10.(黄石)若$a,b是关于x的一元二次方程x^{2}+nx-1= 0$的两个实数根,则式子$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值是 ()
A.$n^{2}+2$
B.$-n^{2}+2$
C.$n^{2}-2$
D.$-n^{2}-2$

D

由于$a$和$b$是方程$x^{2} + nx - 1 = 0$的两个实数根，根据根与系数的关系可得：$a + b = -n$，$ab = -1$。
需要求$\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$，将其化简为：
$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} = \frac{a^{2} + b^{2}}{ab}$，
根据平方和公式$a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab$，代入已知条件：
$a^{2} + b^{2} = (-n)^{2} - 2(-1) = n^{2} + 2$，
因此：
$\frac{a^{2} + b^{2}}{ab} = \frac{n^{2} + 2}{-1} = -n^{2} - 2$。

11.(南昌)方程$x(x-1)= x$的解是.

$x(x - 1) = x$
$x(x - 1) - x = 0$
$x(x - 1 - 1) = 0$
$x(x - 2) = 0$
$x = 0 \quad 或 \quad x - 2 = 0$
$x_{1} = 0, \quad x_{2} = 2$
故答案为：$x_{1} = 0, x_{2} = 2$

12.(枣庄)已知$x_{1},x_{2}是方程x^{2}-3x-2= 0$的两个实根,则$(x_{1}-2)(x_{2}-2)= $.

-4（根据题目要求，此处仅填写最终数值结果）

根据二次方程的性质，对于方程 $ax^{2} + bx + c = 0$ 的两个根 $x_{1}$ 和 $x_{2}$，有：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a}$，
$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}$，
对于给定的方程 $x^{2} - 3x - 2 = 0$，其系数 $a = 1, b = -3, c = -2$。
所以，
$x_{1} + x_{2} = -\frac{-3}{1} = 3$，
$x_{1}x_{2} = \frac{-2}{1} = -2$，
接下来，计算 $(x_{1} - 2)(x_{2} - 2)$：
$(x_{1} - 2)(x_{2} - 2) = x_{1}x_{2} - 2(x_{1} + x_{2}) + 4$，
代入 $x_{1} + x_{2} = 3$ 和 $x_{1}x_{2} = -2$，得到：
$(x_{1} - 2)(x_{2} - 2) = -2 - 2 × 3 + 4 = -4$。

13.(常州)已知一元二次方程$x^{2}-2x-1= 0的两个根是x_{1},x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}=$,$x_{1}x_{2}=$,$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=$.

2；-1；6

对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$，根据韦达定理，根的和$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，根的积$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
已知方程$x^{2}-2x-1=0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-1$。
所以$x_{1}+x_{2}=-\frac{-2}{1}=2$；
$x_{1}x_{2}=\frac{-1}{1}=-1$。
又因为$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$，
将$x_{1}+x_{2}=2$，$x_{1}x_{2}=-1$代入可得：
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2^{2}-2×(-1)=4 + 2=6$。

14.(呼和浩特)已知$x_{1}和x_{2}为一元二次方程2x^{2}-2x+3m-1= 0$的两个实数根,并且$x_{1}和x_{2}满足不等式\frac{x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}-4}＜1$,则实数$m$的取值范围为.

∵x₁和x₂为一元二次方程2x²-2x+3m-1=0的两个实数根，
∴判别式Δ=(-2)²-4×2×(3m-1)=4-8(3m-1)=12-24m≥0，解得m≤1/2。
由韦达定理得：x₁+x₂=2/2=1，x₁x₂=(3m-1)/2。
代入不等式(x₁x₂)/(x₁+x₂-4)＜1，分母x₁+x₂-4=1-4=-3，
则[(3m-1)/2]/(-3)＜1，即-(3m-1)/6＜1，
两边乘6：-(3m-1)＜6，-3m+1＜6，-3m＜5，解得m＞-5/3。
综上，-5/3＜m≤1/2。
-5/3＜m≤1/2

15.(济宁)关于$x的一元二次方程x^{2}-k^{2}x-4k-3= 0的两个实数根为x_{1},x_{2}$,如果$(x_{1}-1)(x_{2}-1)= 1$,那么$k= $.

