登录
1. 如图5,某人欲横渡一条河,由于水流的影响,实际上岸地点$C与原定到达点B偏离了200m$,结果他在水中实际游了$520m$,求该河流的宽度。
答案
480 m
解析
在直角三角形$ABC$中，$\angle ABC = 90°$，$BC=200\,m$，$AC=520\,m$。
由勾股定理得：$AB^2 + BC^2 = AC^2$
所以$AB^2 = AC^2 - BC^2 = 520^2 - 200^2$
$AB^2=(520 - 200)(520 + 200)=320×720=230400$
$AB=\sqrt{230400}=480\,m$
答：该河流的宽度为$480\,m$。
由勾股定理得：$AB^2 + BC^2 = AC^2$
所以$AB^2 = AC^2 - BC^2 = 520^2 - 200^2$
$AB^2=(520 - 200)(520 + 200)=320×720=230400$
$AB=\sqrt{230400}=480\,m$
答：该河流的宽度为$480\,m$。
2. 勾股定理是人类最早发现、应用最为广泛的一条定理。汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,画了一幅如图6所示“赵爽弦图”(边长为$c$的大正方形中放四个全等的直角三角形,两直角边长分别为$a$,$b$,斜边长为$c$)。
(1)如图6,请用两种不同方法表示图中阴影部分面积。
方法1：$S_{阴影} = $
方法2：$S_{阴影} = $
根据以上信息,可以得到等式：
(2)小亮将“弦图”中的$4$个三角形进行了运动变换,得到图7,请利用图7证明勾股定理。
(3)如图8,将图7的$2$个三角形进行了运动变换,若$a = 6$,$b = 3$,求阴影部分的面积。
(1)如图6,请用两种不同方法表示图中阴影部分面积。方法1：$S_{阴影} = $
$(a-b)^{2}$
；方法2：$S_{阴影} = $
$c^{2}-2ab$
；根据以上信息,可以得到等式：
$c^{2}=b^{2}+a^{2}$
。(2)小亮将“弦图”中的$4$个三角形进行了运动变换,得到图7,请利用图7证明勾股定理。
$\because S_{大正方形}=S_{阴影正方形}+4S_{\triangle }$即$(a+b)^{2}=c^{2}+4\cdot \frac {1}{2}ab$ 整理得$a^{2}+2ab+b^{2}=c^{2}+2ab$ 故$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
(3)如图8,将图7的$2$个三角形进行了运动变换,若$a = 6$,$b = 3$,求阴影部分的面积。
27
答案
(1)$(a-b)^{2}$ $c^{2}-2ab$ $c^{2}=b^{2}+a^{2}$
(2)$\because S_{大正方形}=S_{阴影正方形}+4S_{\triangle }$即$(a+b)^{2}=c^{2}+4\cdot \frac {1}{2}ab$ 整理得$a^{2}+2ab+b^{2}=c^{2}+2ab$ 故$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
(3)27
