3. 如图所示,为了测量水池两边 $A$,$B$ 间的距离,可以先过点 $A$ 作射线 $AE$,再过点 $B$ 作 $BD\perp AE$ 于点 $D$,在 $AD$ 延长线上截取 $DC = AD$,连接 $BC$,则 $BC$ 的长就是 $A$,$B$ 间的距离,以此来判断 $\triangle ABD\cong \triangle CBD$ 的理由是()。

A.$SSS$
B.$SAS$
C.$ASA$
D.$AAS$

B

证明：
∵ $BD \perp AE$，
∴ $\angle ADB = \angle CDB = 90°$。
∵ $DC = AD$，且 $BD = BD$，
∴ $\triangle ABD \cong \triangle CBD$（SAS）。
B

4. 小丽与爸妈在公园里荡秋千,如图,小丽坐在秋千的起始位置 $A$ 处,$OA$ 与地面垂直,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面 $1\ m$ 高的 $B$ 处接住她后用力一推,爸爸在 $C$ 处接住她。若妈妈与爸爸到 $OA$ 的水平距离 $BD$,$CE$ 分别为 $1.4\ m$ 和 $1.8\ m$,$\angle BOC = 90^{\circ}$。爸爸在 $C$ 处接住小丽时,小丽距离地面的高度是多少？

解:由题意可知∠CEO=∠BDO=90°,OB=OC。又因为∠BOC=90°,
　所以∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD =90°,
　所以∠COE=∠OBD。
　在△COE和△OBD中，
　　∠COE=∠OBD,
　　∠CEO=∠ODB,
　　OC=OB,
　所以△COE≌△OBD(AAS),
　所以CE=OD,OE=BD。
　因为BD=1.4m,CE=1.8m,
　所以DE=OD−OE=CE−BD=1.8−1.4=0.4(m)。
　因为AD=1m,
　所以AE=AD+DE=1+0.4=1.4(m),
　所以爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是1.4m。

5. 如图,要测量湖中小岛 $E$ 距岸边 $A$ 和 $D$ 的距离,作法如下：
① 任意作一条线段 $AB$,取其中点 $O$；
② 连接 $DO$ 并延长,使 $DO = CO$；
③ 连接 $BC$；
④ 用仪器测量点 $E$,$O$ 在一条线上,并交 $CB$ 于点 $F$,要测量 $AE$,$DE$,只需测量 $BF$,$CF$ 即可。为什么？

解:因为点O是AB的中点，所以AO=BO。
　因为∠AOD=∠BOC,DO=CO,
　所以△AOD≌△BOC(SAS),
　所以∠ADC=∠BCD。
　又因为DO=CO,∠EOD=∠COF,
　所以△COF≌△DOE(ASA),
　所以DE=CF。
　同理可得△AOE≌△BOF,
　所以AE=BF。
　故要测量AE，DE,只需测量BF，CF即可。

6. 为了测量一条两岸平行的河流宽度,由于跨河测量困难,所以,三个数学研究小组设计了不同的方案,他们在河南岸的点 $B$ 处,测得河北岸的一棵树底部 $A$ 点恰好在点 $B$ 的正北方向,测量方案如下表：
|课题|工具|小组|测量方案|测量示意图|
|测量河流宽度|测量角度的仪器(仪器的高度忽略不计)、标杆、皮尺等|第一小组|观测者从 $B$ 点向正东走到 $C$ 点,此时恰好测得 $\angle ACB = 45^{\circ}$||
| | |第二小组|观测者从 $B$ 点向正东走到 $E$ 点,$O$ 是 $BE$ 的中点,继续从点 $E$ 沿垂直于 $BE$ 的 $EF$ 方向走,直到点 $A$,$O$,$F$ 在一条直线上||
| | |第三小组| ||

(1)第一小组认为,河宽 $AB$ 的长度就是线段的长度。
(2)第二小组方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯,他们认为只要测得 $EF$ 的长就是所求河宽 $AB$ 的长。你认为第二小组的方案可行吗？请说明理由。
(3)请你代表第三小组,设计一个测量方案,把测量方案和测量示意图填入上表,然后指明你画的示意图中,只要测出哪条线段的长,就能推算出河宽 $AB$ 长,并说明方案的可行性。

(1)BC
(2)第二小组的方案可行。理由如下:
　因为O是BE的中点，所以OB=OE。
　因为AB⊥BE,EF⊥BE,
　所以∠ABO=∠FEO=90°。
　在△ABO和△FEO中,
　　∠ABO=∠FEO,
　　BO=EO,
　　∠AOB=∠FOE,
　所以△ABO≌△FEO(ASA),
　所以EF=AB,
　即河宽AB的长度就是线段EF的长度。
(3)答案不唯一，举例如下:
　第三小组观测者从B点向正西走到C点，使用测量角度的仪器测得∠BCD=∠ACB=65°，CD交AB的延长线于点D。
　只要测出BD的长，就能推算出河宽AB的长。理由如下:
　因为AB⊥BC,
　所以∠ABC=∠DBC=90°。
　在△ABC和△DBC中，
　　∠ABC=∠DBC,
　　BC=BC,
　　∠ACB=∠BCD,
　所以△ABC≌△DBC(ASA),
　所以BD=AB,
　即河宽AB的长等于线段BD的长。