【点评】
本题属于基础概念辨析题，综合考查了三角形和圆的基础几何知识，侧重对基础定义、定理的识记和简单逻辑推理能力的考查，只要熟练掌握相关基础知识点就能快速作答。
【难度系数】
0.9
4. 如图，$△ ABC$是边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在（
A.线段$DE$上
B.线段$EF$上
C.线段$BE$上
D.线段$FG$上
C
）A.线段$DE$上
B.线段$EF$上
C.线段$BE$上
D.线段$FG$上
答案
4. C
解析
【分析】
要确定△ABC重心的位置，首先回忆三角形重心的核心性质：重心是三角形三条中线的交点，因此重心一定落在三角形的任意一条中线上。解题时我们只需先找到△ABC的一条中线，再对应选项判断即可：首先观察网格特征，可判断点E是AC边的中点，因此线段BE是△ABC的一条中线，由此可得重心必然在线段BE上。
【解析】
解：三角形的重心是三条中线的交点，因此重心一定在三角形的每一条中线上。
观察网格可知，点E是AC边的中点，因此线段BE是△ABC的一条中线，所以△ABC的重心一定在线段BE上，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角形重心的性质，三角形中线的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形重心的基本性质，解题关键是掌握重心是三条中线的交点、必然在中线上这一核心知识点，结合网格快速识别中线即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要确定△ABC重心的位置，首先回忆三角形重心的核心性质：重心是三角形三条中线的交点，因此重心一定落在三角形的任意一条中线上。解题时我们只需先找到△ABC的一条中线，再对应选项判断即可：首先观察网格特征，可判断点E是AC边的中点，因此线段BE是△ABC的一条中线，由此可得重心必然在线段BE上。
【解析】
解：三角形的重心是三条中线的交点，因此重心一定在三角形的每一条中线上。
观察网格可知，点E是AC边的中点，因此线段BE是△ABC的一条中线，所以△ABC的重心一定在线段BE上，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角形重心的性质，三角形中线的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形重心的基本性质，解题关键是掌握重心是三条中线的交点、必然在中线上这一核心知识点，结合网格快速识别中线即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
5. 如图，已知F是$△ ABC$的重心，延长AF交边BC于点D，延长BF交边AC于点E，记$△ ABF$的面积为$S_1$，四边形CDFE的面积为$S_2$，则$S_1$与$S_2$的大小关系是（
A.$S_1=S_2$
B.$S_1＞S_2$
C.$S_1＜S_2$
D.无法确定
A
）A.$S_1=S_2$
B.$S_1＞S_2$
C.$S_1＜S_2$
D.无法确定
答案
5. A
解析
【分析】首先根据三角形重心的定义，可知AD、BE都是△ABC的中线，D、E分别是BC、AC的中点。根据三角形中线的性质，中线可将三角形分成面积相等的两部分（等底同高的三角形面积相等），由此可得△ABE和△ADC的面积均为△ABC面积的一半，即二者面积相等。观察两个三角形的组成，二者包含公共部分△AEF，将两个面积相等的三角形同时减去公共部分，即可得到$S_1$和$S_2$的大小关系。
【解析】
解：
∵F是△ABC的重心，
∴AD、BE是△ABC的中线，即E为AC中点，D为BC中点。
根据三角形中线的性质：等底同高的三角形面积相等，中线平分三角形的面积，
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∴$S_{△ ABE}=S_{△ ADC}$。
又
∵$S_{△ ABE}=S_1+S_{△ AEF}$，$S_{△ ADC}=S_2+S_{△ AEF}$，
两式同时减去公共部分$S_{△ AEF}$，可得$S_1=S_2$。
【答案】A
【知识点】三角形重心定义；三角形中线面积性质
【点评】本题重点考查三角形重心和中线的相关性质，解题的突破口是利用中线平分三角形面积得到两个等面积的大三角形，再通过减去公共部分快速得到所求面积的关系，解题时要注意观察图形的重叠部分，可有效简化推导过程。
【难度系数】0.7
【解析】
解：
∵F是△ABC的重心，
∴AD、BE是△ABC的中线，即E为AC中点，D为BC中点。
根据三角形中线的性质：等底同高的三角形面积相等，中线平分三角形的面积，
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∴$S_{△ ABE}=S_{△ ADC}$。
又
∵$S_{△ ABE}=S_1+S_{△ AEF}$，$S_{△ ADC}=S_2+S_{△ AEF}$，
两式同时减去公共部分$S_{△ AEF}$，可得$S_1=S_2$。
【答案】A
【知识点】三角形重心定义；三角形中线面积性质
【点评】本题重点考查三角形重心和中线的相关性质，解题的突破口是利用中线平分三角形面积得到两个等面积的大三角形，再通过减去公共部分快速得到所求面积的关系，解题时要注意观察图形的重叠部分，可有效简化推导过程。
【难度系数】0.7
6. 如图，在$6× 6$的正方形网格中，$\mathrm{Rt}△ ABC$的三个顶点都在格点上. 用无刻度的直尺作出$△ ABC$的重心$P$（保留作图痕迹，不要求写作法）.
答案
解 如图，点P即为所求.
解析
【分析】
解题时首先明确三角形重心的定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点，因此只需作出三角形的任意两条中线，二者的交点就是重心。结合6×6网格的特点，格点线段的中点可通过数格子的方式快速确定，先找到△ABC两条边的中点，再分别连接中点与对边的顶点得到两条中线，两条中线的交点即为所求重心。
【解析】
第一步：根据网格格点的特征，找到BC边的中点F、AC边的中点E；
第二步：连接AF、BE，两条线段的交点就是△ABC的重心P，保留作图的虚线痕迹即可。
【答案】
如图，点P即为所求.
【知识点】
三角形重心的概念，三角形中线的概念，格点作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，主要考查对三角形重心定义的理解，以及利用网格特点完成作图的能力，解题的核心是牢记重心为三角形三条中线的交点，准确找到边的中点是作图的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确三角形重心的定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点，因此只需作出三角形的任意两条中线，二者的交点就是重心。结合6×6网格的特点，格点线段的中点可通过数格子的方式快速确定，先找到△ABC两条边的中点，再分别连接中点与对边的顶点得到两条中线，两条中线的交点即为所求重心。
【解析】
第一步：根据网格格点的特征，找到BC边的中点F、AC边的中点E；
第二步：连接AF、BE，两条线段的交点就是△ABC的重心P，保留作图的虚线痕迹即可。
【答案】
如图，点P即为所求.
【知识点】
三角形重心的概念，三角形中线的概念，格点作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，主要考查对三角形重心定义的理解，以及利用网格特点完成作图的能力，解题的核心是牢记重心为三角形三条中线的交点，准确找到边的中点是作图的关键。
【难度系数】
0.8