答题卡：
解：
由一元二次方程的性质，我们有：
$x_{1} + x_{2} = k^{2}$
$x_{1}x_{2} = -4k-3$
根据题意，我们有：
$(x_{1}-1)(x_{2}-1) = 1$
展开得：
$x_{1}x_{2} - (x_{1} + x_{2}) + 1 = 1$
代入$x_{1} + x_{2}$和$x_{1}x_{2}$的值，我们得到：
$-4k-3 - k^{2} + 1 = 1$
整理得：
$k^{2} + 4k + 3 = 0$
解这个一元二次方程，我们得到：
$k = -1$ 或 $k = -3$
当$k = -1$时，原方程为$x^{2} - x - 4 + 3 = 0$，即$x^{2} - x - 1 = 0$，判别式$\Delta = 1^{2} - 4 × 1 × (-1) = 5 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，符合题意。
当$k = -3$时，原方程为$x^{2} - 9x + 9 = 0$，判别式$\Delta = 9^{2} - 4 × 1 × 9 = 45 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，符合题意。
所以$k$的值为$-1$或$-3$。

16.(泰安)用配方法解方程：$6x^{2}-x-12= 0$.

1. 方程两边同除以6，得$x^{2}-\frac{1}{6}x - 2 = 0$；
2. 移项，得$x^{2}-\frac{1}{6}x = 2$；
3. 配方，在等式两边同时加上$(\frac{1}{12})^{2}$，得$x^{2}-\frac{1}{6}x + (\frac{1}{12})^{2}=2 + (\frac{1}{12})^{2}$，即$(x - \frac{1}{12})^{2}=\frac{289}{144}$；
4. 开平方，得$x - \frac{1}{12}=\pm\frac{17}{12}$；
5. 解得$x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=-\frac{4}{3}$。
$x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=-\frac{4}{3}$

17.(中山)已知关于$x的方程x^{2}+(m+2)x+2m-1= 0$.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)当$m$为何值时,方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解.

(1)证明见解析，方程有两个不相等的实数根；
(2)当$m=-2$时，方程的两根互为相反数，此时方程的解为$x=\pm\sqrt{5}$。

(1)证明：对于方程$x^{2}+(m+2)x+2m-1=0$，其判别式$\Delta$为：
$\Delta=(m+2)^{2}-4×1×(2m-1)$
$=m^{2}+4m+4-8m+4$
$=m^{2}-4m+8$
$=(m-2)^{2}+4$
由于$(m-2)^{2}\geq 0$，所以$(m-2)^{2}+4 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$。
因此，方程有两个不相等的实数根。
(2)设方程的两根为$x_1$和$x_2$，根据根与系数的关系，我们有：
$x_1+x_2=-(m+2)$
$x_1x_2=2m-1$
由于$x_1$和$x_2$互为相反数，所以$x_1+x_2=0$，代入上式得：
$-(m+2)=0$
解得：$m=-2$。
当$m=-2$时，原方程变为：
$x^{2}-5=0$
解得：$x=\pm\sqrt{5}$。

18.(郴州)如图是一个三角点阵,第一行有1个点,第二行有2个点……
(1)这个三角点阵中,前多少行的点数和是276？
(2)这个三角点阵中,前$n$行的点数和可能是600吗？如果可能,求出正整数$n$的值；如果不可能,请说明理由.

(1)前$23$行的点数和是$276$；
(2)不可能。

(1)前$n$行点数和为$1 + 2 + 3+\cdots + n=\frac{n(n + 1)}{2}$。
当$\frac{n(n + 1)}{2}=276$时，$n^{2}+n - 552 = 0$，
因式分解得$(n - 23)(n + 24)=0$，
解得$n = 23$或$n=-24$（舍去）。
(2)当$\frac{n(n + 1)}{2}=600$时，$n^{2}+n - 1200 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，在$n^{2}+n - 1200 = 0$中，$a = 1$，$b = 1$，$c=-1200$，
则$\Delta=1^{2}-4×1×(-1200)=1 + 4800 = 4801$，
$n=\frac{-1\pm\sqrt{4801}}{2}$，$\sqrt{4801}$不是整数，所以$n$不是正整数。