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4. 分式方程$\frac{x}{x - 5}= \frac{x - 4}{x + 6}$的解是
x=$\frac{4}{3}$
.答案
x=$\frac{4}{3}$
解析
解：方程两边同乘$(x - 5)(x + 6)$，得$x(x + 6)=(x - 4)(x - 5)$
展开得$x^2 + 6x = x^2 - 9x + 20$
移项合并同类项得$15x = 20$
解得$x = \frac{4}{3}$
检验：当$x = \frac{4}{3}$时，$(x - 5)(x + 6) = (\frac{4}{3} - 5)(\frac{4}{3} + 6) = (-\frac{11}{3})(\frac{22}{3}) \neq 0$
所以原分式方程的解为$x = \frac{4}{3}$
$\frac{4}{3}$
展开得$x^2 + 6x = x^2 - 9x + 20$
移项合并同类项得$15x = 20$
解得$x = \frac{4}{3}$
检验：当$x = \frac{4}{3}$时，$(x - 5)(x + 6) = (\frac{4}{3} - 5)(\frac{4}{3} + 6) = (-\frac{11}{3})(\frac{22}{3}) \neq 0$
所以原分式方程的解为$x = \frac{4}{3}$
$\frac{4}{3}$
5. 解方程：
(1)$\frac{2x}{x - 2}= 1$；
(2)$\frac{2}{x + 1}+\frac{3}{x - 1}= \frac{6}{x^{2}-1}$.
(1)$\frac{2x}{x - 2}= 1$；
(2)$\frac{2}{x + 1}+\frac{3}{x - 1}= \frac{6}{x^{2}-1}$.
答案
(1)去分母,得2x=x-2，
∴x=-2，经检验,x=-2是原方程的解.
(2)去分母,得2(x-1)+3(x+1)=6，化简,得5x=5，x=1.检验:当x=1时,x²-1=0,
∴x=1不是原方程的解,原方程无解.
6. 对于非零的两个实数$a$,$b$,规定$a\otimes b= \frac{1}{b}-\frac{1}{a}$,若$1\otimes(x + 1)= 1$,则$x$的值为(
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
D
)A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
答案
D
解析
由题意得，$1\otimes(x + 1)=\frac{1}{x + 1}-\frac{1}{1}=1$，即$\frac{1}{x + 1}-1=1$。
$\frac{1}{x + 1}=2$
$2(x + 1)=1$
$2x + 2=1$
$2x=-1$
$x=-\frac{1}{2}$
经检验，$x=-\frac{1}{2}$是原方程的解。
D
$\frac{1}{x + 1}=2$
$2(x + 1)=1$
$2x + 2=1$
$2x=-1$
$x=-\frac{1}{2}$
经检验，$x=-\frac{1}{2}$是原方程的解。
D
7. 若关于$x的方程\frac{2x + a}{x + 2}= -1$的解是负数,则$a$的取值范围是(
A.$a ＜ -2$
B.$a ＞ -2且a\neq4$
C.$a ＞ -2且a\neq0$
D.$a\neq0$
B
)A.$a ＜ -2$
B.$a ＞ -2且a\neq4$
C.$a ＞ -2且a\neq0$
D.$a\neq0$
答案
B
解析
去分母得：$2x+a=-(x+2)$，
去括号得：$2x+a=-x-2$，
移项合并得：$3x=-2-a$，
解得：$x=\frac{-2-a}{3}$，
因为方程的解是负数，所以$\frac{-2-a}{3}＜0$，
即$-2 - a＜0$，解得$a＞-2$，
又因为分母不能为$0$，所以$x + 2≠0$，即$\frac{-2 - a}{3}+2≠0$，
$\frac{-2 - a + 6}{3}≠0$，$\frac{4 - a}{3}≠0$，解得$a≠4$，
综上，$a$的取值范围是$a＞-2$且$a≠4$。
B
去括号得：$2x+a=-x-2$，
移项合并得：$3x=-2-a$，
解得：$x=\frac{-2-a}{3}$，
因为方程的解是负数，所以$\frac{-2-a}{3}＜0$，
即$-2 - a＜0$，解得$a＞-2$，
又因为分母不能为$0$，所以$x + 2≠0$，即$\frac{-2 - a}{3}+2≠0$，
$\frac{-2 - a + 6}{3}≠0$，$\frac{4 - a}{3}≠0$，解得$a≠4$，
综上，$a$的取值范围是$a＞-2$且$a≠4$。
B
8. 若关于$x的分式方程\frac{x}{x - 3}+\frac{3a}{3 - x}= 2a$无解,则$a$的值为(
A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.1或$\frac{1}{2}$
D.3
C
)A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.1或$\frac{1}{2}$
D.3
答案
C
解析
方程两边同乘$(x - 3)$，得$x - 3a = 2a(x - 3)$，
整理得$(1 - 2a)x = -3a$，
当$1 - 2a = 0$，即$a = \frac{1}{2}$时，方程无解；
当$1 - 2a \neq 0$时，$x = \frac{-3a}{1 - 2a}$，
由分式方程无解，得$x = 3$，
即$\frac{-3a}{1 - 2a} = 3$，解得$a = 1$，
综上，$a = 1$或$a = \frac{1}{2}$，
答案：C
整理得$(1 - 2a)x = -3a$，
当$1 - 2a = 0$，即$a = \frac{1}{2}$时，方程无解；
