1. (2024 成都中考)在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,点 $ P(1,-4) $ 关于原点对称的点的坐标是()
A.$ (-1,-4) $
B.$ (-1,4) $
C.$ (1,4) $
D.$ (1,-4) $

B

在平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标特点是横、纵坐标都互为相反数。点$P(1,-4)$的横坐标为$1$，其相反数是$-1$；纵坐标为$-4$，其相反数是$4$，所以点$P$关于原点对称的点的坐标是$(-1,4)$。

2. (2024 永川区阶段练习)若点 $ (-1 - 2k,2k - 4) $ 关于原点对称的点在第一象限,则整数 $ k $ 的解有()
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

B

点$(-1 - 2k, 2k - 4)$关于原点对称的点为$(1 + 2k, 4 - 2k)$。该对称点在第一象限，故横、纵坐标均大于0，可得不等式组：$\begin{cases}1 + 2k ＞ 0 \\ 4 - 2k ＞ 0\end{cases}$。解$1 + 2k ＞ 0$得$k ＞ -\frac{1}{2}$；解$4 - 2k ＞ 0$得$k ＜ 2$。则$k$的范围为$-\frac{1}{2} ＜ k ＜ 2$，整数$k$为0，1，共2个。

3. (2023 江津区期末)点 $ A(5,4) $ 关于原点对称的点的坐标是。

$(-5,-4)$

关于原点对称的点的坐标特征是横、纵坐标都互为相反数。已知点$A(5,4)$，那么它关于原点对称的点的横坐标为$5$的相反数$-5$，纵坐标为$4$的相反数$-4$，所以对称点的坐标是$(-5,-4)$。

4. (2024 常州中考)如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,正方形 $ ABCD $ 的对角线 $ AC $,$ BD $ 相交于原点 $ O $。若点 $ A $ 的坐标是 $ (2,1) $,则点 $ C $ 的坐标是。

(-2,-1)

在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于原点O，所以点A与点C关于原点对称。已知点A的坐标是(2,1)，根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，可得点C的坐标是(-2,-1)。

5. (2023 西宁期中)点 $ A(a + b,3a - b) $ 与点 $ B(-2,6) $ 关于原点对称。
(1)求 $ a $,$ b $ 的值；
(2)求点 $ A $ 关于 $ x $ 轴的对称点的坐标；
(3)求点 $ B $ 关于 $ y $ 轴的对称点的坐标。

(1)
由于点$A(a + b,3a - b)$与点$B(-2,6)$关于原点对称，根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标都互为相反数，则有：
$\begin{cases}a + b = 2\\3a - b=- 6\end{cases}$
将两式相加消去$b$可得：
$a + b+3a - b=2 - 6$
$4a=-4$
$a = -1$
把$a = -1$代入$a + b = 2$可得：
$-1 + b = 2$
$b = 3$
所以$a$的值为$-1$，$b$的值为$3$。
(2)
由(1)知$a = -1$，$b = 3$，则$a + b=-1 + 3 = 2$，$3a - b=3×(-1)-3=-6$，所以点$A$的坐标为$(2,-6)$。
根据关于$x$轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以点$A(2,-6)$关于$x$轴的对称点的坐标为$(2,6)$。
(3)
已知点$B(-2,6)$，根据关于$y$轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，所以点$B(-2,6)$关于$y$轴的对称点的坐标为$(2,6)$。
综上，答案依次为：(1)$a = -1$，$b = 3$；(2)$(2,6)$；(3)$(2,6)$。

6. (2023 开州区期中)如图所示,方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形,$ \triangle ABC $ 的顶点均在格点上,在建立平面直角坐标系后,点 $ C $ 的坐标为 $ (4,-1) $。
(1)以原点 $ O $ 为对称中心,画出 $ \triangle ABC $ 关于原点 $ O $ 对称的 $ \triangle A_1B_1C_1 $,并写出点 $ C_1 $ 的坐标；
(2)以点 $ A_1 $ 为旋转中心,画出把 $ \triangle A_1B_1C_1 $ 逆时针旋转 $ 90° $ 得到的 $ \triangle A_1B_2C_2 $,并写出点 $ C_2 $ 的坐标；
(3)若 $ \triangle ABC $ 绕某点顺时针旋转一定角度得到 $ \triangle A_1B_2C_2 $,请确定该旋转中心点 $ D $ 的坐标以及旋转的角度。

(1)$ C_1(-4,1) $；(2)$ C_2(2,1) $；(3)$ D(4,1) $，旋转角度$ 90° $。

(1) 点$ C(4,-1) $关于原点对称的点$ C_1 $坐标为$(-4,1)$。
(2) 由$ A(1,-4) $得$ A_1(-1,4) $，$ C_1(-4,1) $。向量$ \overrightarrow{A_1C_1}=(-4 - (-1),1 - 4)=(-3,-3) $，逆时针旋转$ 90° $后向量为$(3,-3)$，则$ C_2(-1 + 3,4 + (-3))=(2,1) $。
(3) 对应点$ A(1,-4) $与$ A_1(-1,4) $、$ B(4,-4) $与$ B_2(-1,1) $。$ A $与$ A_1 $中点$(0,0)$，垂直平分线$ y=\frac{1}{4}x $；$ B $与$ B_2 $中点$(\frac{3}{2},-\frac{3}{2})$，垂直平分线$ y=x - 3 $。联立得$ D(4,1) $。向量$ \overrightarrow{DA}=(-3,-5) $，$ \overrightarrow{DA_1}=(-5,3) $，夹角为$ 90° $。