【例题】如图,在正方形ABCD中,已知P是BC上的点,且BP= 3PC,Q是CD的中点,能判断△ADQ∽△QCP吗?说明理由.

【思路点拨】△ADQ与△QCP中已有直角对应相等,条件中告诉了边与边之间的关系,判断两个三角形是否相似,就是看构成直角的两边是否成比例.
【解答】
【学法点睛】当两个三角形中已有一角对应相等时,要判断两个三角形相似,可找夹这个角的两边是否对应成比例.这就是判定定理2:"两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似",此定理可类比全等三角形的"SAS"定理.

能判断$\triangle ADQ\sim\triangle QCP$。
理由如下：
设正方形$ABCD$的边长为$a$。
因为$BP = 3PC$，所以$PC=\frac{1}{4}a$，又$Q$是$CD$的中点，则$DQ = CQ=\frac{1}{2}a$，$AD = a$。
在$\triangle ADQ$和$\triangle QCP$中，$\angle D=\angle C = 90^{\circ}$，且$\frac{AD}{QC}=\frac{a}{\frac{1}{2}a}=2$，$\frac{DQ}{PC}=\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{4}a}=2$。
所以$\frac{AD}{QC}=\frac{DQ}{PC}$。
根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得$\triangle ADQ\sim\triangle QCP$。

1. 如图①,D,E分别是△ABC的AB,AC上的点,能使△ADE∽△ACB的条件是 ()

A.$\frac{AD}{AB}= \frac{AE}{EC}$
B.$AD\cdot AB= AE\cdot AC$
C.$\frac{AD}{BD}= \frac{DE}{BC}$
D.$AD\cdot EC= AE\cdot DB$

B

对于选项A，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{EC}$，因为$EC\neq AC$，所以该比例式不能得出$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，根据相似三角形的判定定理，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，这里夹角是$\angle A$，但此比例式不能转化为$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$形式来判定$\triangle ADE$与$\triangle ACB$相似，所以A选项错误。
对于选项B，由$AD\cdot AB = AE\cdot AC$，可得$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，又因为$\angle A$是$\triangle ADE$与$\triangle ACB$的公共角，即$\angle A=\angle A$，根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，所以$\triangle ADE\sim\triangle ACB$，B选项正确。
对于选项C，$\frac{AD}{BD}=\frac{DE}{BC}$，$\angle A$不是这两组对应边的夹角，不满足相似三角形的判定定理，不能判定$\triangle ADE$与$\triangle ACB$相似，所以C选项错误。
对于选项D，$AD\cdot EC = AE\cdot DB$，变形可得$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，不满足相似三角形的判定条件，不能判定$\triangle ADE$与$\triangle ACB$相似，所以D选项错误。

2. 如图②,点M在BC上,点N在AM上,CM= CN,$\frac{AM}{AN}= \frac{BM}{CN}$,下列结论正确的是 ()

A.△ABM∽△ACB
B.△ANC∽△AMB
C.△ANC∽△ACM
D.△CMN∽△BCA

∵CM=CN，
∴∠CMN=∠CNM（等边对等角）。
∵∠CMN=∠AMC（公共角），
∴∠AMC=∠CNM。
∵A，N，M共线，
∴∠CNM+∠ANC=180°（平角定义）。
∵B，M，C共线，
∴∠AMC+∠AMB=180°（平角定义）。
∴∠ANC=∠AMB（同角的补角相等）。
∵$\frac{AM}{AN}=\frac{BM}{CN}$，CM=CN，
∴$\frac{AM}{AN}=\frac{BM}{CM}$，即$\frac{AN}{CN}=\frac{AM}{BM}$。
在△ANC和△AMB中，$\frac{AN}{AM}=\frac{CN}{BM}$，∠ANC=∠AMB，
∴△ANC∽△AMB（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
B

3. 下列条件中,能判断△ABC与△A'B'C'相似的个数是 ()
①△ABC的两边长分别是2 cm和5 cm,△A'B'C'的两边长分别是6 cm和15 cm,夹角都是60°;②△ABC的三边长分别是2,3,4,△A'B'C'的三边长分别是4,6,8;③腰长都是4 cm,有一个角是80°的两个等腰三角形;④△ABC和△A'B'C'中,∠C= ∠C'= 90°,AB= 3,AC= 2,A'B'= 1.5,A'C'= 1.
A.1
B.2
C.3
D.4

① 对于△ABC和△A'B'C'，已知两边长分别是2 cm和5 cm与6 cm和15 cm，夹角都是60°。
由于$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ 且 $\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$，且夹角相等，所以根据相似三角形的判定定理(SAS)，△ABC与△A'B'C'相似。
② 对于△ABC和△A'B'C'，三边长分别是2,3,4与4,6,8。
由于$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$，$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ 且 $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$，三边对应成比例，所以根据相似三角形的判定定理(SSS)，△ABC与△A'B'C'相似。
③ 对于腰长都是4 cm，有一个角是80°的两个等腰三角形，没有指明这个角是顶角还是底角，所以不能确定两个三角形是否相似。
④ 对于△ABC和△A'B'C'，已知∠C= ∠C'= 90°，AB= 3，AC= 2，A'B'= 1.5，A'C'= 1。
由于$\frac{AB}{A'B'} = \frac{3}{1.5} = 2$，$\frac{AC}{A'C'} = \frac{2}{1} = 2$，且$\angle C = \angle C' = 90^\circ$，所以根据相似三角形的判定定理(HL)，△ABC与△A'B'C'相似（在直角三角形中，如果一条直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形相似）。
综上，能判断△ABC与△A'B'C'相似的有①②④，共3个。
故答案为：C. 3。