当$1 - 2a \neq 0$时，$x = \frac{-3a}{1 - 2a}$，
由分式方程无解，得$x = 3$，
即$\frac{-3a}{1 - 2a} = 3$，解得$a = 1$，
综上，$a = 1$或$a = \frac{1}{2}$，
答案：C
9. 已知关于$x的方程\frac{3}{x}= \frac{k}{3 - x}$的解是正整数,且$k$为整数,则$k$的值是(
A.0
B.$-2$
C.0或6
D.$-2$或6
D
)A.0
B.$-2$
C.0或6
D.$-2$或6
答案
D
解析
方程两边同乘$x(3 - x)$，得$3(3 - x) = kx$，
$9 - 3x = kx$，
$kx + 3x = 9$，
$x(k + 3) = 9$，
$x=\frac{9}{k + 3}$。
因为方程的解是正整数，且$x\neq0$，$x\neq3$，
所以$\frac{9}{k + 3}$是正整数，且$\frac{9}{k + 3}\neq3$。
$\frac{9}{k + 3}$为正整数时，$k + 3$是9的正因数，
9的正因数有1，3，9，
则$k + 3 = 1$时，$k=-2$，$x=9$；
$k + 3 = 3$时，$k=0$，$x=3$（舍去）；
$k + 3 = 9$时，$k=6$，$x=1$。
综上，$k=-2$或$6$。
D
$9 - 3x = kx$，
$kx + 3x = 9$，
$x(k + 3) = 9$，
$x=\frac{9}{k + 3}$。
因为方程的解是正整数，且$x\neq0$，$x\neq3$，
所以$\frac{9}{k + 3}$是正整数，且$\frac{9}{k + 3}\neq3$。
$\frac{9}{k + 3}$为正整数时，$k + 3$是9的正因数，
9的正因数有1，3，9，
则$k + 3 = 1$时，$k=-2$，$x=9$；
$k + 3 = 3$时，$k=0$，$x=3$（舍去）；
$k + 3 = 9$时，$k=6$，$x=1$。
综上，$k=-2$或$6$。
D
10. 已知关于$x的方程x+\frac{1}{x}= a+\frac{1}{a}的两个解为x_{1}= a$,$x_{2}= \frac{1}{a}$,$x+\frac{2}{x}= a+\frac{2}{a}的两个解为x_{1}= a$,$x_{2}= \frac{2}{a}$,则关于$x的方程x+\frac{10}{x - 1}= a+\frac{10}{a - 1}$的两个解为
$x_1=a$,$x_2=\frac{a+9}{a-1}$
.答案
x₁=a,x₂=$\frac{a+9}{a-1}$
解析
$x_{1}=a$，$x_{2}=\frac{a+9}{a-1}$
11. 解分式方程：$\frac{x}{x - 2}-1= \frac{4}{(x - 2)^{2}}$.
答案
解:$\frac{x}{x - 2}-1= \frac{4}{(x - 2)^{2}}$，方程两边同乘(x-2)²得x(x-2)-(x-2)²=4，整理,得2x=8，解得x=4.检验:当x=4时,(x-2)²≠0.所以原方程的解为x=4.
12. 若分式方程$\frac{x}{x - 1}-1= \frac{m}{(x - 1)(x + 2)}$无解,则$m$的值为(
A.0和3
B.1
C.1和$-2$
D.2
A
)A.0和3
B.1
C.1和$-2$
D.2
答案
A
解析
去分母得：$x(x + 2)-(x - 1)(x + 2)=m$
展开并化简：$x^2 + 2x - (x^2 + x - 2)=m$
$x^2 + 2x - x^2 - x + 2 = m$
$x + 2 = m$
$x = m - 2$
分式方程无解，分两种情况：
1. 整式方程的解使最简公分母为0：
$(x - 1)(x + 2)=0$
$x=1$或$x=-2$
当$x=1$时，$m - 2=1$，$m=3$
当$x=-2$时，$m - 2=-2$，$m=0$
2. 整式方程无解：此方程为一元一次方程，一定有解，故不考虑
综上，$m=0$或$3$，答案选A。
展开并化简：$x^2 + 2x - (x^2 + x - 2)=m$
$x^2 + 2x - x^2 - x + 2 = m$
$x + 2 = m$
$x = m - 2$
分式方程无解，分两种情况：
1. 整式方程的解使最简公分母为0：
$(x - 1)(x + 2)=0$
$x=1$或$x=-2$
当$x=1$时，$m - 2=1$，$m=3$
当$x=-2$时，$m - 2=-2$，$m=0$
2. 整式方程无解：此方程为一元一次方程，一定有解，故不考虑
综上，$m=0$或$3$，答案选A。
13. 如果关于$x的方程1+\frac{x}{2 - x}= \frac{2m}{x^{2}-4}的解也是不等式组\begin{cases}\frac{1 - x}{2}＞x - 2,\\2(x - 3)\leq x - 8\end{cases} $的一个解,求$m$的取值范围.
答案
解:由方程1+$\frac{x}{2-x}=\frac{2m}{x^2-4}$,可得x=-m-2.
∵x²-4=m(m+4)，
∴当m=-4或m=0时有x²-4=0，
∴方程1+$\frac{x}{2-x}=\frac{2m}{x^2-4}$的解为x=-m-2，其中m≠-4且m≠0，解不等式组$\begin{cases}\frac{1-x}{2}＞x-2, \\2(x-3)\leq x-8, \end{cases}$得x≤-2.由题意得-m-2≤-2,解得m≥0，
∴m的取值范围是m＞0.
∵x²-4=m(m+4)，
∴当m=-4或m=0时有x²-4=0，
∴方程1+$\frac{x}{2-x}=\frac{2m}{x^2-4}$的解为x=-m-2，其中m≠-4且m≠0，解不等式组$\begin{cases}\frac{1-x}{2}＞x-2, \\2(x-3)\leq x-8, \end{cases}$得x≤-2.由题意得-m-2≤-2,解得m≥0，
∴m的取值范围是m＞0.
