6. 如图,点$A,C是双曲线y= \frac{k}{x}与直线y= -x+(k+1)$的交点,其中点$A$位于第四象限,$AB垂直x轴于点B$,且$Rt\triangle AOB的面积等于\frac{3}{2}$.
(1)求这两个函数的表达式;
(2)已知$A,C两点的纵坐标分别为-3,1$,求点$A,C的坐标及\triangle AOC$的面积.

(1)反比例函数$y=-\frac{3}{x}$，一次函数$y=-x-2$；(2)$A(1,-3)$，$C(-3,1)$，$\triangle AOC$面积$4$。

(1)设点$A(a,b)$，$a＞0$，$b＜0$，$AB\perp x$轴于$B$，则$OB=a$，$AB=-b$。
$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}\cdot OB\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot a\cdot (-b)=\frac{3}{2}$，即$-ab=3$。
点$A$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，$b=\frac{k}{a}\Rightarrow ab=k$，故$k=-3$。
反比例函数：$y=-\frac{3}{x}$；一次函数：$y=-x+(-3+1)=-x-2$。
(2)点$A$纵坐标$-3$，代入$y=-\frac{3}{x}$：$-3=-\frac{3}{x}\Rightarrow x=1$，$A(1,-3)$。
点$C$纵坐标$1$，代入$y=-\frac{3}{x}$：$1=-\frac{3}{x}\Rightarrow x=-3$，$C(-3,1)$。
直线$AC$：$y=-x-2$，与$x$轴交于$D(-2,0)$。
$S_{\triangle AOC}=S_{\triangle COD}+S_{\triangle AOD}=\frac{1}{2}×2×1+\frac{1}{2}×2×3=4$。

7. 如下图中的曲线是反比例函数$y= \frac{m-5}{x}$($m$为常数)图象的一支.
(1)这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数$m$的取值范围是什么？
(2)若该函数的图象与正比例函数$y= 2x的图象在第一象限内的交点为A$,过$A点作x$轴的垂线,垂足为$B$,当$\triangle OAB$的面积为4时,求点$A$的坐标及反比例函数的表达式.

(1) 第三象限；$m＞5$
(2) 点$A$的坐标为$(2,4)$；反比例函数的表达式为$y= \frac{8}{x}$

(1)反比例函数的图象是中心对称图形，已知一支在第一象限，则另一支必然在第三象限。
对于反比例函数$y= \frac{m-5}{x}$，要使其图象在第一、三象限，则$m-5＞0$，解得$m＞5$。
(2)设$A$点坐标为$(x,y)$，且$x＞0,y＞0$。
因为$AB$垂直于$x$轴，垂足为$B$，所以$B$点坐标为$(x,0)$。
$\triangle OAB$的底为$OB$，即$x$，高为$AB$，即$y$。
根据三角形面积公式，有$\frac{1}{2}xy=4$，即$xy=8$。
又因为$A$点在反比例函数$y= \frac{m-5}{x}$上，所以$y= \frac{m-5}{x}$，即$xy=m-5$。
由$xy=8$和$xy=m-5$，可得$m-5=8$，解得$m=13$。
将$m=13$代入反比例函数，得$y= \frac{8}{x}$。
又因为$A$点同时在正比例函数$y=2x$上，所以联立方程$\begin{cases}y= \frac{8}{x} \\y=2x\end{cases}$，
解得$x=2,y=4$（负值舍去，因为$A$在第一象限）。
所以，点$A$的坐标为$(2,4)$，反比例函数的表达式为$y= \frac{8}{x}$。