1. 如图,AB 是$\odot O$的弦,$OD\perp AB$于点 D,延长 OD 交$\odot O$于点 E,连接 OA,OB,则下列说法错误的是()

A.$AD= BD$
B.$OD= DE$
C.$\widehat {AE}= \widehat {BE}$
D.$\angle AOE= \angle BOE$

B

$OD\perp AB$，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分该弦，所以$AD = BD$，选项A正确。
$OD\perp AB$，根据垂径定理，$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，选项C正确。
因为$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，在同圆中，等弧所对的圆心角相等，所以$\angle AOE = \angle BOE$，选项D正确。
仅根据已知条件$OD\perp AB$，无法得出$OD = DE$，选项B错误。

2. 如图,AB 是$\odot O$的直径,$\widehat {BC}= \widehat {CD}= \widehat {DE}$,$\angle COD= 34^{\circ }$,则$\angle AEO$的度数为()

A.$51^{\circ }$
B.$56^{\circ }$
C.$68^{\circ }$
D.$78^{\circ }$

A

∵$\widehat{BC}=\widehat{CD}=\widehat{DE}$，$\angle COD=34^{\circ}$，∴$\angle BOC=\angle COD=\angle DOE=34^{\circ}$。
∵AB是$\odot O$的直径，∴$\angle AOB=180^{\circ}$。
∴$\angle AOE=\angle AOB-\angle BOC-\angle COD-\angle DOE=180^{\circ}-34^{\circ}-34^{\circ}-34^{\circ}=78^{\circ}$。
∵OA=OE（同圆半径相等），∴$\triangle AOE$是等腰三角形，$\angle OAE=\angle OEA$。
∴$\angle AEO=\frac{180^{\circ}-\angle AOE}{2}=\frac{180^{\circ}-78^{\circ}}{2}=51^{\circ}$。

3. 如图,A,B,C,D 是$\odot O$上的四点,$\angle 1= \angle 2$,有下列结论:①$\widehat {AB}= \widehat {CD}$;②$\widehat {BD}= \widehat {AC}$;③$AC= BD$;④$\angle BOD= \angle AOC$.其中正确的有()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

1. 首先，根据圆心角、弧、弦的关系：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
已知$\angle1 = \angle2$，则$\angle1+\angle BOC=\angle2+\angle BOC$。
即$\angle AOC=\angle BOD$，所以④正确。
2. 然后，根据圆心角与弧的关系：
因为$\angle AOC$与$\widehat{AC}$对应，$\angle BOD$与$\widehat{BD}$对应，在$\odot O$中，由$\angle AOC = \angle BOD$，根据“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”，可得$\widehat{AC}=\widehat{BD}$，再根据“在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等”，可得$AC = BD$，所以②③正确。
又因为$\angle1=\angle2$，根据“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”，可得$\widehat{CD}=\widehat{AB}$，所以①正确。
所以①②③④都正确，正确的有$4$个，答案是D。