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1. 一组按规律排列的多项式：$a + b$,$a^{2}-b^{3}$,$a^{3}+b^{5}$,$a^{4}-b^{7}$,…。其中第 10 个式子是(
A.$a^{10}+b^{19}$
B.$a^{10}-b^{19}$
C.$a^{10}-b^{17}$
D.$a^{10}-b^{21}$
B
)。A.$a^{10}+b^{19}$
B.$a^{10}-b^{19}$
C.$a^{10}-b^{17}$
D.$a^{10}-b^{21}$
答案
B
解析
观察多项式规律：
$a$的次数：第$n$个式子中$a$的次数为$n$，第10个式子中$a$的次数为10，即$a^{10}$。
符号：奇数项为“+”，偶数项为“-”，第10项为偶数项，符号为“-”。
$b$的次数：第$n$个式子中$b$的次数为$2n - 1$，第10个式子中$b$的次数为$2×10 - 1 = 19$，即$b^{19}$。
综上，第10个式子是$a^{10}-b^{19}$。
B
$a$的次数：第$n$个式子中$a$的次数为$n$，第10个式子中$a$的次数为10，即$a^{10}$。
符号：奇数项为“+”，偶数项为“-”，第10项为偶数项，符号为“-”。
$b$的次数：第$n$个式子中$b$的次数为$2n - 1$，第10个式子中$b$的次数为$2×10 - 1 = 19$，即$b^{19}$。
综上，第10个式子是$a^{10}-b^{19}$。
B
2. 四个小朋友站成一排,老师按图中的规则数数,数到 107 时对应的小朋友可得一朵红花。那么得红花的小朋友在(
A.第 1 列
B.第 2 列
C.第 3 列
D.第 4 列
C
)。A.第 1 列
B.第 2 列
C.第 3 列
D.第 4 列
答案
C
解析
观察图形规律：每8个数为一个循环周期，列数顺序为第4列、第3列、第2列、第1列、第2列、第3列、第4列、第3列。
周期数：$107÷8=13\cdots\cdots3$，其中余数为3。
循环周期中第3个数对应的列数为第2列后的第3个，即第3列。
C
周期数：$107÷8=13\cdots\cdots3$，其中余数为3。
循环周期中第3个数对应的列数为第2列后的第3个，即第3列。
C
3. 在庆祝建党“100 周年”的活动中,某同学用棋子按照某种规律摆成如图所示的“100”字样。如图①有 11 个棋子,图②有 16 个棋子……按这种规律,第 20 个“100”字样的棋子个数是(
A.125
B.110
C.106
D.101
C
)。A.125
B.110
C.106
D.101
答案
C
解析
观察图形可知：
图①有11个棋子，
图②有16个棋子，16-11=5，
图③比图②多5个棋子，即16+5=21，
图④比图③多5个棋子，即21+5=26，
规律为后一个图形比前一个图形多5个棋子，是首项为11，公差为5的等差数列。
第n个图形的棋子数公式为：$a_n = 11 + (n - 1)×5$
当n=20时，$a_{20}=11 + (20 - 1)×5 = 11 + 19×5 = 11 + 95 = 106$
C
图①有11个棋子，
图②有16个棋子，16-11=5，
图③比图②多5个棋子，即16+5=21，
图④比图③多5个棋子，即21+5=26，
规律为后一个图形比前一个图形多5个棋子，是首项为11，公差为5的等差数列。
第n个图形的棋子数公式为：$a_n = 11 + (n - 1)×5$
当n=20时，$a_{20}=11 + (20 - 1)×5 = 11 + 19×5 = 11 + 95 = 106$
C
4. 古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点(或圆球)在等距的排列下可以形成正三角形的数,如 1,3,6,10,15,…。我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥形的堆垛(如图所示顶上一层 1 个球,下一层 3 个球,再下一层 6 个球)。若一个“落一形”三角锥形的堆垛有 10 层,则该堆垛球的总个数为(
A.55
B.220
C.285
D.385
B
)。A.55
B.220
C.285
D.385
答案
B
解析
第1层：1
第2层：3
第3层：6
...
第n层：$\frac{n(n+1)}{2}$
10层总个数：$\sum_{k=1}^{10} \frac{k(k+1)}{2} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{10}(k^2 + k) = \frac{1}{2}\left( \frac{10×11×21}{6} + \frac{10×11}{2} \right) = \frac{1}{2}(385 + 55) = 220$
B
第2层：3
第3层：6
...
第n层：$\frac{n(n+1)}{2}$
10层总个数：$\sum_{k=1}^{10} \frac{k(k+1)}{2} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{10}(k^2 + k) = \frac{1}{2}\left( \frac{10×11×21}{6} + \frac{10×11}{2} \right) = \frac{1}{2}(385 + 55) = 220$
B
5. 如图所示的是一根起点为 0 且标有单位长度的射线,现有同学将它弯折成如图所示的图形,弯折后落在虚线上的点,从下往上第一个数是 0,第二个数是 12,第三个数是 42……依此规律,落在虚线上的第五个点对应的数是(
A.90
B.96
C.150
D.156
D
)。A.90
B.96
C.150
D.156
答案
D
解析
0,12,42,96,156
第五个数是156
D
第五个数是156
D
6. 《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”意思是：一根一尺的木棍,如果每天截取它的一半,永远也取不完。则$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+…+\frac{1}{2^{n}}=$
$\frac{2^n - 1}{2^n}$
。答案
$\frac{2^n - 1}{2^n}$ 解析:$\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^4} + \cdots + \frac{1}{2^n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}} - \frac{1}{2^n} = 1 - \frac{1}{2^n} = \frac{2^n - 1}{2^n}$。
解析
$\frac{2^n - 1}{2^n}$
