1. 认真观察右图,看从中能受到什么启发,再写出下列算式的结果。
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} = $ () $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + … + \frac{1}{256} = $ ()
$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \frac{1}{16} - \frac{1}{32} - \frac{1}{64} - \frac{1}{128} = $ ()
$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \frac{1}{16} - \frac{1}{32} - \frac{1}{64} - \frac{1}{128} - \frac{1}{256} - … = 0$

$\frac{63}{64}$；$\frac{255}{256}$；$\frac{1}{128}$。

对于算式 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64}$，观察图形可知，这是一个等比数列求和，公比为 $\frac{1}{2}$。
根据图形，大正方形的面积为1，每次分割剩下的部分为前一部分的一半，直到最后剩下的部分为 $\frac{1}{64}$。
所以，$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} = 1 - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$。
对于算式 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots + \frac{1}{256}$，同样是一个等比数列求和，直到 $\frac{1}{256}$。
所以，$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots + \frac{1}{256} = 1 - \frac{1}{256} = \frac{255}{256}$。
对于算式 $1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \frac{1}{16} - \frac{1}{32} - \frac{1}{64} - \frac{1}{128}$，同样根据图形，可以得出：
$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \frac{1}{16} - \frac{1}{32} - \frac{1}{64} - \frac{1}{128} = \frac{1}{128}$。
对于算式 $1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \frac{1}{16} - \frac{1}{32} - \frac{1}{64} - \frac{1}{128} - \frac{1}{256} - \ldots$，这是一个无限趋近于0的过程，所以结果为0（题目已给出结果，此处为验证）。

2. 某同学回忆父亲送自己上学的诗：“同辞家门赴车站,别时叮咛语千万,学子满载信心去,老父怀抱希望还。”下列与诗意大致吻合的是图()。

C

诗意描述父子同辞家门赴车站（两人离家距离同时从0开始增加至车站距离），后学子赴校（距离继续增加）、父亲返家（距离从车站距离减少至0）。符合此过程的图像为两条线：均从原点上升至同一点（车站），一条继续上升（学子），一条下降至0（父亲），对应图C。

3. 先观察,找出规律,再运用规律解决问题。
(1) 如图,涂色部分有几个小正方形？填一填。

()个 ()个 ()个
(2) 如果大正方形每边有 10 个小正方形,那么最外圈的小正方形有()个。
(3) 如果大正方形每边有 $ n $ 个小正方形,那么最外圈的小正方形有()个。
(4) 如果最外圈一共有 96 个小正方形,那么大正方形中一共有()个小正方形。

(1)4 8 16
(2)36
(3)4n - 4
(4)625

4. 丁丁、豆豆、芳芳、青青、兵兵、乐乐 6 人进行乒乓球比赛,每 2 人之间都要比赛一场。丁丁已经打了 5 场,豆豆打了 5 场,芳芳打了 5 场,青青打了 3 场,兵兵打了 3 场,乐乐打了几场？分别是和谁打的？

乐乐打了3场，分别是和丁丁、豆豆、芳芳打的。
步骤如下：
1. 6人每2人赛一场，每人最多赛5场。丁丁、豆豆、芳芳各赛5场，说明他们分别与其余5人都赛过。
2. 丁丁与豆豆、芳芳、青青、兵兵、乐乐均赛过；豆豆与丁丁、芳芳、青青、兵兵、乐乐均赛过；芳芳与丁丁、豆豆、青青、兵兵、乐乐均赛过。
3. 青青赛了3场，由上述可知只能是与丁丁、豆豆、芳芳赛的（已满足3场，不再与他人赛）。
4. 兵兵赛了3场，同理只能是与丁丁、豆豆、芳芳赛的（已满足3场，不再与他人赛）。
5. 乐乐已与丁丁、豆豆、芳芳赛过，共3场，且未与青青、兵兵赛过（青青、兵兵不再与他人赛）。
结论：乐乐打了3场，分别和丁丁、豆豆、芳芳打的。

5. 一条马路长 $ 300 \, m $,小东和他的小狗分别以均匀的速度同时从马路的起点出发。当小东走到这条马路的 $ \frac{1}{4} $ 时,小狗已经到达马路的终点,然后小狗返回与小东相向而行。遇到小东以后再跑向终点,到达终点以后再与小东相向而行……直到小东到达终点。小狗从出发开始,一共跑了多少米？

1. 设小东的速度为 $v$，小狗的速度为 $u$。
2. 当小东走到这条马路的 $\frac{1}{4}$ 时，即走了 $300 × \frac{1}{4} = 75 \, m$ 时，小狗已经到达马路的终点，即走了 $300 \, m$。
3. 由于时间相同，可以得到速度比：
$\frac{v}{u} = \frac{75}{300} = \frac{1}{4}$
即 $u = 4v$。
4. 小东走完全程 $300 \, m$ 所需时间为：
$t = \frac{300}{v}$
5. 在这段时间内，小狗跑的总距离为：
$s = u × t = 4v × \frac{300}{v} = 1200 \, m$
答：小狗从出发开始，一共跑了 $1200 \, m$。